Теорема Вариньона: формулировка, доказательство и свойства

В этом разделе разбирается теорема Вариньона — одна из ключевых тем в планиметрии 8 класса. Приведены доказательство, основные следствия и свойства параллелограмма, образованного серединами сторон четырёхугольника. Отдельное внимание уделено применению теоремы при решении задач на нахождение периметров и площадей. Материал ориентирован на подготовку к проверочным работам и ОГЭ.

Сначала разберем теорию, а затем вы сможете отработать теорему Вариньона на тренажерах с подробными решениями, а так же можете составить варианты самостоятельных работ для занятий по геометрии.

Теоретический справочник: всё про теорему Вариньона

Ниже приведены точная формулировка теоремы, строгий вывод через теорему о средней линии треугольника и ключевые свойства получаемой фигуры.

Формулировка теоремы Вариньона

Середины сторон произвольного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма (называемого параллелограммом Вариньона).

Четырёхугольник может быть выпуклым, невыпуклым и даже самопересекающимся!

На рисунке ABCD - произвольный четырехугольник, точка K - середина AB, L - середина BC, M - середина DC, N - середина AD, KLMN - параллелограмм Вариньона

Доказательство теоремы Вариньона для 8 класса

Наглядное доказательство теоремы Вариньона

Доказательство:

1) Пусть $ABCD$ — произвольный выпуклый четырёхугольник, а точки $K, L, M, N$ — середины его сторон $AB, BC, CD, DA$ соответственно.

2) Проведём диагональ $AC$ исходного четырёхугольника.

3) В треугольнике $\triangle ABC$ отрезок $KL$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$ . Следовательно, по теореме о средней линии треугольника:
$KL \parallel AC \quad \text{и} \quad KL = \dfrac{1}{2} AC$ .

4) В треугольнике $\triangle ADC$ отрезок $MN$ соединяет середины сторон $CD$ и $DA$ . По теореме о средней линии треугольника:
$MN \parallel AC \quad \text{и} \quad MN = \dfrac{1}{2} AC$ .

5) Из пунктов (3) и (4) получаем, что отрезки $KL$ и $MN$ равны и параллельны одной и той же прямой $AC$ :
$KL \parallel MN \quad \text{и} \quad KL = MN$ .

6) По признаку параллелограмма (если две противоположные стороны четырёхугольника равны и параллельны), четырёхугольник $KLMN$ является параллелограммом.

Теорема полностью доказана!

Свойства параллелограмма Вариньона

Из доказательства теоремы вытекают два замечательных метрических свойства, которые можно использовать при решении задач по геометрии, в том числе на самостоятельных работах в 8 классе и на экзаменах:

Метрические свойства:

1. Периметр параллелограмма Вариньона:
Периметр параллелограмма Вариньона равен сумме диагоналей исходного четырёхугольника:

P_{KLMN} = AC + BD

2. Площадь параллелограмма Вариньона:
Площадь параллелограмма Вариньона ровно в $2$ раза меньше площади исходного четырёхугольника:

S_{KLMN} = \dfrac{1}{2} S_{ABCD}

Частные случаи параллелограмма Вариньона

Вид полученного параллелограмма $KLMN$ напрямую зависит от свойств диагоналей исходного четырёхугольника $ABCD$ :

Условие для диагоналей $ABCD$

Параллелограмм Вариньона $KLMN$

Примеры исходных фигур

Диагонали перпендикулярны ( $AC \perp BD$ )

Является прямоугольником

Ромб, дельтоид

Диагонали равны ( $AC = BD$ )

Является ромбом

Прямоугольник, равнобедренная трапеция

Диагонали равны и перпендикулярны ( $AC = BD, AC \perp BD$ )

Является квадратом

Квадрат, равнобедренная трапеция с перпендикулярными диагоналями

Лайфхак для олимпиад и ОГЭ! 💡

Запомните дуальность:
• Середины сторон ромба всегда образуют прямоугольник.
• Середины сторон прямоугольника всегда образуют ромб.
• Середины сторон равнобедренной трапеции всегда образуют ромб!

Разбор типовых задач с теоремой Вариньона из контрольных работ за 8 класс

Пример 1: Нахождение периметра четырёхугольника Вариньона

Задание: Диагонали четырёхугольника $ABCD$ равны $14\text{ см}$ и $18\text{ см}$ . Найдите периметр четырёхугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырёхугольника.

Подробное решение:

1) По теореме Вариньона четырёхугольник, образованный серединами сторон любого четырёхугольника, является параллелограммом.

2) По свойству параллелограмма Вариньона его периметр равен сумме длин диагоналей исходного четырёхугольника:
$P = AC + BD$ .

3) Подставим данные из условия длины диагоналей:
$P = 14 + 18 = 32\text{ см}$ .

Ответ: $32\text{ см}$ .

Пример 2: Нахождение площади четырёхугольника через теорему Вариньона

Задание: Площадь параллелограмма, образованного серединами сторон четырёхугольника $ABCD$ , равна $25\text{ см}^2$ . Найдите площадь четырёхугольника $ABCD$ .

Подробное решение:

1) По свойству площади параллелограмма Вариньона его площадь равна половине площади исходного четырёхугольника:
$S_{\text{вар}} = \dfrac{1}{2} S_{ABCD}$ .

2) Выразим площадь исходного четырёхугольника $S_{ABCD}$ :
$S_{ABCD} = 2 \cdot S_{\text{вар}}$ .

3) Вычислим площадь:
$S_{ABCD} = 2 \cdot 25 = 50\text{ см}^2$ .

Ответ: $50\text{ см}^2$ .

Тренажёры по теме «Теорема Вариньона» на Экзамео

Закрепить изученный материал можно с помощью интерактивных тренажёров на платформе «Экзамео». Задания по теме «Теорема Вариньона» для 8 класса составлены на основе учебников по геометрии и соответствуют ФГОС.

Доступны задачи различных уровней сложности с автоматической проверкой и полными решениями. Тренажёры помогут отработать навыки и подготовиться к контрольным работам.

Практика

Задачи сейчас заполняются

Уже готовим задания по теме: добавляем варианты, проверку ответов и понятные разборы после попытки.

Подбираем заданияПроверяем ответыГотовим разборы