Задание 4 ЕГЭ по профильной математике: теория вероятностей и разбор прототипов

Задание 4 профильного ЕГЭ по математике это простая задача на вероятность в первой части и оценивается в 1 первичный балл. Оно проверяет умение применять базовые понятия и формулы теории вероятностей: классическое определение вероятности, правило противоположного события, понятийную частоту, а также теоремы сложения вероятностей несовместных событий и умножения независимых испытаний.

В отличие от более сложного Задания 5, в четвертой линии встречаются понятные практические сюжеты: выбор экзаменационного билета, жеребьёвка в спортивных турнирах, покупка исправных приборов (насосов, лампочек, батареек) и вычисление шансов на выигрыш. На этой странице собрана вся необходимая теория, правила перевода результатов в десятичные дроби и подробный разбор ключевых прототипов из открытого банка ФИПИ.

Отработать навыки решения задач на простую вероятность можно в интерактивных тренажёрах Задания 4 ЕГЭ по математике с мгновенной автоматической проверкой и решениями.

Классическое определение вероятности

Если все исходы случайного эксперимента равновозможны, то вероятность наступления события $A$ равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу всех возможных исходов:

Формула классической вероятности 🎯

P(A) = \dfrac{m}{n}

где:
• $m$ — число исходов, благоприятствующих событию $A$ ;
• $n$ — общее число всех равновероятных исходов эксперимента.

Границы вероятности и противоположное событие

Значение вероятности любого события всегда заключено строго в промежутке от $0$ до $1$ :

0 \le P(A) \le 1

• $P(A) = 0$ — невозможное событие;

• $P(A) = 1$ — достоверное событие.

Формула противоположного события:

Сумма вероятностей прямого события $A$ и противоположного ему события $\bar{A}$ (события «не $A$ ») строго равна $1$ :
$$P(A) + P(\bar{A}) = 1 \implies P(\bar{A}) = 1 - P(A)$$

Её выгодно применять, когда посчитать количество неблагоприятных исходов гораздо быстрее.
(Например, если вероятность того, что подшипник окажется бракованным, равна $P = 0{,}03$ , то вероятность выбрать годный подшипник равна $P = 1 - 0{,}03 = 0{,}97$ ).

Частота как оценка вероятности

В ряде задач профильного ЕГЭ вероятность оценивается по статистическим опытным данным. Если в $N$ проведённых испытаниях событие наступило $k$ раз, то его относительная частота находится по формуле:

W(A) = \dfrac{k}{N}

Чем больше объем серии испытаний $N$ , тем ближе относительная частота к истинному значению вероятности.

(Например, если из 1000 изготовленных батареек 15 оказались бракованными, то относительная частота выхода бракованной батарейки равна $\dfrac{15}{1000} = 0{,}015$ ).

Сложение и произведение вероятностей

При решении сложных текстовых задач Задания 4 применяются правила комбинации нескольких событий:

Правило / Операция

Условие применения

Математическая формула

Сложение вероятностей

(логический союз «ИЛИ»)

События $A$ и $B$ являются несовместными (не могут наступить одновременно в одном опыте).

P(A + B) = P(A) + P(B)

Умножение вероятностей

(логический союз «И»)

События $A$ и $B$ являются независимыми (наступление одного не меняет вероятность другого).

P(A \cdot B) = P(A) \cdot P(B)

Как правильно перевести результат и записать в бланк № 1

Ответом к Заданию 4 профильного ЕГЭ по математике может быть только конечная десятичная дробь или целое число.

Удобный приём перевода и правила бланка № 1! 💡

1. Домножение знаменателя: Чтобы перевести обыкновенную дробь $\dfrac{m}{n}$ в десятичную, сократите её, а затем домножьте числитель и знаменатель до $10, 100, 1000$ :
$$\dfrac{7}{25} = \dfrac{7 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \dfrac{28}{100} = 0{,}28$$
2. Запись в бланк № 1: Каждая цифра, запятая и знак «минус» записываются в отдельную клетку. Ноль перед запятой писать обязательно (правильно $0{,}28$ , а не $,28$ ). Знаки процентов «%», наименования единиц и пробелы в бланк не вносятся.

Пошаговый алгоритм решения Задания 4

При выполнении Задания 4 на экзамене придерживайтесь алгоритма:

Порядок действий:

Сформулируйте искомое событие: чётко определите, нахождение вероятности какого исхода требуется в условии.

Рассчитайте значения $m$ и $n$ : подсчитайте общее число равновероятных исходов $n$ и количество благоприятных исходов $m$ (или используйте правило противоположного события $1 - P$ ).

Запишите десятичную дробь: переведите обыкновенную дробь $P(A) = \dfrac{m}{n}$ в десятичную форму и внесите результат в бланк.

Разбор всех прототипов Задания 4 из банка ФИПИ

Рассмотрите решения характерных задач четвёртой линии профильного ЕГЭ по математике.

Пример 1: Классическая вероятность и жеребьёвка

Задание: В чемпионате по гимнастике участвуют $20$ спортсменок: $8$ из России, $7$ из Китая, остальные — из Японии. Порядок выступлений определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Японии.

Подробное решение:

1) Общее число всех спортсменок (общее количество исходов для первого номера): $n = 20$ .

2) Найдем количество гимнасток из Японии (число благоприятных исходов $m$ ):

m = 20 - (8 + 7) = 20 - 15 = 5

3) По классическому определению вероятности:

P = \dfrac{m}{n} = \dfrac{5}{20} = \dfrac{1}{4} = 0{,}25

Ответ: $0{,}25$ .

Пример 2: Оценка качества товара и противоположное событие

Задание: В среднем из $1000$ садовых насосов, поступивших в продажу, $6$ подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

Подробное решение:

1) Общее число насосов в партии: $n = 1000$ .

2) Найдём вероятность купить подтекающий (бракованный) насос:

P(\text{брак}) = \dfrac{6}{1000} = 0{,}006

3) Найдем вероятность купить исправный насос по формуле противоположного события:

P(\text{исправен}) = 1 - P(\text{брак}) = 1 - 0{,}006 = 0{,}994

Ответ: $0{,}994$ .

Пример 3: Независимые события и теорема умножения

Задание: Помещению требуется две рабочие батарейки. В магазине продаются упаковки по две батарейки. Известно, что вероятность того, что одна случайно выбранная батарейка исправна, равна $0{,}9$ . Найдите вероятность того, что обе батарейки в купленной упаковке окажутся исправными.

Подробное решение:

1) Пусть событие $A$ — первая батарейка исправна ( $P(A) = 0{,}9$ ), событие $B$ — вторая батарейка исправна ( $P(B) = 0{,}9$ ).

2) Исправность каждой из батареек — независимые события.

3) Применяем теорему умножения вероятностей независимых событий:

P(A \cdot B) = P(A) \cdot P(B) = 0{,}9 \cdot 0{,}9 = 0{,}81

Ответ: $0{,}81$ .

Тренажёры по Заданию 4 ЕГЭ на Экзамео

Довести до автоматизма решение Задания 4 профильного ЕГЭ по математике можно с помощью онлайн-тренажёров на образовательной платформе «Экзамео». Наш банк содержит сотни актуальных прототипов четвёртой линии из открытого банка ФИПИ на классическое определение вероятности, противоположные события, турнирные жеребьёвки и комбинации несовместных и независимых событий.

Интерактивная система проверяет ответы в реальном времени и предоставляет подробный пошаговый разбор к каждому номеру. Занимайтесь на Экзамео в удобном ритме, осваивайте вероятность и забирайте максимальные баллы на ЕГЭ по математике!

Практика

Задачи сейчас заполняются

Уже готовим задания по теме: добавляем варианты, проверку ответов и понятные разборы после попытки.

Подбираем заданияПроверяем ответыГотовим разборы

Классическое определение вероятности

Границы вероятности и противоположное событие

Частота как оценка вероятности

Сложение и произведение вероятностей

Как правильно перевести результат и записать в бланк № 1

Пошаговый алгоритм решения Задания 4

Разбор всех прототипов Задания 4 из банка ФИПИ

Тренажёры по Заданию 4 ЕГЭ на Экзамео

Задачи сейчас заполняются

Темы, которые встречаются в этом задании