Задание 5 ОГЭ по математике: формулы из справочника, разбор всех типов и тренажёр

Задание 5 в ОГЭ по математике венчает практико-ориентированный блок (номера 1–5) и представляет собой наиболее содержательную прикладную задачу экзамена. Главная специфика пятого номера заключается в том, что сюжетная линия текста объединяется с математическими формулами, многие из которых приведены прямо в официальных справочных материалах ОГЭ. Выпускнику необходимо не просто прочитать условие, а распознать за жизненной ситуацией геометрическую или алгебраическую модель: формулу длины окружности колеса через диаметр, теорему Пифагора для поиска радиуса арки, расчёт площади поверхности для определения массы бумаги или составление уравнений и пропорций для выбора самого выгодного тарифа и оборудования.

Все прототипы пятого задания делятся на две большие группы: задачи на оптимизацию и экономический выбор (поиск самого дешёвого комплекта стиральной машины с доставкой или расчёт срока окупаемости газового отопления) и задачи на применение геометрических формул к реальным объектам (радиус закругления арки печи, процентное изменение пробега автомобиля за один оборот колеса или расход топлива на просёлочной дороге). Ниже подробно разобраны методы связывания справочных формул с данными задачи, пошаговые алгоритмы вычислений всех 6 существующих типов пятого задания из банка ФИПИ и открыт доступ к интерактивным онлайн-тренажёрам Экзамео с моментальной проверкой ответов.

[Место для иллюстрации: Обзор связки формул из справочных материалов ОГЭ с 5 заданием: формула длины окружности C = pi*D, теорема Пифагора R = sqrt(h^2 + (w/2)^2) и таблицы оптимизации затрат]

Ключевая суть пятого задания ОГЭ

Суть задания: связь контекста задачи со справочными материалами! В пятом номере проверяется способность применить фундаментальную математическую формулу к практической жизненной ситуации, учитывая скрытые условия (доставка, монтаж, ограничения по объёму и габаритам).

• Формулы из справочника: в выданных на экзамене материалах есть формула длины окружности $C = 2\pi R = \pi D$ (для задач на пробег шин) и теорема Пифагора $c^2 = a^2 + b^2$ (для расчёта радиуса арки печи и расстояний). Нужно лишь подставить параметры из текста.

• Жёсткая фильтрация по условиям: при выборе моделей техники (стиральные машины, котлы) сначала вычёркиваются неподходящие по техническим параметрам варианты (тип загрузки, минимальная масса), и только затем считается итоговая стоимость оставшихся.

• Учёт всех сопутствующих расходов: полная стоимость товара в задании 5 всегда складывается из цены самого прибора, стоимости его подключения/монтажа и доставки (которая часто задаётся процентом от цены).

Общие принципы решения 5 задания: справочные материалы и формулы

Чтобы успешно справиться с пятым заданием, важно сразу определить математический тип задачи и выбрать соответствующий алгоритм решения:

1. Задачи геометрического профиля

Опираются на справочник ОГЭ по геометрии:
• Один оборот колеса (шины): длина пути за один оборот равна длине окружности $L = \pi D$ . При нахождении процентного отношения число $\pi$ сокращается, остаётся отношение диаметров.
• Арка печи: радиус дуги $R$ связывается с высотой кожуха и половиной его ширины прямоугольным треугольником по теореме Пифагора: $R = \sqrt{h^2 + (w/2)^2}$ .

2. Задачи экономического выбора

Опираются на таблицы и линейные уравнения:
• Окупаемость отопления: находим разницу затрат на покупку и установку оборудования, делим её на разницу почасовых расходов газа и электричества.
• Выбор стиральной машины: отсекаем модели по фильтрам («вертикальная», «не менее 6 кг»), а для прошедших считаем сумму: цена + подключение + процент доставки.

3. Задачи на физические величины и массу

В листах бумаги масса пачки находится через площадь:
• переводим габариты одного листа в метры ( $S_{\text{листа}} = a \cdot b$ в $\text{м}^2$ );
• умножаем на число листов в пачке (500 шт.), получая общую площадь в $\text{м}^2$ ;
• умножаем суммарную площадь на плотность бумаги ( $80\text{ г/м}^2$ ), получая массу пачки в граммах.

4. Задачи на баланс расхода топлива

В планах местности приравнивается суммарный объём бензина на двух маршрутах:
• находим расход по шоссе на 1 км ( $6{,}8 / 100 = 0{,}068\text{ л}$ );
• вычисляем расход первого пути и шоссейной части второго пути;
• разность бензина делим на километраж просёлочной дороги и умножаем на 100.

Разбор всех типов пятого задания ОГЭ по математике

Ниже приведены подробные пошаговые решения всех 6 ключевых разновидностей пятого задания из банка ФИПИ с формулами, графическими схемами, таблицами и детальными комментариями.

Автомобильные шины: процентное увеличение пробега за один оборот колеса

Условие сюжета: Завод устанавливает на автомобили колёса с шинами маркировки $185/60\text{ R}15$ (диаметр которых рассчитан в задании 4 и равен $D_1 = 603\text{ мм}$ ). При замене на колёса с шинами $205/45\text{ R}17$ диаметр колеса становится равным $D_2 = 616{,}3\text{ мм}$ (найдено в задании 3). Пробег автомобиля за один оборот колеса равен длине окружности колеса:

L = \pi D

[Место для иллюстрации: Схема одного полного оборота колеса, разворачивающегося в отрезок пути длиной L = pi*D на дорожном полотне]

Задание 5: На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами $205/45\text{ R}17$ ? Результат округлите до десятых.

Пошаговое решение:

1) Запишем формулу длины пробега за один оборот из справочных материалов:

Длина одного оборота — это длина окружности: $L = \pi D$ .

• Для заводского колеса: $L_1 = \pi D_1 = 603\pi\text{ мм}$ .

• Для нового колеса: $L_2 = \pi D_2 = 616{,}3\pi\text{ мм}$ .

2) Составим пропорцию для нахождения процентов:
Пробег заводского колеса принимаем за $100\%$ :

L_1 \longrightarrow 100\%

L_2 \longrightarrow x\%

3) Выразим $x$ через отношение диаметров:

Обратите внимание: число $\pi$ полностью сокращается!

x = \dfrac{L_2 \cdot 100\%}{L_1} = \dfrac{\pi D_2 \cdot 100\%}{\pi D_1} = \dfrac{D_2}{D_1} \cdot 100\%

x = \dfrac{616{,}3}{603} \cdot 100\% \approx 102{,}2056...\%

4) Найдём, на сколько процентов увеличился пробег:

\Delta = x - 100\% = 102{,}2056...\% - 100\% = 2{,}2056...\%

5) Округлим результат до десятых:

Смотрим на цифру сотых ( $0 < 5$ ), округляем без добавления единицы: $2{,}2\%$ .

Ответ: 2,2.

Планы местности: расход бензина на просёлочных дорогах

Условие сюжета: На шоссе машина дедушки расходует $6{,}8\text{ литра}$ бензина на $100\text{ км}$ . Известно, что на путь из Вересниково до Дружбино по шоссе через Андреевку и на путь через Кирюхино и Кузнецово мимо конюшни ей необходим один и тот же объём бензина.

• Первый маршрут (только шоссе): $20\text{ км} + 21\text{ км} = 41\text{ км}$ .
• Второй маршрут: $18\text{ км}$ по шоссе ( $12\text{ км}$ до Кирюхино и $6\text{ км}$ от Кузнецово до Дружбино) и $17\text{ км}$ по просёлочной дороге (гипотенуза катетов $8$ и $15$ ).

[Место для иллюстрации: Карта двух маршрутов: сплошная линия шоссе (41 км) и комбинированный путь (18 км шоссе + 17 км грунтовка)]

Задание 5: Сколько литров бензина на 100 км машина дедушки расходует на просёлочных дорогах?

Пошаговое решение:

1) Найдём расход бензина на 1 км шоссе:

Так как на $100\text{ км}$ расходуется $6{,}8\text{ л}$ , на $1\text{ км}$ уходит в 100 раз меньше:

q_{\text{шоссе}} = \dfrac{6{,}8}{100} = 0{,}068\text{ литра/км}

2) Посчитаем полный объём бензина на первый маршрут ( $41\text{ км}$ по шоссе):

V_{\text{общ}} = 41 \cdot 0{,}068 = 2{,}788\text{ литра}

3) Найдём расход бензина на шоссейных участках второго маршрута ( $18\text{ км}$ ):

V_{\text{шоссе2}} = 18 \cdot 0{,}068 = 1{,}224\text{ литра}

4) Найдём объём бензина, израсходованный на просёлочной дороге ( $17\text{ км}$ ):

По условию общий объём топлива на обоих маршрутах одинаков:

V_{\text{грунт}} = 2{,}788 - 1{,}224 = 1{,}564\text{ литра}

5) Вычислим расход на 100 км просёлочной дороги:

На $1\text{ км}$ просёлочной дороги расходуется $1{,}564 : 17 = 0{,}092\text{ литра}$ .

На $100\text{ км}$ потребуется в 100 раз больше топлива:

Q = 0{,}092 \cdot 100 = 9{,}2\text{ литра}

Ответ: 9,2.

Листы бумаги: нахождение массы пачки бумаги по площади и плотности

Условие сюжета: Бумагу формата А5 упаковали в пачки по $500\text{ листов}$ . Масса бумаги площадью $1\text{ кв. м}$ ( $1\text{ м}^2$ ) равна $80\text{ г}$ . Из таблицы задания 1 известны размеры одного листа формата А5: длина $210\text{ мм}$ , ширина $148\text{ мм}$ .

[Место для иллюстрации: Пачка бумаги А5 из 500 листов с указанием плотности 80 г/м^2 и размеров одного листа]

Задание 5: Найдите массу пачки, если масса бумаги площадью 1 кв. м равна 80 г. Ответ дайте в граммах.

Пошаговое решение:

1) Переведём размеры листа А5 в метры:

Так как $1\text{ м} = 1000\text{ мм}$ , делим значения на 1000:

• Длина: $210\text{ мм} = 0{,}21\text{ м}$ .

• Ширина: $148\text{ мм} = 0{,}148\text{ м}$ .

2) Вычислим площадь одного листа формата А5 в квадратных метрах:

S_{\text{листа}} = 0{,}21 \cdot 0{,}148 = 0{,}03108\text{ м}^2

3) Найдём суммарную площадь всех 500 листов в пачке:

S_{\text{пачки}} = 0{,}03108 \cdot 500 = 15{,}54\text{ м}^2

4) Вычислим массу пачки через плотность ( $80\text{ г/м}^2$ ):

m = 15{,}54 \cdot 80 = 1243{,}2\text{ грамма}

Ответ: 1243,2.

Планы участков: окупаемость газового отопления по сравнению с электрическим

Условие сюжета: Хозяин участка рассматривает два варианта отопления дома: газовое или электрическое. Данные о стоимости оборудования, монтажа и расходе энергоносителей приведены в таблице:

Отопление

Котёл (руб.)

Монтаж (руб.)

Средний расход

Стоимость тарифа

Газовое

20 000

15 370

1,6 куб. м/ч

4,9 руб./куб. м

Электрическое

15 000

14 000

4,9 кВт

4,2 руб./(кВт·ч)

Задание 5: Через сколько часов непрерывной работы отопления экономия от использования газа вместо электричества компенсирует разность в стоимости покупки и установки этого оборудования?

Пошаговое решение:

1) Найдём разницу первоначальных затрат на покупку и установку:

• Полная цена газового оборудования: $20\,000 + 15\,370 = 35\,370\text{ рублей}$ .

• Полная цена электрического оборудования: $15\,000 + 14\,000 = 29\,000\text{ рублей}$ .

• Разница в затратах:

\Delta_{\text{оборуд}} = 35\,370 - 29\,000 = 6370\text{ рублей}

2) Посчитаем стоимость 1 часа непрерывной работы для каждого варианта:

• Расход газа за 1 час: $1{,}6 \cdot 4{,}9 = 7{,}84\text{ руб./час}$ .

• Расход электричества за 1 час: $4{,}9 \cdot 4{,}2 = 20{,}58\text{ руб./час}$ .

3) Найдём экономию от использования газа за 1 час:

\Delta_{\text{час}} = 20{,}58 - 7{,}84 = 12{,}74\text{ руб./час}

4) Вычислим время окупаемости в часах:

t = \dfrac{\Delta_{\text{оборуд}}}{\Delta_{\text{час}}} = \dfrac{6370}{12{,}74} = 500\text{ часов}

Ответ: 500.

Печи для бани: вычисление радиуса закругления арки кожуха

Условие сюжета: Верхняя часть металлического кожуха печи выполнена в виде арки, приваренной к передней стенке по дуге окружности с центром в середине нижней части кожуха. Размеры кожуха: высота $40\text{ см}$ , ширина $60\text{ см}$ .

[Место для иллюстрации: Чертёж передней панели печи с аркой, центром окружности в середине основания и прямоугольным треугольником с катетами 40 см и 30 см]

Задание 5: Найдите радиус закругления арки в сантиметрах.

Пошаговое решение:

1) Построим геометрическую модель из условия:

Центр окружности лежит строго посередине нижней границы кожуха. Проведём радиус $R$ из центра к точке стыка арки и боковой стенки кожуха.

2) Выделим прямоугольный треугольник в справочной модели:

• Вертикальный катет равен высоте кожуха: $a = 40\text{ см}$ .

• Горизонтальный катет равен половине ширины кожуха: $b = \dfrac{60}{2} = 30\text{ см}$ .

• Гипотенузой является искомый радиус закругления арки $R$ .

3) Применим теорему Пифагора из справочных материалов ( $c^2 = a^2 + b^2$ ):

R = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{40^2 + 30^2} = \sqrt{1600 + 900} = \sqrt{2500} = 50\text{ см}

Ответ: 50.

Планы квартир: выбор оптимальной стиральной машины по критериям

Условие сюжета: В квартире планируется установить стиральную машину с вертикальной загрузкой вместимостью не менее $6\text{ кг}$ . Характеристики моделей приведены в таблице:

Модель

Вместимость

Тип загрузки

Цена (руб.)

Монтаж (руб.)

Доставка

7 кг

верт.

28 000

1700

бесплатно

5 кг

фронт.

24 000

4500

10%

5 кг

фронт.

25 000

5000

10%

6,5 кг

фронт.

24 000

4500

10%

6 кг

фронт.

28 000

1700

бесплатно

6 кг

верт.

27 600

2300

бесплатно

6 кг

верт.

27 585

1900

10%

6 кг

фронт.

20 000

6300

15%

5 кг

фронт.

27 000

1800

бесплатно

5 кг

верт.

27 000

1800

бесплатно

Задание 5: Сколько рублей будет стоить наиболее дешёвый подходящий вариант вместе с подключением и доставкой?

Пошаговое решение:

1) Фильтрация моделей по заданным критериям:

• Загрузка должна быть строго вертикальной.

• Вместимость барабана должна быть не менее 6 кг (то есть $\ge 6\text{ кг}$ ).

Проверяем всю таблицу:

• Модель А: вертикальная, 7 кг $\to$ подходит.

• Модель Е: вертикальная, 6 кг $\to$ подходит.

• Модель Ж: вертикальная, 6 кг $\to$ подходит.

• Модель К: вертикальная, но вместимость 5 кг $\to$ не подходит.

• Модели Б, В, Г, Д, З, И имеют фронтальную загрузку $\to$ сразу вычёркиваются.

2) Расчёт полной стоимости подходящих вариантов:

• Модель А: $28\,000\text{ (цена)} + 1700\text{ (монтаж)} + 0\text{ (доставка)} = \mathbf{29\,700\text{ руб.}}$

• Модель Е: $27\,600 + 2300 + 0 = \mathbf{29\,900\text{ руб.}}$

• Модель Ж: $27\,585 + 1900 + 2758{,}5\text{ (10\% от цены)} = \mathbf{32\,243{,}5\text{ руб.}}$

3) Сравнение затрат:

Среди полученных сумм ( $29\,700$ , $29\,900$ и $32\,243{,}5$ ) минимальная составляет $29\,700\text{ рублей}$ .

Ответ: 29700.

Типичные ошибки при выполнении пятого задания ОГЭ

Пятое задание требует предельной сосредоточенности, так как объединяет сразу несколько шагов вычислений. Вот четыре главные ловушки, на которых теряют баллы:

Потеря платной доставки при оптимизации

В таблицах выбора техники смотрят только на базовую цену и стоимость монтажа, забывая прибавить процент доставки. Например, в модели Ж доставка составляет 10% от цены ( $2758{,}5\text{ руб.}$ ), что делает её существенно дороже моделей А и Е.

Использование полной ширины кожуха печи

В задаче на радиус арки печи в теорему Пифагора подставляют всю ширину кожуха ( $60\text{ см}$ ) вместо её половины ( $30\text{ см}$ ). Центр окружности лежит строго в середине основания, поэтому горизонтальным катетом всегда является половина ширины ( $w/2$ )!

Ошибки перевода миллиметров в метры для массы

В задаче про пачку бумаги А5 перемножают миллиметры ( $210 \times 148$ ) и сразу умножают на $80\text{ г/м}^2$ , получая абсурдную массу в миллионы граммов. Плотность дана на квадратный метр, поэтому размеры листа обязательно переводят в метры ( $0{,}21 \times 0{,}148$ ).

Неверный расчёт разницы в окупаемости

В задаче про отопление делят разницу в оборудовании ( $6370\text{ руб.}$ ) только на почасовую стоимость газа ( $7{,}84$ ) вместо разницы между электричеством и газом ( $12{,}74$ ). Окупаемость обеспечивает именно чистая экономия в час!

Задания 5 из ОГЭ по математике с проверкой ответов

Задания пятого номера по всем экзаменационным темам (оптимальный выбор стиральных машин и отопления, нахождение радиуса закругления арки печи, расчёт процента изменения пробега колеса за один оборот, вычисление массы пачки бумаги и расчёт расхода бензина по просёлочным дорогам) собраны в интерактивном онлайн-тренажёре Экзамео. Решайте задачи онлайн, сверяйте пошаговые эталоны решений и уверенно набирайте максимальные 5 из 5 первичных баллов за практический блок ОГЭ по математике!

Задача 1

Задания с шинами

Темы1

Вариант 1

Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.

Ширина шины (мм)

Диаметр 16″

Диаметр 17″

Диаметр 18″

Диаметр 19″

195

195/70

195/65

—

205

205/65

205/60

205/55

—

215

215/60

215/55

215/45; 215/50

215/45

225

—

225/50

225/45

225/40

235

—

235/60

235/55

Шины какой наибольшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 18 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.

Ваш ответ

Полный тренажер

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

В Экзамео откроются дополнительные задания по теме, проверка прогресса и решения после попытки.

Все тренажёрыПрогресс по темеПерсональный план

Общие принципы решения 5 задания: справочные материалы и формулы

Разбор всех типов пятого задания ОГЭ по математике

Типичные ошибки при выполнении пятого задания ОГЭ

Задания 5 из ОГЭ по математике с проверкой ответов

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

Темы, которые встречаются в этом задании