Чётные и нечётные функции - разбор темы и задачи

На это странице разбираем тему алгебры за 9 класс — «Чётные и нечётные функции». Понятие чётности является одной из важнейших исследуемых характеристик функции. Здесь вы найдёте всю необходимую теорию по программе чётная и нечётная функция 9 класс: строгие алгебраические определения, свойства симметрии, которой обладают графики чётной и нечётной функции, пошаговый алгоритм определения чётности, а также подробный разбор типовых примеров из проверочных работ.

Отработать тему чётные и нечётные функции можно после изучения теории в интерактивных тренажёрах с подробными решениями.

Определение чётной и нечётной функции

Первое и главное условие для исследования функции на чётность — симметричность её области определения $D(f)$ относительно начала координат. Это означает, что если точка $x$ принадлежит области определения, то и противоположная точка $-x$ также обязана в неё входить ( $x \in D(f) \implies -x \in D(f)$ ). Проблема в том, что очень часто девятиклассники забывают про область определения, поэтому обязательно уделите ей внимание.

Если область определения симметрична, то функцию проверяют по следующему правилу:

Определение чётной и нечётной функции 🎯

• Функция $y = f(x)$ называется чётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство:

f(-x) = f(x)

• Функция $y = f(x)$ называется нечётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство:

f(-x) = -f(x)

Если не выполняется ни одно из этих равенств (или область определения несимметрична), то функция называется функцией общего вида (ни чётной, ни нечётной).

Из этого можно сделать вывод, что для того, чтобы определить четность функции достаточно подставить -х вместо х и преобразовать выражение, а далее сравнить его со исходной функцией - если совпадет, значит четная, если нет, надо домножить всю функцию на минус 1 и сравнить - если совпадет, значит нечетная, а если не совпала оба раза - значит функция общего вида

Графики чётных и нечётных функций и их симметрия

Чётность функции помимо подстановки отрицательного аргумента в функции можно так же определить по симметрии графика.

1. График чётной функции 📈

График чётной функции симметричен относительно оси ординат ( $OY$ ).

(Примеры: парабола $y = x^2$ , модуль $y = |x|$ , косинус $y = \cos x$ ). Если перегнуть чертёж по оси $OY$ , левая и правая ветви полностью совпадут.

2. График нечётной функции 📉

График нечётной функции симметричен относительно начала координат — точки $(0; 0)$ .

(Примеры: кубическая парабола $y = x^3$ , гипербола $y = \dfrac{1}{x}$ , синус $y = \sin x$ ). Поворот графика на $180^\circ$ вокруг $(0;0)$ оставляет его неизменным.

Свойства чётных и нечётных функций

Ниже перечислены основные свойства чётных и нечётных функций, помогающие проводить алгебраические преобразования и которые могут понадобиться на устных зачетах по алгебре в 9 классе:

Операция над функциями

Результат для чётных функций

Результат для нечётных функций

Сумма / Разность ( $f \pm g$ )

Сумма двух чётных функций всегда чётная.

Сумма двух нечётных функций всегда нечётная.

Произведение / Частное ( $f \cdot g$ , $\frac{f}{g}$ )

Произведение двух чётных функций чётно.

Произведение двух нечётных функций чётно ( $- \cdot - = +$ ).

Смешанное произведение

Произведение чётной и нечётной функций всегда нечётно ( $+ \cdot - = -$ ).

Произведение чётной и нечётной функций всегда нечётно.

Важное свойство нечётной функции! 💡

Если непрерывная нечётная функция $y = f(x)$ определена в точке $x = 0$ , то её значение в этой точке строго равно нулю:

f(0) = 0

(Так как $f(-0) = -f(0) \implies f(0) = -f(0) \implies 2f(0) = 0 \implies f(0) = 0$ ).

Алгоритм: как определить чётную и нечётную функцию

Чтобы исследовать функцию $y = f(x)$ на чётность, придерживайтесь единого пошагового алгоритма:

Порядок действий:

Найдите область определения $D(f)$ : проверьте, является ли она симметричной относительно нуля. Если $D(f)$ несимметрична (например, $x \in [0; +\infty)$ ), то функция сразу является функцией общего вида.

Составьте выражение для $f(-x)$ : подставьте вместо переменной $x$ выражение $(-x)$ в аналитическую формулу функции.

Упростите выражение и сделайте вывод:
• Если получилось $f(-x) = f(x)$ $\implies$ функция чётная;
• Если получилось $f(-x) = -f(x)$ $\implies$ функция нечётная;
• Если $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$ $\implies$ функция общего вида.

Разбор типовых задач из контрольных работ за 9 класс

Рассмотрите решения характерных задач на исследование чётности функций из школьной программы за 9 класс.

Пример 1: Исследование чётности многочлена

Задание: Исследуйте на чётность функцию $f(x) = x^4 - 3x^2 + 5$ .

Подробное решение:

1) Область определения функции — все действительные числа ( $D(f) = \mathbb{R}$ ). Она симметрична относительно нуля.

2) Найдем $f(-x)$ , подставив $(-x)$ вместо $x$ :

f(-x) = (-x)^4 - 3(-x)^2 + 5

3) Так как $(-x)^4 = x^4$ и $(-x)^2 = x^2$ , получаем:

f(-x) = x^4 - 3x^2 + 5 = f(x)

4) Поскольку $f(-x) = f(x)$ , функция является чётной.

Ответ: функция $f(x)$ — чётная.

Пример 2: Исследование дроби на нечётность

Задание: Исследуйте на чётность функцию $f(x) = \dfrac{2x^3}{x^2 - 4}$ .

Подробное решение:

1) Область определения: знаменатель не равен нулю ( $x^2 - 4 \neq 0 \implies x \neq \pm 2$ ).
Область определения $D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$ симметрична относительно начала координат.

2) Найдем выражение для $f(-x)$ :

f(-x) = \dfrac{2(-x)^3}{(-x)^2 - 4} = \dfrac{-2x^3}{x^2 - 4} = -\dfrac{2x^3}{x^2 - 4}

3) Заметим, что полученное выражение равно $-f(x)$ :

f(-x) = -f(x)

4) Следовательно, данная функция является нечётной.

Ответ: функция $f(x)$ — нечётная.

Тренажёры по теме чётные и нечётные функции для 9 класса

Отработать тему чётная и нечётная функция можно с помощью тренажёров для 9 классе на образовательной платформе «Экзамео». Система автоматически проверяет полученные ответы и показывает подробные пошаговые решения к каждому заданию, чтобы вы могли лучше разобраться в теме и подготовиться к самостоятельным и контрольным работам.

Задача 1

Исследование многочленов на чётность и нечётность

Темы1

Курсы1

Задания, в которых стоит определить четность функции путем подстановки отрицательного аргумента и преобразованийВариант 1

Исследуйте функцию на чётность:

f(x) = -5x^3 + 5x^2 + 5x

В ответ запишите одно из слов (без кавычек и пробелов):
четная — если функция чётная;
нечетная — если функция нечётная;
общего вида — если функция не является ни чётной, ни нечётной.

Ваш ответ

Наберите ответ

Задача 2

Исследование дробно-рациональных функций на чётность и нечётность

Темы1

Курсы1

Тренажер на определение четности дробно-рациональных функцийВариант 1

Исследуйте дробно-рациональную функцию на чётность:

f(x) = \frac{-3x^5 + 4x}{-4x^5 - x}

Ваш ответ

Наберите ответ

Полный тренажер

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

В Экзамео откроются дополнительные задания по теме, проверка прогресса и решения после попытки.

Все тренажёрыПрогресс по темеПерсональный план