13 задание ОГЭ по математике - разбор неравенств всех видов с решениями

Задание 13 ОГЭ по математике входит в базовый блок первой части (модуль «Алгебра») и приносит 1 первичный балл. Оно проверяет умение решать алгебраические неравенства: линейные, квадратные и системы неравенств, а также запись ответа графически на числовой прямой и через скобки. В открытом банке ФИПИ встречаются ровно три вида заданий: линейные неравенства, квадратные неравенства и системы линейных неравенств.

На этой странице разберем всю теорию, необходимую для выполнения 13 задания - методы решения всех видов неравенств, графически и аналитически, а так же варианты записи ответов через скобки и через числовую прямую

Отработать все прототипы тринадцатого задания можно после теории в интерактивных тренажёрах 13 задания ОГЭ по математике с автоматической проверкой и подробными решениями.

Как решать 13 задание ОГЭ по математике

Прежде всего нужно понимать, что существует два вида неравенств - строгие и нестрогие. Именно благодаря знаку неравенства и ОДЗ определяется будут точки выколотыми или нет, будут скобки круглыми или квадратными

Строгие и нестрогие неравенства.

В 13 задании в качестве вариантов ответа чаще всего предлагаются координатные прямые со штриховкой или числовые промежутки. Понимание разницы между строгим и нестрогим неравенством определяет правильный выбор скобок и варианта ответа.

Знак неравенства

Точка на прямой

Вид скобок

Смысл границы

Строгое:
$>$ (больше) или $<$ (меньше)

Выколотая (светлая) точка:
пустой кружок $\circ$

Круглые скобки:
$(a; b)$ , $(-\infty; a)$ , $(b; +\infty)$

Сама граничная точка не включается в решение ( $x \neq a$ ).

Нестрогое:
$\ge$ (больше или равно) или $\le$ (меньше или равно)

Закрашенная (тёмная) точка:
сплошной кружок $\bullet$

Квадратные скобки:
$[a; b]$ , $(-\infty; b]$ , $[a; +\infty)$

Граничная точка входит в решение ( $x = a$ допустимо).

Как выглядит решение на числовой прямой 🎯

• Обозначения бесконечности $-\infty$ и $+\infty$ всегда закрываются только круглой скобкой, так как бесконечность не является конкретным числом.

x\in\left(-\infin;2\right\rbrack\space\text{или}\space x\in\left(6;+\infin\right)

• Направление штриховки совпадает со знаком неравенства для переменной $x$ слева:

$x > a$ — штриховка идёт вправо к $+\infty$ ;

$x < a$ — штриховка идёт влево к $-\infty$ .

Разбор всех видов 13 заданий

Линейные неравенства

Линейное неравенство приводится к базовому виду $ax > b$ или $ax < b$ путём раскрытия скобок и переноса слагаемых с $x$ влево, а чисел — вправо. Решение иллюстрируется открытым или замкнутым числовым лучом.

Главное правило знака при делении на минус! 💡

Если обе части неравенства умножаются или делятся на отрицательное число, знак самого неравенства обязательно меняется на противоположный:

-2x \le -6 \implies x \ge \dfrac{-6}{-2} \implies x \ge 3

Штриховка на числовой оси разворачивается в противоположную сторону!

Графически ответ будет выглядеть вот так:

Запись ответа через множества будет выглядеть вот так:

x\in\left\lbrack3;+\infin\right)

В обоих случаях решение этого неравенства означает, что подходят все числа не меньше 3 (3 и больше)

Пример задачи из ОГЭ на линейное неравенство со сменой знака

Задание: Укажите решение неравенства $2 - 3(2x + 2) > 5 - 4x$ .

1) $(-\infty; -4{,}5)$

2) $(-4{,}5; +\infty)$

3) $(-\infty; -2{,}5)$

4) $(-2{,}5; +\infty)$

Подробное решение:

1) Раскроем скобки в левой части:

2 - 6x - 6 > 5 - 4x

-6x - 4 > 5 - 4x

2) Перенесём слагаемые с переменной $x$ влево, а числа — вправо:

-6x + 4x > 5 + 4

-2x > 9

3) Разделим обе части на отрицательное число $-2$ , поменяв знак неравенства с $>$ на $<$ :

x < \dfrac{9}{-2} \implies x < -4{,}5

4) Неравенство строгое ( $<$ ), точка $-4{,}5$ выколотая, штриховка идёт влево к $-\infty$ . Числовой промежуток: $(-\infty; -4{,}5)$ , что соответствует варианту под номером 1.

Ответ: 1.

Квадратные неравенства: 2 метода решения

Квадратное неравенство имеет общий вид $ax^2 + bx + c > 0$ (или $< 0, \ge 0, \le 0$ ).

ax^2 + bx + c > 0

Первым шагом всегда находят корни соответствующего уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ через дискриминант ( $x_1$ и $x_2$ ).

D=b^2-4ac^{}\Rightarrow\space x_{1,2}=\frac{-b \pm\sqrt{D}}{2a}

Или через теорему Виета

\begin{cases} x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} \\[6pt] x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} \end{cases}

Далее, когда известны корни применяют один из двух способов:

Способ А: Метод параболы 📈

1. На числовой оси отмечаем корни $x_1$ и $x_2$ .

2. Смотрим на знак старшего коэффициента $a$ : если $a > 0$ , ветви схематичной параболы направлены вверх, если $a < 0$ — вниз.

3. Знаки определяются по расположению дуги: выше оси $Ox$ — знак « $+$ », ниже оси — знак « $-$ .

4. Для знака $> 0$ штрихуем участки с плюсом (концы), для $< 0$ — участок с минусом (между корнями).

Способ Б: Метод интервалов 🎯

1. Раскладываем левую часть на множители: $a(x - x_1)(x - x_2) \gtrless 0$ .

2. Наносим корни $x_1$ и $x_2$ на числовую ось, разбивая её на три интервала.

3. Определяем знак на крайнем правом интервале (подставив заведомо большое число, например $100$ ) и чередуем знаки справа налево ( $+ - +$ ).

4. Выбираем интервалы в соответствии со знаком неравенства.

Пример 2: Квадратное неравенство (разбор двумя способами)

Задание: Укажите решение неравенства $x^2 - 49 \le 0$ .

Подробное решение:

1) Найдем нули функции: приравняем выражение к нулю:

x^2 - 49 = 0 \implies (x - 7)(x + 7) = 0 \implies x_1 = -7, \quad x_2 = 7

2) Так как знак неравенства нестрогий ( $\le$ ), граничные точки $-7$ и $7$ на числовой прямой будут закрашенными.

3) Способ 1 (метод параболы):
Графиком функции $y = x^2 - 49$ является парабола, ветви которой направлены вверх ( $a = 1 > 0$ ). Парабола опускается ниже оси $Ox$ между своими корнями. Следовательно, условию $\le 0$ соответствует отрезок между корнями: $[-7; 7]$ .

4) Способ 2 (метод интервалов):
Корни $-7$ и $7$ разбивают ось на три промежутка: $(-\infty; -7]$ , $[-7; 7]$ , $[7; +\infty)$ .
Знаки интервалов справа налево: $+$ (при $x = 10 \implies 100 - 49 > 0$ ), затем $-$ , затем $+$ . Нам требуется знак $\le 0$ (минус): выбираем $[-7; 7]$

Ответ: $[-7; 7]$ (или соответствующий рисунок отрезка с закрашенными точками).

Системы неравенств

Система неравенств, объединённая фигурной скобкой, требует одновременного выполнения всех условий и выглядит следующим образом:

\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1\\ a_2x+b_2y=c_2\end{cases}

Алгоритм решения системы неравенств:

Решаем каждое неравенство системы по отдельности и получаем простейшие условия (например, $x > a$ и $x \le b$ ).

Наносим оба решения на одну общую числовую прямую:
• первое решение отмечаем верхней штриховкой (или штриховкой с наклоном вправо);
• второе решение отмечаем нижней штриховкой (или наклоном влево).

Находим пересечение (общую часть) — зону, где штриховка нанесена одновременно вверху и внизу (двойная штриховка). Если штриховки не пересекаются - значит решений нет

Записываем получившийся интервал или выбираем соответствующий чертёж из предложенных вариантов.

Числовая прямая пересечение двух множеств

Пример 13 задания на систему двух линейных неравенств

Задание: Решите систему неравенств $\begin{cases} x + 3{,}6 \le 0 \\ x + 2 \ge -1 \end{cases}$ . На каком рисунке изображено множество её решений?

Подробное решение:

1) Решим первое неравенство системы:

x + 3{,}6 \le 0 \implies x \le -3{,}6

2) Решим второе неравенство системы:

x + 2 \ge -1 \implies x \ge -1 - 2 \implies x \ge -3

3) Запишем систему в простейшем виде:

\begin{cases} x \le -3{,}6 \\ x \ge -3 \end{cases}

4) Нанесём условия на числовую прямую:
• $x \le -3{,}6$ : закрашенная точка $-3{,}6$ , штриховка влево;
• $x \ge -3$ : закрашенная точка $-3$ , штриховка вправо.

5) Так как $-3{,}6 < -3$ , лучи направлены в противоположные стороны и не имеют общих точек. Пересечение пусто: решений нет.

Ответ: решений нет (пустое множество $\varnothing$ ).

При выполнении Задания 13 на экзамене придерживайтесь алгоритма:

Как решать 13 задание ОГЭ по математике на неравенства

Определите тип неравенства: линейное, квадратное или система двух неравенств.

Найдите корни и граничные точки: решите линейное уравнение, найдите нули квадратичной функции через дискриминант или решите каждую строчку системы.

Изобразите решение графически: нарисуйте числовую ось на черновике, правильно выколите или закрасьте точки, расставьте знаки (методом параболы/интервалов) и нанесите штриховку.

Сопоставьте с вариантами ответа: найдите рисунок или числовой промежуток, в точности совпадающий с вашим чертежом, и запишите номер верного варианта в бланк № 1.

Все виды 13 задания ОГЭ по математике из открытого банка ФИПИ

Ниже собраны все прототипы 13 заданий на неравенства в ОГЭ по математике из открытого банка ФИПИ. Для каждого задания вы найдете подробное решение с объяснением на графике и большое количество вариантов.

Задача 1

Квадратные неравенства всех видов

Темы1

Тренажеры на квадратные неравенства всех видов из открытого банка ФИПИ по математике с решениями через метод интерваловВариант 1

Решите неравенство:

2x^2 - 18 \gt 0

Выберите верный вариант ответа:

В ответе запишите номер верного варианта (от 1 до 4).

Ваш ответ

Задача 2

Квадратные неравенства с числовыми прямыми

Темы1

Квадратные неравенства с ответами в виде числовых прямых. Это один из прототипов 13 задания на ОГЭ по математикеВариант 1

Решите неравенство:

x^2 - 16 \leqslant 0

Выберите верный вариант ответа:

В ответе запишите номер верного варианта (от 1 до 4).

Ваш ответ

Как решать 13 задание ОГЭ по математике

Строгие и нестрогие неравенства.

Разбор всех видов 13 заданий

Линейные неравенства

Квадратные неравенства: 2 метода решения

Системы неравенств

Как решать 13 задание ОГЭ по математике на неравенства

Все виды 13 задания ОГЭ по математике из открытого банка ФИПИ

Темы, которые встречаются в этом задании