Теорема Виета 8 класс - тренажеры, примеры и формулы

В этом разделе подробно разбирается одна из самых красивых тем алгебры 8 класса — «Теорема Виета». Этот метод позволяет быстро находить корни квадратного уравнения устно, не прибегая к громоздким вычислениям через дискриминант, а также составлять квадратные уравнения по заданным корням и решать сложные олимпиадные задачи, в том числе и параметрические.

Здесь собрана вся ключевая теория 8 класса: прямой и обратный варианты теоремы, формулы для приведённого и общего квадратного уравнения, удобный алгоритм устного подбора знаков и корней, а также разбор характерных примеров из самостоятельных и контрольных работ.

Отработать решение квадратных уравнений на теорему Виета можно после теории в интерактивных тренажёрах с подробными решениями и подсказками.

Теорема Виета для общего квадратного уравнения

Если квадратное уравнение записано в общем виде $ax^2 + bx + c = 0$ (где $a \neq 0$ ), его всегда можно привести к приведенному виду, разделив обе части на старший коэффициент $a$ ( $x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{c}{a} = 0$ ). В таком и только таком случае можно применять теорему Виета.

Общая формула теоремы Виета:

Для любого квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ , имеющего корни $x_1$ и $x_2$ :

\begin{cases} x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} \\[8pt] x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} \end{cases}

Важно отметить, что в таком варианте квадратных уравнений чаще всего ребята решают при помощи формулы дискриминанта, так как корни будут скорее всего дробные, а их подбирать значительно тяжелее

Важное условие:

Теорема Виета справедлива только тогда, когда квадратное уравнение имеет корни, то есть его дискриминант неотрицателен: $D \geqslant 0$

Теорема Виета для приведённого квадратного уравнения

Квадратное уравнение вида $x^2 + px + q = 0$ , у которого старший коэффициент равен единице ( $a = 1$ ), называется приведённым. Именно для таких уравнений чаще всего применяется устный подбор по теореме Виета.

Формулировка теоремы Виета 🎯

Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

\begin{cases} x_1 + x_2 = -p \\ x_1 \cdot x_2 = q \end{cases}

Эта теорема напрямую связывает коэффициенты уравнения с его корнями. Если вы её освоите, то сможете мгновенно «угадывать» ответы, не тратя время на вычисление дискриминанта и громоздкие формулы.

Нужно понимать, что теорема Виета это ваш помощник, если у вас не получается подобрать быстро корни не мучайтесь, просто решайте через дискриминант, но при изучении этой темы мы настоятельно рекомендуем нарешать устно большое количество уравнений, которые доступны в тренажерах, чтобы запомнить как работает подбор корней.

Лайфхаки для быстрого устного счёта корней квадратного уравнения!

1. Начинайте всегда с произведения ( $q$ )!

Раскладывайте модуль свободного члена на множители, а затем проверяйте, какая пара при сложении даёт значение $-p$ .

2. Свойства коэффициентов (частные случаи):

Если $a + b + c = 0$ , то один из корней всегда $x_1 = 1$ , а второй $x_2 = \dfrac{c}{a}$ .

Если $a - b + c = 0$ , то один из корней всегда $x_1 = -1$ , а второй $x_2 = -\dfrac{c}{a}$ .

Обратная теорема Виета

Для решения задач на составление уравнений и подбора корней используется обратное утверждение:

Обратная теорема Виета 🎯

Если числа $x_1$ и $x_2$ таковы, что их сумма равна $-p$ , а произведение равно $q$ , то эти числа являются корнями приведённого квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$ .

Эта сторона теоремы чаще всего используется учителями для быстрого составления квадратных уравнений на уроках по алгебре.

Правило определения знаков корней

Чтобы не путаться в знаках при устном подборе, анализируйте свободный член $q$ и второй коэффициент $p$ , это же поможет вам проверять решенные квадратные уравнения и ещё сильнее ускорит решение квадратных уравнений.

Знак свободного члена (q)

Знаки корней

Правило подбора

$q > 0$ (положительный)

Корни имею одинаковые знаки (оба $+$ , либо оба $-$ ).

Если $p < 0$ $\implies$ оба корня положительны ( $+$ );
Если $p > 0$ $\implies$ оба корня отрицательны ( $-$ ).

$q < 0$ (отрицательный)

Корни имеют разные знаки (один $+$ , один $-$ ).

Больший по модулю корень имеет знак, противоположный знаку коэффициента $p$ .

Пошаговый алгоритм подбора корней

При устном решении квадратных уравнений по теореме Виета придерживайтесь алгоритма:

Порядок действий:

Убедитесь, что уравнение приведённое: если $a \neq 1$ , разделите все члены уравнения на $a$ или используйте общую формулу.

Выпишите систему Виета: найдите значение суммы $x_1 + x_2 = -p$ и произведения $x_1 \cdot x_2 = q$ .

Подберите пары множителей: разложите свободный член $q$ на целочисленные множители и подберите пару, дающую требуемую сумму $-p$ .

Тренажёры с квадратными уравнениями на теорему Виета для 8 класса

Отработать навык быстрого подбора корней и применения теоремы Виета в 8 классе можно с помощью интерактивных онлайн-тренажёров на платформе «Экзамео». К каждому уравнению вы найдете подробное объяснение подбора корней и проверку по дискриминанту.

Задача 1

Тренажеры на теорему Виета

Темы3

Курсы2

В тренажере только приведенные квадратные уравнения с красивыми корнями, чтобы можно было натренировать использование теоремы ВиетаВариант 1

Решите уравнение с использованием теоремы Виета:

x^2 + 3x - 4 = 0

В ответ запишите корни в порядке возрастания слитно, без пробелов и других дополнительных символов.

Ваш ответ

Наберите ответ

Задача 2

Решение приведенного квадратного уравнения с дробными корнями

Темы3

Курсы2

Приведенные квадратные уравнения для теоремы Виета с дробными корнямиВариант 1

Найдите корни уравнения:

x^2 - \frac{3}{5}x - \frac{28}{25} = 0

В ответ запишите корни в порядке возрастания слитно, без пробелов. Обыкновенные дроби записывайте через слэш (например, -1/23/4).

Ваш ответ

Наберите ответ

Полный тренажер

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

В Экзамео откроются дополнительные задания по теме, проверка прогресса и решения после попытки.

Все тренажёрыПрогресс по темеПерсональный план