Деление многочленов столбиком - разбор темы и примеры. Алгебра 8 класс

На данной странице разберем тему деления многочленов уголком — один из ключевых навыков в алгебре, который необходим для решения уравнений высших степеней, упрощения выражений и успешной сдачи ЕГЭ по математике, на ОГЭ по математике эта тема вам не понадобится, однако проходится она в 8 классе. Деление многочленов уголком это продолжение тем Корни многочлена. Теорема Безу. Схема Горнера.

Деление многочленов - это операция, обратная умножению. Она позволяет представить один многочлен как произведение другого многочлена и частного с остатком.

Что такое деление многочленов

Деление многочленов - это процесс, аналогичный делению чисел, но вместо чисел мы работаем с алгебраическими выражениями.

Основные определения

Определение. Разделить многочлен $f(x)$ на многочлен $g(x)$ - значит найти такие многочлены $q(x)$ и $r(x)$ , что:

$f(x) = g(x) \cdot q(x) + r(x)$

где $q(x)$ - частное, $r(x)$ - остаток, причём степень остатка меньше степени делителя.

Пример: Разделим $f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6$ на $g(x) = x + 1$ .

Результат: $q(x) = x^2 + x - 6$ , $r(x) = 0$ .

Проверка: $(x + 1)(x^2 + x - 6) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6$ .

📌 Важно запомнить: Если остаток равен нулю, то деление выполнено нацело, и делитель является делителем делимого. Это означает, что корень делителя является корнем делимого.

Деление многочленов уголком

Способ деления «уголком» (или «столбиком») - это классический алгоритм, который напоминает деление чисел. Он подходит для любых многочленов и позволяет найти частное и остаток.

Алгоритм деления уголком

Правила деления уголком

Шаг 1. Расположить делимое и делитель в порядке убывания степеней.

Шаг 2. Разделить старший член делимого на старший член делителя - это первый член частного.

Шаг 3. Умножить делитель на полученный член частного и вычесть результат из делимого.

Шаг 4. Повторять шаги 2-3 с полученным остатком, пока степень остатка не станет меньше степени делителя.

Пример деления уголком

Пример 1: Деление многочлена на двучлен

Разделим многочлен $f(x) = x^3 - 5x^2 + 2x + 8$ на $g(x) = x - 2$ .

Шаг 1. Записываем деление уголком:

x² - 3x - 4
_________________
x - 2 | x³ - 5x² + 2x + 8
x³ - 2x²
________
-3x² + 2x
-3x² + 6x
_________
-4x + 8
-4x + 8
_______
0

Шаг 2. Читаем результат:

Частное: $q(x) = x^2 - 3x - 4$

Остаток: $r(x) = 0$

Ответ: $x^3 - 5x^2 + 2x + 8 = (x - 2)(x^2 - 3x - 4)$

Пример деления с остатком

Пример 2: Деление с ненулевым остатком

Разделим многочлен $f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1$ на $g(x) = x + 1$ .

Шаг 1. Записываем деление уголком:

2x² - 5x + 9
_________________
x + 1 | 2x³ - 3x² + 4x - 1
2x³ + 2x²
________
-5x² + 4x
-5x² - 5x
_________
9x - 1
9x + 9
_______
-10

Шаг 2. Читаем результат:

Частное: $q(x) = 2x^2 - 5x + 9$

Остаток: $r(x) = -10$

Ответ: $2x^3 - 3x^2 + 4x - 1 = (x + 1)(2x^2 - 5x + 9) - 10$

Проверим: $(x + 1)(2x^2 - 5x + 9) - 10 = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1$ .

Деление по схеме Горнера

Схема Горнера — это более быстрый способ деления многочлена на двучлен вида $(x - c)$ . Этот метод особенно эффективен, когда нужно проверить несколько кандидатов в корни.

Сравнение способов деления многочленов

Оба способа деления имеют свои преимущества и недостатки. Выбор метода зависит от конкретной задачи.

Критерий

Деление уголком

Схема Горнера

Наглядность

Высокая — виден весь процесс

Низкая — работа с числами

Скорость

Медленнее

Быстрее

Применение

Любой делитель

Только двучлен $(x - c)$

Сложность вычислений

Выше

Ниже

Ошибки

Легко допустить

Меньше вероятность

💡 Совет: Для деления на двучлен $(x - c)$ всегда используйте схему Горнера — это быстрее и надёжнее. Для деления на многочлен более высокой степени используйте деление уголком.

Применение деления многочленов

Деление многочленов широко используется в различных разделах алгебры:

Решение уравнений

Деление помогает понизить степень уравнения после нахождения одного корня.

Пример: Уравнение $x^3 - 3x^2 - x + 3 = 0$ имеет корень $x = 1$ . Разделив на $(x - 1)$ , получаем квадратное уравнение $x^2 - 2x - 3 = 0$ .

Теорема Безу

Деление позволяет проверить, является ли число корнем многочлена (остаток равен нулю).

Пример: При делении $f(x) = x^3 - 5x^2 + 2x + 8$ на $(x - 2)$ остаток равен 0, значит $x = 2$ — корень.

Тренажёры по делению многочленов

На платформе Экзамео вы найдёте множество интерактивных тренажёров по теме «Деление многочленов». Все задания составлены на основе типовых задач из учебников алгебры и сборников для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ по математике.

Каждое задание в тренажёре сопровождается подробным решением и объяснением, что позволяет не просто получить ответ, но и понять алгоритм выполнения. Это особенно важно при подготовке к экзаменам и олимпиадам по математике.