Масштаб - определение, виды, примеры и задачи

На странице собраны подробные учебные материалы по математике «Масштаб» для 6 класса. Методисты и эксперты платформы Экзамео разработали этот практический справочник с понятными объяснениями, наглядными примерами и пошаговыми алгоритмами, чтобы помочь шестиклассникам разобраться в теме масштаба, научиться быстро переводить расстояния с карт, чертежей и микроскопических схем в реальные размеры и наоборот, а также успешно подготовиться к самостоятельным работам, контрольным работам и ВПР.

В 6 классе масштаб — это одна из самых практичных тем: ученики связывают абстрактные знания о пропорциях с реальной жизнью — географическими картами, планами квартир, автомоделизмом и биологическими микросхемами.

Что такое масштаб? Объяснение для 6 класса

Нельзя нарисовать карту всей страны или чертёж реального дома на маленьком листе бумаги в их настоящую величину. Точно так же невозможно начертить маленькую деталь наручных часов или клетку человека в натуральный размер — её просто не разглядеть!

• Масштаб — это отношение длины отрезка на карте (или чертеже) к длине соответствующего отрезка на местности (в реальности);
• Что показывает отношение: масштаб показывает, во сколько раз размеры изображения уменьшены или увеличены по сравнению с настоящими объектами;
• Главный секрет вычислений: обе величины при вычислении масштаба обязательно должны быть выражены в одинаковых единицах измерения (обычно в сантиметрах!).

Масштаб активно используется на картах - давайте посмотрим на пример такой карты

Как видно в правом нижнем углы карты - масштаб составляет 1:100000, давайте разберемся, что это такое и как решать задачи на масштаб в 6 классе.

Запомните главную формулу масштаба:

\text{Масштаб} = \dfrac{\text{Длина на карте (в см)}}{\text{Длина в реальности (в см)}}

Запись $1 : 100\ 000$ читается так: «Один к ста тысячам». Это значит, что $1\text{ см}$ на карте равен $100\ 000\text{ см}$ на местности.

Три формы записи масштаба

В математике и географии используются три формы представления масштаба:

Вид масштаба

Как выглядит запись

Как расшифровать и перевести

1. Численный

$1 : 250\ 000$

Дробная запись: $1\text{ см}$ изображения равен $250\ 000\text{ см}$ в реальности.

2. Именованный

в $1\text{ см}$ — $2,5\text{ км}$

Текстовое пояснение: отбрасываем у $250\ 000\text{ см}$ два нуля ( $\implies \text{метры}$ ) и еще три нуля ( $\implies \text{километры}$ ).

3. Линейный

Чертёжная шкала с делениями

Графическая полоска, на которой сразу отложены сантиметры с подписями реальных расстояний ( $0 \dots 2,5\text{ км} \dots 5\text{ км}$ ).

Где применяется масштаб? Разбираем реальные жизненные примеры

В зависимости от задачи масштаб может как уменьшать, так и увеличивать реальные объекты:

1. География и карты 🗺️

Применяется масштаб уменьшения ( $1 : 100\ 000$ , $1 : 10\ 000\ 000$ ).

• На карте $1\text{ см}$ соответствует десяткам или сотням километров в реальности.

2. Модели и Чертежи 🚗🏢

Применяется масштаб уменьшения ( $1 : 43$ , $1 : 72$ , $1 : 100$ ).

• Коллекционные модельки машин (масштаб $1 : 43$ означает, что модель точно в $43$ раза меньше настоящего авто).

• План квартиры или архитектурный макет дома.

3. Микромир и детали 🔬

Применяется масштаб увеличения ( $5 : 1$ , $100 : 1$ , $1000 : 1$ ).

• Если в записи первое число больше второго, значит объект увеличили!

• Масштаб $100 : 1$ означает, что на рисунке деталь в $100$ раз больше своего реального размера.

Как легко переводить сантиметры в задачах на масштабы

Главный секрет решения задач на масштаб — умение за секунду переводить сантиметры в метры и километры:

Правило «Зачеркни нули»:

1) Перевод в метры ( $\text{м}$ ): Так как $1\text{ м} = 100\text{ см}$ , убираем $2$ нуля.
Пример: $500\text{ см} = 5\text{ м}$ .

2) Перевод в километры ( $\text{км}$ ): Так как $1\text{ км} = 1000\text{ м} = 100\ 000\text{ см}$ , убираем всего $5$ нулей (сначала $2$ нуля для метров, затем еще $3$ нуля для километров).
Пример: $3\ 000\ 000\text{ см} = 30\text{ км}$ .

3 главных типа задач на масштаб и алгоритм их решения

Все задачи на масштаб в школьном курсе математики 6 класса делятся на три основных типа. Они легко решаются через составление пропорции:

Порядок решения любых задач на масштаб:

Тип 1: Найти расстояние в реальности (по карте и масштабу).

Умножьте расстояние на карте на знаменатель масштаба, а затем переведите сантиметры в метры или километры.

Тип 2: Найти расстояние на карте (по реальному расстоянию и масштабу).

Переведите реальное расстояние в сантиметры и разделите на знаменатель масштаба.

Тип 3: Найти сам масштаб (по длине на карте и в реальности).

Переведите реальное расстояние в сантиметры и найдите отношение длины на карте к длине в реальности, сократив полученную дробь до $1$ в числителе.

Разбор практических примеров с масштабами

Рассмотрите подробные решения задач на масштаб из программы 6 класса.

Пример 1: Задача на географическую карту (нахождение реального расстояния)

Задание: Расстояние между двумя городами на карте с масштабом $1 : 5\ 000\ 000$ равно $4,5\text{ см}$ . Чему равно настоящее расстояние между этими городами на местности?

Подробное решение:

1) Составим пропорцию:

Пусть $x\text{ см}$ — расстояние на местности.

На карте: $1\text{ см} \implies 5\ 000\ 000\text{ см}$ на местности.

На карте: $4,5\text{ см} \implies x\text{ см}$ на местности.

2) Найдем $x$ :

$x = 4,5 \cdot 5\ 000\ 000 = 22\ 500\ 000\text{ см}$ .

3) Переведем сантиметры в километры (убираем $5$ нулей):

$22\ 500\ 000\text{ см} = 225\text{ км}$ .

Ответ: Настоящее расстояние между городами составляет $225\text{ км}$ .

Пример 2: Задача на модель автомобиля (масштаб уменьшения)

Задание: Длина настоящего автомобиля составляет $4,3\text{ м}$ . Какой будет длина коллекционной игрушечной модели этого автомобиля, выполненной в масштабе $1 : 43$ ?

Подробное решение:

1) Переведем реальную длину автомобиля в сантиметры:

$4,3\text{ м} = 4,3 \cdot 100 = 430\text{ см}$ .

2) Найдем длину модели:

Масштаб $1 : 43$ означает, что модель в $43$ раза меньше настоящего автомобиля:

$\text{Длина модели} = 430 : 43 = 10\text{ см}$ .

Ответ: Длина игрушечной модели равна $10\text{ см}$ .

Пример 3: Задача на масштаб увеличения (биология / микродетали)

Задание: Длина крыла маленького насекомого равна $2\text{ мм}$ . На рисунке в учебнике биологии это крыло имеет длину $8\text{ см}$ . В каком масштабе выполнен рисунок?

Подробное решение:

1) Приведем обе величины к одинаковым единицам измерения (к миллиметрам):

Длина на рисунке: $8\text{ см} = 80\text{ мм}$ .

Длина в реальности: $2\text{ мм}$ .

2) Найдем отношение длины на рисунке к реальной длине:

$\text{Масштаб} = \dfrac{80}{2} = \dfrac{40}{1}$ .

3) Запишем масштаб:

Масштаб равен $40 : 1$ (объект увеличен в $40$ раз).

Ответ: Рисунок выполнен в масштабе $40 : 1$ .

Тренажёры по теме «Масштаб» для 6 класса на Экзамео

На образовательной платформе Экзамео подготовлены интерактивные онлайн-тренажёры по теме «Масштаб» для 6 класса с подробными решениями и автоматической проверкой ответов. Задания на перевод численного масштаба в именованный, решение задач на географические карты, макеты зданий, чертежи и масштаб увеличения составлены в точном соответствии с федеральной рабочей программой по математике за 6 класс и требованиями ФГОС!

Переходите к интерактивным тренажёрам по теме «Масштаб 6 класс» на Экзамео. Тренируйтесь в удобном для вас ритме, повышайте уровень знаний и достигайте отличных результатов по математике вместе с нами!