Уравнение окружности 9 класс: формула, свойства и задачи с решениями

В этом разделе подробно рассматривается тема «Уравнение окружности» по геометрии за 9 класс. Умение составлять уравнение окружности, определять координаты её центра и радиус по готовому формульному выражению используется в контрольных работах 9 класса по алгебра, а также часто встречается в ЕГЭ по математике в заданиях на параметр.

После теории вы найдете тренажёры на уравнение окружности можно после теории в интерактивных тренажёрах с подробными решениями.

Вывод формулы уравнения окружности

Вспомним геометрию: окружность — это множество всех точек плоскости, удалённых от заданной точки (центра) на одинаковое расстояние - радиус.

Пусть на декартовой координатной плоскости задана точка $C(a; b)$ — центр окружности, и произвольная точка $M(x; y)$ , лежащая на этой окружности. Расстояние между точками $C$ и $M$ по формуле расстояния между двумя точками на плоскости равен:

CM = \sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2}

Так как расстояние $CM$ равно радиусу $R$ , возведём обе части равенства в квадрат ( $CM^2 = R^2$ ) и получим каноническую формулу:

Уравнение окружности общего вида

Уравнение окружности радиуса $R$ с центром в точке $C(a; b)$ имеет вид:

(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2

Вы так же можете встретить название каноническое уравнение окружности

Уравнение окружности с центром в начале координат

Частный случай: если центр окружности совпадает с началом координат — точкой $O(0; 0)$ , то подставляя $a = 0$ и $b = 0$ , получаем упрощённую формулу:

x^2+y^2=R^2

Например, уравнение $x^2 + y^2 = 25$ задаёт окружность с центром в точке $(0; 0)$ и радиусом $R = \sqrt{25} = 5$ .

Примеры уравнений

При анализе уравнения обратите внимание на знаки перед координатами $a$ и $b$ в скобках — они берутся с противоположным знаком!

Уравнение окружности

Координаты центра

Радиус окружности

$(x - 3)^2 + (y - 5)^2 = 16$

$C(3; 5)$

$R = \sqrt{16} = 4$

$(x + 2)^2 + (y - 7)^2 = 9$

$C(-2; 7)$

$R = \sqrt{9} = 3$

$(x - 1)^2 + y^2 = 7$

$C(1; 0)$

$R = \sqrt{7}$

$(x + 4)^2 + (y + 6)^2 = 1$

$C(-4; -6)$

$R = \sqrt{1} = 1$

Как решать задачи на уравнение окружности?

В 9 классе вы можете встретить всего 2 вида задач на уравнение окружности:

Нарисовать окружность по уравнению

В заданиях этого вида вам дают уравнение окружности и по нему нужно понять координаты центра и величину радиуса окружности

Составить уравнение окружности

В условии задачи могут дать как уравнение, которое нужно будет привести к каноническому виду, так и график, по которому нужно будет составить уравнение

Самый сложный вид таких заданий связан с преобразованием уравнений в канонический вид с выделением полного квадрата

Приём: Выделение полного квадрата

Иногда уравнение окружности дано в раскрытом виде: $x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$ .Чтобы найти её центр и радиус, сгруппируйте слагаемые по переменным $x$ и $y$ и дополните их до формулы квадрата суммы/разности:

1. $(x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 4y + 4) - 9 - 4 - 12 = 0$

2. $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 - 25 = 0 \implies (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$

Центр окружности $C(3; -2)$ , радиус $R = \sqrt{25} = 5$ .

Порядок решения заданий на уравнения окружности:

Определите центр окружности $C(a; b)$ : найдите координаты центра по условию задачи (или как середину диаметра $a = \frac{x_1 + x_2}{2}$ , $b = \frac{y_1 + y_2}{2}$ ).

Найдите радиус $R$ (или $R^2$ ): вычислите расстояние от центра до любой точки окружности по формуле расстояния или разделите длину диаметра на 2.

Запишите итоговое уравнение: подставьте значения $a$ , $b$ и $R^2$ в формулу $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$ .

Разбор типовых задач

Рассмотрите решения характерных задач из экзаменационных материалов за 9 класс.

Пример 1: Составление уравнения окружности по центру и точке

Задание: Составьте уравнение окружности с центром в точке $C(-2; 3)$ , проходящей через точку $A(1; 7)$ .

Подробное решение:

1) Координаты центра заданы: $a = -2$ , $b = 3$ .

2) Радиус равен расстоянию от центра $C$ до точки $A$ :

R^2 = CA^2 = (x_A - a)^2 + (y_A - b)^2

3) Вычислим значение $R^2$ :

R^2 = (1 - (-2))^2 + (7 - 3)^2 = (1 + 2)^2 + 4^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25

4) Запишем итоговое уравнение окружности:

(x - (-2))^2 + (y - 3)^2 = 25 \implies (x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 25

Ответ: $(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 25$ .

Пример 2: Составление уравнения окружности по диаметру

Задание: Отрезок $AB$ является диаметром окружности. Найдите уравнение этой окружности, если $A(-1; 2)$ и $B(5; 10)$ .

Подробное решение:

1) Центр окружности $C(a; b)$ находится на середине диаметра $AB$ :

a = \dfrac{x_A + x_B}{2} = \dfrac{-1 + 5}{2} = \dfrac{4}{2} = 2

b = \dfrac{y_A + y_B}{2} = \dfrac{2 + 10}{2} = \dfrac{12}{2} = 6

Таким образом, центр окружности имеет координаты $C(2; 6)$ .

2) Вычислим квадрат радиуса $R^2$ как квадрат расстояния от центра $C(2; 6)$ до точки $A(-1; 2)$ :

R^2 = CA^2 = (-1 - 2)^2 + (2 - 6)^2 = (-3)^2 + (-4)^2 = 9 + 16 = 25

3) Составим уравнение окружности:

(x - 2)^2 + (y - 6)^2 = 25

Ответ: $(x - 2)^2 + (y - 6)^2 = 25$ .

Тренажёры по теме «Уравнение окружности» на Экзамео

Отработать тему уравнение окружности 9 класс и подготовиться к контрольным работам и ОГЭ по геометрии можно с помощью онлайн-тренажёров на образовательной платформе «Экзамео». Наша база содержит сотни практических заданий на нахождение центра, радиуса, составление уравнений по точкам и диаметру, а также выявление принадлежности точек окружности.

Интерактивная система автоматически проверяет ответы в реальном времени и показывает подробные пошаговые решения с чертежами на координатной плоскости к каждому номеру. Занимайтесь на Экзамео в комфортном темпе, осваивайте метод координат и получайте только отличные оценки по геометрии

Задача 1

Определение центра и радиуса по каноническому уравнению окружности

Темы1

Курсы1

Задачи на компоненты канонического уравнения окружностиВариант 1

Окружность задана уравнением $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4$ . Найдите ординату (координату $y$ ) центра этой окружности.

Ответ запишите в виде целого числа или десятичной дроби.

Ваш ответ

Наберите ответ

Задача 2

Уравнение окружности через две точки

Темы1

Курсы1

В заданиях вам даны координаты начала и конца диаметра, по которым нужно найти уравнение окружностиВариант 1

Отрезок $AB$ является диаметром окружности. Запишите уравнение этой окружности, если $A(-1; -5)$ и $B(3; -1)$ .

Уравнение запишите в каноническом виде: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$ .