Параллелограмм: свойства, признаки и задачи с решениями

На этой странице представлен подробный теоретический и практический справочник по теме «Параллелограмм» по геометрии для 8 класса. Методисты образовательной платформы Экзамео разработали этот материал, чтобы помочь восьмиклассникам глубоко освоить ключевую тему раздела «Четырёхугольники», научиться уверенно различать свойства и признаки параллелограмма, применять формулы площади и периметра, а также без ошибок решать геометрические задачи из самостоятельных и контрольных работ.

Параллелограмм — базовый четырёхугольник школьного курса планиметрии. Его изучение создаёт основу для понимания всех остальных частных видов четырёхугольников: прямоугольника, ромба и квадрата.

Всё про параллелограмм для 8 класса

Ниже подробно разобраны определение, основные элементы, свойства, признаки и формулы параллелограмма.

Определение и элементы параллелограмма

Определение параллелограмма 🎯

Параллелограммом называется четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

• $AB \parallel CD$ и $AD \parallel BC$ .

• Высота параллелограмма — перпендикуляр, опущенный из любой точки одной стороны на противоположную сторону (или её продолжение).

[ Место для иллюстрации: Чертеж параллелограмма ABCD с противоположными параллельными сторонами, проведенными диагоналями AC и BD, пересекающимися в точке O, и высотами h_a и h_b ]

2. Свойства параллелограмма

Если фигура уже является параллелограммом, то для нее гарантированно выполняются следующие теоремы и свойства:

Главные свойства параллелограмма (8 класс):

1. Равенство противоположных сторон: Противоположные стороны равны попарно ( $AB = CD$ , $AD = BC$ ).
2. Равенство противоположных углов: Противоположные углы равны ( $\angle A = \angle C$ , $\angle B = \angle D$ ).
3. Свойство прилежащих углов: Сумма углов, прилежащих к любой одной стороне, равна $180^\circ$ ( $\angle A + \angle B = 180^\circ$ ).
4. Пересечение диагоналей: Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам ( $AO = OC$ , $BO = OD$ ).

• Дополнительные свойства:
Биссектриса любого угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

Биссектрисы соседних углов параллелограмма взаимно перпендикулярны ( $90^\circ$ ).

3. Признаки параллелограмма

Признаки используются тогда, когда дан произвольный четырёхугольник, и нужно доказать, что он является параллелограммом:

1. По двум сторонам: Если у четырёхугольника две стороны равны и параллельны ( $AB = CD$ и $AB \parallel CD$ ), то это параллелограмм.

2. По противоположным сторонам: Если у четырёхугольника противоположные стороны попарно равны ( $AB = CD$ и $AD = BC$ ), то это параллелограмм.

3. По диагоналям: Если у четырёхугольника диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то это параллелограмм.

Не путай свойства и признаки! 💡

• Свойство: МЫ ЗНАЕМ, что фигура — параллелограмм $\implies$ ДЕЛАЕМ ВЫВОД, что стороны и углы равны.
• Признак: МЫ ВИДИМ равенство сторон или точку деления диагоналей $\implies$ ДОКАЗЫВАЕМ, что фигура — параллелограмм.

4. Формулы периметра и площади параллелограмма

Для расчёта основных параметров параллелограмма со сторонами $a$ и $b$ используются следующие формулы:

Периметр параллелограмма 📏

Периметр равен удвоенной сумме смежных сторон:

P = 2(a + b)

Площадь через высоту 📐

Площадь равна произведению стороны на опущенную к ней высоту:

S = a \cdot h_a = b \cdot h_b

• Площадь через две стороны и угол между ними: $S = a \cdot b \cdot \sin \alpha$ .

• Связь диагоналей и сторон: Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон:
$$d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$$

Пошаговый алгоритм решения задач

При решении задач на параллелограмм в 8 классе придерживайтесь алгоритма:

Порядок действий:

Выделите известные элементы: определите по условию известные стороны, высоты, углы или диагонали.

Примените свойства углов или сторон: найдите смежные углы ( $180^\circ - \alpha$ ) или приравняйте противоположные стороны.

Вычислите искомую величину: подставьте значения в формулу площади ( $S = a h$ ) или периметра ( $P = 2(a+b)$ ) и запишите ответ.

Разбор типовых задач из контрольных работ за 8 класс

Рассмотрите решения задач, характерных для самостоятельных и контрольных работ по геометрии в 8 классе.

Пример 1: Нахождение всех углов параллелограмма

Задание: В параллелограмме $ABCD$ сумма двух углов равна $140^\circ$ . Найдите все углы параллелограмма.

Подробное решение:

1) Сумма двух углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$ . Так как данная сумма $140^\circ \neq 180^\circ$ , речь идет о противоположных углах.

2) По свойству параллелограмма противоположные углы равны:
$\angle A = \angle C = 140^\circ : 2 = 70^\circ$ .

3) Найдем острый и тупой углы при одной стороне, используя их сумму $180^\circ$ :
$\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$ .

4) Противоположный угол $\angle D = \angle B = 110^\circ$ .

Ответ: $70^\circ$ , $110^\circ$ , $70^\circ$ , $110^\circ$ .

Пример 2: Нахождение высоты и площади параллелограмма

Задание: Стороны параллелограмма равны $8\text{ см}$ и $12\text{ см}$ , а один из его углов равен $30^\circ$ . Найдите площадь параллелограмма.

Подробное решение:

1) Проведем высоту $h$ к стороне $b = 12\text{ см}$ из вершины тупого угла.

2) В образованном прямоугольном треугольнике катет $h$ лежит против угла $30^\circ$ , поэтому он равен половине гипотенузы (соседней стороны $a = 8\text{ см}$ ):
$h = 8 : 2 = 4\text{ см}$ .

3) Вычислим площадь параллелограмма:
$S = b \cdot h = 12 \cdot 4 = 48\text{ см}^2$ .

(Альтернативный вариант через синус: $S = a \cdot b \cdot \sin 30^\circ = 8 \cdot 12 \cdot 0{,}5 = 48\text{ см}^2$ ).

Ответ: $48\text{ см}^2$ .

Тренажёры по теме «Параллелограмм» на Экзамео

Закрепите свойства, признаки и формулы площади параллелограмма на практике с помощью интерактивных онлайн-тренажёров образовательной платформы Экзамео. Все учебные карточки и проверочные тесты по теме «Параллелограмм» за 8 класс составлены строго в соответствии с требованиями ФГОС и материалами школьной программы по геометрии (учебники Атанасяна, Погорелова, Мерзляка).

В базе платформы представлены сотни геометрических задач разного уровня сложности с автоматической проверкой ответов и подробными пошаговыми математическими решениями. Переходите к тренажёрам по геометрии за 8 класс на Экзамео, тренируйтесь в комфортном темпе и уверенно получайте отличные оценки за самостоятельные и контрольные работы!

Практика

Задачи сейчас заполняются

Уже готовим задания по теме: добавляем варианты, проверку ответов и понятные разборы после попытки.

Подбираем заданияПроверяем ответыГотовим разборы