Гомотетия и её свойства: определение, коэффициенты и задачи

На этой странице представлен исчерпывающий справочник по теме «Гомотетия и её свойства» по геометрии для 9 класса. Методисты и эксперты платформы Экзамео разработали этот практический материал с наглядными определениями центра и коэффициента гомотетии, доказательствами ключевых свойств, алгоритмами построения фигур и подробным разбором типовых задач из контрольных работ и ОГЭ.

Гомотетия — это базовое геометрическое преобразование, которое лежит в основе всей теории подобия фигур в 9 классе. В отличие от движений (поворота, параллельного переноса, осевой и центральной симметрий), сохраняющих размеры, гомотетия изменяет размеры фигуры в одно и то же число раз, сохраняя её форму.

Теоретический справочник: всё о гомотетии

Ниже подробно разобраны понятие гомотетии, геометрический смысл коэффициента $k$ и основные свойства этого преобразования.

Определение гомотетии и её параметры

Определение гомотетии:

Гомотетией с центром $O$ и коэффициентом $k \neq 0$ называется преобразование плоскости, переводящее каждую точку $X$ в такую точку $X'$

$\vec{OX'} = k \cdot \vec{OX}$

Точка $O$ называется центром гомотетии, а число $k$ — коэффициентом гомотетии.

• Если $k > 0$ : точки $X$ и $X'$

• Если $k < 0$ : точка $X'$

[ Место для иллюстрации: Построение гомотетичных точек при k > 0 и k < 0 с центром O ]

Частные случаи коэффициента гомотетии! 💡

• При $k = 1$ гомотетия является тождественным преобразованием (фигура переходит сама в себя).
• При $k = -1$ гомотетия совпадает с центральной симметрией относительно точки $O$ .
• При $|k| > 1$ фигура увеличивается в $|k|$ раз; при $|k| < 1$ — уменьшается в $\frac{1}{|k|}$ раз.

Ключевые свойства гомотетии

Так как гомотетия является частным случаем преобразования подобия, она обладает всеми его фундаментальными свойствами:

1. Переход прямых и отрезков: Гомотетия переводит прямую в параллельную ей прямую (или в саму себя, если прямая проходит через центр гомотетии $O$ ). Отрезок $AB$ переходит в параллельный отрезок $A'B'$ , причём $A'B' = |k| \cdot AB$ .

2. Сохранение углов: При гомотетии сохраняется величина любых углов ( $\angle A'B'C' = \angle ABC$ ).

3. Подобие фигур: Любые две гомотетичные фигуры подобны с коэффициентом подобия $h = |k|$ .

4. Отношение площадей: Отношение площадей двух гомотетичных фигур равно квадрату модуля коэффициента гомотетии:

$\dfrac{S_{F'}}{S_F} = k^2$

Применение гомотетии в технике и жизни

Принцип гомотетии лежит в основе большинства оптических устройств и технологий масштабирования графики.

Проекторы и Фотокамеры 📽️

Кинопроектор или линза фотоаппарата проектирует изображение на экран или матрицу. Фокус линзы является центром гомотетии, а получаемое изображение — гомотетичной копией оригинала с отрицательным коэффициентом $k$ (перевёрнутое изображение).

Пантограф и Векторная графика 💻

Прибор пантограф использует рычаги для черчения гомотетичных копий карт и чертежей. В компьютерной графике векторное масштабирование изображений (Zoom) производит пересчёт координат точек относительно центра экрана по формулам гомотетии.

Пошаговый алгоритм построения гомотетичной фигуры

Чтобы построить фигуру (например, треугольник $A'B'C'$ ), гомотетичную заданной фигуре $ABC$ относительно центра $O$ с коэффициентом $k$ , придерживайтесь алгоритма:

Порядок действий:

Проведите лучи из центра $O$ через вершины фигуры: проведите прямые $OA$ , $OB$ , $OC$ .

Измерьте расстояния от центра до вершин: измерьте длины отрезков $OA$ , $OB$ , $OC$ .

Отложите новые отрезки с учётом $k$ :
- Если $k > 0$ , отложите на луче $OA$ отрезок $OA' = k \cdot OA$ .
- Если $k < 0$ , отложите на противоположном луче отрезок $OA' = |k| \cdot OA$ .
Аналогично постройте точки $B'$ и $C'$ .

Соедините полученные вершины: соедините точки $A'$ , $B'$ , $C'$ отрезками. Полученный треугольник $A'B'C'$ — искомый.

Разбор типовых задач из контрольных работ за 9 класс

Рассмотрите решения задач, характерных для самостоятельных, контрольных работ за 9 класс и экзамена ОГЭ по геометрии.

Пример 1: Нахождение площади гомотетичного треугольника

Задание: Треугольник $A'B'C'$ получен из треугольника $ABC$ гомотетией с коэффициентом $k = -3$ . Найдите площадь треугольника $A'B'C'$ , если площадь треугольника $ABC$ равна $12\text{ см}^2$ .

Подробное решение:

1) По свойству гомотетии отношение площадей гомотетичных фигур равно квадрату коэффициента гомотетии:
$\dfrac{S_{A'B'C'}}{S_{ABC}} = k^2$

2) Находим $k^2$ :
$k^2 = (-3)^2 = 9$

3) Вычисляем площадь $S_{A'B'C'}$ :
$S_{A'B'C'} = 9 \cdot S_{ABC} = 9 \cdot 12 = 108\text{ (см}^2)$ .

Ответ: $108\text{ см}^2$ .

Пример 2: Нахождение коэффициента гомотетии по координатам отрезков

Задание: Точка $A(2; 4)$ при гомотетии с центром в начале координат $O(0; 0)$ переходит в точку $A'(-6; -12)$ . Найдите коэффициент гомотетии $k$ .

Подробное решение:

1) По определению гомотетии с центром в начале координат векторы удовлетворяют соотношению:
$\vec{OA'} = k \cdot \vec{OA}$

2) Координаты вектора $\vec{OA} = (2; 4)$ , а координаты вектора $\vec{OA'} = (-6; -12)$ .

3) Составим равенство для координат:
$-6 = k \cdot 2 \implies k = -3$
$-12 = k \cdot 4 \implies k = -3$

4) Коэффициенты совпадают, следовательно, $k = -3$ .

Ответ: $k = -3$ .

Тренажёры по гомотетии на Экзамео

Закрепите теорию и свойства гомотетии на практике с помощью интерактивных онлайн-тренажёров образовательной платформы Экзамео. Все учебные задания, карточки на построение и проверочные тесты по теме «Гомотетия и её свойства» за 9 класс составлены строго в соответствии с требованиями ФГОС и материалами школьной программы по геометрии (учебники Атанасяна, Погорелова, Мерзляка).

В базе платформы представлены сотни задач разного уровня сложности с автоматической проверкой ответов и подробными пошаговыми решениями. Переходите к тренажёрам по геометрии на Экзамео, тренируйтесь в удобном темпе и уверенно получайте отличные оценки на контрольных работах и ОГЭ!