9 задание ОГЭ по математике - разбор всех уравнений с подробными решениями

На этой странице собраны подробные, доступные и систематизированные учебные материалы по теме «Задание 9 ОГЭ по математике: Уравнения». Эксперты и методисты платформы Экзамео разработали этот практический справочник с пошаговыми алгоритмами, классификацией всех прототипов ФИПИ и разбором типовых задач, чтобы помочь выпускникам 9 класса освоить ключевые приёмы решения уравнений, избежать обидных ошибок в знаках и гарантированно получить заветный балл на экзамене.

Задание 9 относится к первой части ОГЭ по математике и проверяет умение находить корни уравнений разной сложности. В ответ записывается конкретное число (целое или конечная десятичная дробь). Если уравнение имеет более одного корня, в условии всегда указано, какой именно корень нужно записать в бланк (меньший, больший или их сумму/произведение).

Общая характеристика задания 9 ОГЭ

Краткие параметры задания:
• Уровень сложности: базовый;
• Максимальный балл: 1 балл;
• Форма ответа: целое число или конечная десятичная дробь (без пробелов, наименований и знаков x=);
• Среднее время выполнения: 3–5 минут;
• Ключевое требование к оформлению: в бланк ответов №1 переносится только финальное число. Все промежуточные расчёты выполняются на черновике.

Какие математические темы входят в задание 9?

В открытом банке заданий ФИПИ представлены четыре основных типа уравнений:

1. Линейные уравнения 📏

• Форма: ax + b = 0 или с раскрытием скобок / дробями.

• Принцип: слагаемые с переменной переносим в одну сторону, без переменной — в другую (меняя знаки).

• Особенность: всегда имеют ровно 1 корень.

2. Квадратные уравнения 🔲

• Форма: ax² + bx + c = 0 (полные и неполные).

• Способы: дискриминант, теорема Виета, вынесение x за скобки, разность квадратов.

• Особенность: могут иметь 2 корня, 1 корень или не иметь корней.

3. Распадающиеся уравнения (Произведение = 0) ✖️

• Форма: (ax + b)(cx + d) = 0.

• Принцип: произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

• Способ: приравниваем каждую скобку к 0 отдельно.

4. Простейшие дробно-рациональные уравнения ➗

• Форма: дроби с переменной в числителе или знаменателе.

• Принцип: пропорция (крест-накрест) или домножение на общий знаменатель.

• Важно: учитывать ОДЗ (знаменатель не равен 0).

Сводная шпаргалка по методам решения

В таблице ниже собраны ключевые формулы и методы, необходимые для решения 9 задания:

Тип уравнения

Рабочая формула / Метод

Пример решения

Полное квадратное

D = b² − 4ac;

x = (−b ± √D) / (2a)

x² − 5x + 6 = 0 $\implies$ D = 25 − 24 = 1;

x₁ = (5+1)/2 = 3, x₂ = (5−1)/2 = 2

Неполное квадратное (c = 0)

Вынесение x за скобки:

x(ax + b) = 0

3x² − 12x = 0 $\implies$ 3x(x − 4) = 0;

x₁ = 0, x₂ = 4

Неполное квадратное (b = 0)

x² = k $\implies$ x = ±√k

2x² − 18 = 0 $\implies$ x² = 9;

x = 3 и x = −3

Произведение равное нулю

a · b = 0 $\implies$ a = 0 или b = 0

(x − 2)(x + 7) = 0 $\implies$

x − 2 = 0 или x + 7 = 0 $\implies$ x₁ = 2, x₂ = −7

Пропорция (дробное)

a / b = c / d $\implies$ a · d = b · c

12 / (x + 3) = 4 $\implies$ 4(x + 3) = 12;

x + 3 = 3 $\implies$ x = 0

Универсальный алгоритм выполнения задания 9

Чтобы безошибочно решить задание 9 на экзамене, придерживайтесь этого пошагового алгоритма:

Порядок действий:

Определите тип уравнения: посмотрите на высшую степень переменной и структуру выражения (линейное, квадратное, с распадающимися скобками или с дробью).

Раскройте скобки и приведите подобные (если нужно): перенесите все слагаемые в одну сторону для квадратных уравнений (приведя к виду ax² + bx + c = 0) или разделите переменные и числа для линейных.

Найдите все корни уравнения: примените соответствующий математический метод (дискриминант, формулу линейного уравнения, вынесение за скобки).

Внимательно прочитайте требование к ответу: посмотрите, что именно просят записать в ответ (например, «Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней»).

Главные ошибки выпускников в задании 9

При выполнении задания 9 девятиклассники чаще всего допускают следующие распространенные ошибки:

Потеря отрицательного корня при извлечении квадратного корня

Записывать x² = 25 $\implies$ x = 5 ❌. Запомните: уравнение x² = 25 имеет ДВА корня: x = 5 и x = −5 ✅!

Забывание смены знака при переносе слагаемого

Переносить слагаемое через знак «=» без смены знака (например, x + 5 = 2 $\implies$ x = 2 + 5 ❌). При переносе знак меняется на противоположный: x = 2 − 5 = −3 ✅!

Также частая ошибка — раскрытие скобок при раскрытии распадающегося уравнения вместо простого приравнивания каждой скобки к нулю.

Подробный разбор официальных прототипов ФИПИ

Рассмотрите полные образцы решения четырёх основных типов заданий из банка ФИПИ.

Прототип 1: Линейное уравнение со скобками

Задание: Найдите корень уравнения 4(x − 3) = 2x + 6.

Подробное решение:

1) Раскроем скобки в левой части:

4 · x − 4 · 3 = 2x + 6

4x − 12 = 2x + 6

2) Перенесём слагаемые с переменной x влево, а числа вправо (меняя знаки):

4x − 2x = 6 + 12

3) Приведём подобные слагаемые:

2x = 18

4) Разделим обе части на 2:

x = 18 : 2

x = 9

Ответ: 9

Прототип 2: Полное квадратное уравнение

Задание: Решите уравнение x² − 2x − 15 = 0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

Подробное решение:

1) Выпишем коэффициенты квадратного уравнения: a = 1, b = −2, c = −15.

2) Найдем дискриминант по формуле D = b² − 4ac:

• D = (−2)² − 4 · 1 · (−15) = 4 + 60 = 64 (√64 = 8).

3) Найдем корни уравнения по формуле x = (−b ± √D) / (2a):

• x₁ = (2 + 8) / (2 · 1) = 10 / 2 = 5

• x₂ = (2 − 8) / (2 · 1) = −6 / 2 = −3

4) В условии сказано записать больший из корней:

• Сравниваем: 5 > −3. Больший корень равен 5.

Ответ: 5

Прототип 3: Распадающееся уравнение (произведение двух скобок)

Задание: Решите уравнение (x − 4)(−2x + 8) = 0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

Подробное решение:

1) Произведение двух множителей равно 0, когда хотя бы один из них равен 0:

• x − 4 = 0 или −2x + 8 = 0

2) Решим каждое простейшее линейное уравнение отдельно:

• Первое: x − 4 = 0 $\implies$ x₁ = 4

• Второе: −2x = −8 $\implies$ x₂ = −8 : (−2) = 4

3) Оба корня оказались одинаковыми: x = 4.

Ответ: 4

Прототип 4: Простейшее дробно-рациональное уравнение

Задание: Найдите корень уравнения 12 / (x − 5) = 3.

Подробное решение:

1) Представим число 3 как дробь 3/1 и воспользуемся свойством пропорции (перемножим крест-накрест):

• 3 · (x − 5) = 12 · 1

2) Разделим обе части уравнения на 3:

• x − 5 = 4

3) Найдём x:

• x = 4 + 5

• x = 9

4) Проверим ОДЗ: при x = 9 знаменатель равен (9 − 5) = 4 ≠ 0, значит корень подходит.

Ответ: 9

Тренажёры и тесты по заданию 9 ОГЭ на Экзамео

На образовательной платформе Экзамео подготовлена интерактивная подборка онлайн-тренажёров по заданию 9 ОГЭ по математике с подробными решениями и автоматической проверкой ответов. Все прототипы линейных, квадратных, неполных и дробно-рациональных уравнений составлены в точном соответствии с актуальным открытым банком заданий ФИПИ!

Переходите к интерактивным тренажёрам по заданию «Задание 9 ОГЭ: Уравнения» на Экзамео. Тренируйтесь в удобном для вас ритме, отрабатывайте решение уравнений до автоматизма и достигайте максимальных баллов на экзамене!