Задачи на длину окружности 9 класс: формулы и онлайн-тренажёр

Задачи на длину окружности входят в фундаментальный раздел геометрии за 9 класс (глава «Длина окружности и площадь круга» по учебнику Атанасяна) и составляют основу практических и геометрических заданий ОГЭ по математике (номера 5, 15, 16 и 23). В отличие от периметров многоугольников, которые вычисляются простым сложением отрезков, длина замкнутой кривой линии выражается через фундаментальную математическую константу $\pi$ и линейные параметры круга — радиус или диаметр.

В курсе 9 класса школьники изучают переход от периметров правильных многоугольников к длине окружности, вывод формул $C = 2\pi R$ и $C = \pi D$ , а также расчёт длины дуги через центральный градусный угол. Эти навыки регулярно требуются в прикладных сюжетах ОГЭ: от расчёта числа оборотов и пробега автомобильного колеса до нахождения путей движения стрелок часов и планиметрических конструкций с касательными. Ниже систематизирована вся теория, представлен строгий геометрический вывод формулы, пошагово разобраны типовые задачи и открыт доступ к онлайн-тренажёрам Экзамео с моментальной проверкой ответов.

Формула длины окружности и ключевые соотношения — 9 класс

Окружность — замкнутая плоская кривая, все точки которой равноудалены от центра на расстояние радиуса $R$ . Длина окружности ( $C$ ) выражается через радиус $R$ или диаметр $D = 2R$ :

C = 2\pi R = \pi D

• Геометрический смысл числа $\pi$ : отношение длины любой окружности к её диаметру является величиной постоянной и обозначается греческой буквой $\pi$ (иррациональное число $\pi \approx 3{,}14159... \approx \dfrac{22}{7}$ ):

\pi = \dfrac{C}{D} = \dfrac{C}{2R}

• Один оборот колеса: путь, который прокатывает колесо по прямой за один полный оборот без проскальзывания, в точности равен длине его окружности: $S_1 = C = \pi D$ . При $N$ оборотах пройденное расстояние равно $S = N \cdot \pi D$ .

• Линейная пропорциональность: в отличие от площади, длина окружности зависит от радиуса линейно: увеличение радиуса в $k$ раз приводит к увеличению длины окружности ровно в $k$ раз.

Геометрический вывод формулы длины окружности и числа π

В курсе геометрии 9 класса формула длины окружности строго выводится через предел периметров правильных вписанных и описанных многоугольников:

1. Возьмём две произвольные окружности с радиусами $R_1$ и $R_2$ и длинами $C_1$ и $C_2$ . Впишем в каждую из них правильный $n$ -угольник.

2. Сторона правильного вписанного $n$ -угольника выражается через радиус формулой $a_n = 2R \sin\left(\dfrac{180^\circ}{n}\right)$ , а его периметр равен:

P_n = n \cdot a_n = 2R \cdot n \sin\left(\dfrac{180^\circ}{n}\right)

3. Составим отношение периметров этих двух многоугольников:

\dfrac{P_{n, 1}}{P_{n, 2}} = \dfrac{2R_1 \cdot n \sin\left(\dfrac{180^\circ}{n}\right)}{2R_2 \cdot n \sin\left(\dfrac{180^\circ}{n}\right)} = \dfrac{2R_1}{2R_2}

4. При бесконечном увеличении числа сторон многоугольника ( $n \to \infty$ ) контур многоугольника приближается к окружности, а его периметр стремится к длине окружности: $P_n \to C$ .

5. Переходя к пределу, получаем пропорцию: $\dfrac{C_1}{C_2} = \dfrac{2R_1}{2R_2}$ , откуда перекрёстным умножением:

\dfrac{C_1}{2R_1} = \dfrac{C_2}{2R_2} = \text{const} = \pi

Отношение длины окружности к её диаметру не зависит от размеров окружности и всегда равно числу $\pi$ . Отсюда следует каноническая формула: $C = 2\pi R = \pi D$ .

Формулы длины окружности и её элементов

Для быстрого выбора формулы при решении геометрических и практических задач используйте таблицу соотношений:

Элемент окружности

Формула длины

Выражение радиуса

Применение в задачах

Окружность (через радиус)

$C = 2\pi R$

$R = \dfrac{C}{2\pi}$

Базовая формула планиметрии при известном радиусе.

Окружность (через диаметр)

$C = \pi D$

$D = \dfrac{C}{\pi}$

Применяется в прикладных задачах ОГЭ (колёса, трубы, стволы деревьев).

Длина дуги (градусы)

$l = \dfrac{\pi R \alpha}{180^\circ}$

$R = \dfrac{180^\circ \cdot l}{\pi \alpha}$

$\alpha$ — центральный угол дуги. При $\alpha = 180^\circ$ длина полуокружности равна $\pi R$ .

Длина дуги (радианы)

$l = R \cdot \varphi$

$R = \dfrac{l}{\varphi}$

$\varphi$ — угол в радианах. Связь радиан и градусов: $1\text{ рад} = \dfrac{180^\circ}{\pi}$ .

Число оборотов колеса

$N = \dfrac{S}{\pi D}$

$S$ — путь, $D$ — диаметр

Используется для расчёта расстояний одометров, спидометров и передачи шестерён.

Где встречаются задачи на длину окружности

Задания на вычисление длины окружности и её дуг включены в различные разделы школьной программы и экзаменационные КИМы:

Задания 15 и 16 ОГЭ (геометрия)

Нахождение радиуса по известной длине окружности ( $C = 18\pi \implies R = 9$ ), расчёт длины дуги по центральному углу, а также вычисление периметров секторов в 1–2 действия.

Задание 5 ОГЭ (шины и колёса)

Расчёт пути автомобиля за один оборот колеса ( $L = \pi D$ ), сравнение изменения пробега при установке шин другого диаметра и определение погрешности показаний спидометра.

Контрольные работы за 9 класс

Проверочные работы по теме «Длина окружности и площадь круга»: расчёт путей часовых стрелок, нахождение центрального угла по длине дуги, задачи на вращающиеся блоки и шкивы.

Профильный ЕГЭ и физика

В стереометрии ЕГЭ (длина окружности основания конуса и цилиндра), а также в кинематике физики для вычисления линейной скорости вращения: $v = \dfrac{2\pi R}{T} = 2\pi R \nu$ .

Задания на длину окружности с пошаговыми решениями

Ниже приведены подробные решения пяти задач на длину окружности, дуги и вращение, характерных для самостоятельных работ в 9 классе и заданий ОГЭ по математике.

Задание 1: Нахождение длины окружности по радиусу и диаметру

Условие: Радиус окружности равен $8\text{ см}$ . Найдите длину этой окружности. Чему равна длина окружности, если её диаметр равен $10\text{ см}$ ? В ответе укажите точные значения с числом $\pi$ .

Пошаговое решение:

1) Вычислим длину окружности по радиусу ( $R = 8\text{ см}$ ):

C_1 = 2\pi R = 2 \cdot \pi \cdot 8 = 16\pi\text{ см}

2) Вычислим длину окружности по диаметру ( $D = 10\text{ см}$ ):

C_2 = \pi D = 10\pi\text{ см}

(Если в практической задаче требуется приближённое значение, подставляют $\pi \approx 3{,}14$ : $C_1 \approx 16 \cdot 3{,}14 = 50{,}24\text{ см}$ , $C_2 \approx 10 \cdot 3{,}14 = 31{,}4\text{ см}$ ).

Ответ: $16\pi\text{ см}$ и $10\pi\text{ см}$ .

Задание 2: Вычисление длины дуги окружности по центральному углу (прототип ОГЭ №16)

Условие: Радиус окружности равен $15$ , а центральный угол дуги равен $72^\circ$ . Найдите длину этой дуги. В ответе запишите $\dfrac{l}{\pi}$ .

Пошаговое решение:

1) Запишем формулу длины дуги окружности в градусах:

l = \dfrac{\pi R \alpha}{180^\circ}

2) Подставим исходные числовые данные ( $R = 15, \alpha = 72^\circ$ ):

l = \dfrac{\pi \cdot 15 \cdot 72^\circ}{180^\circ}

3) Выполним рациональное сокращение дроби:
• Сократим числа $15$ и $180$ на $15$ : $\dfrac{180}{15} = 12$ .
• Подставим полученный знаменатель:

l = \dfrac{\pi \cdot 72}{12} = 6\pi

4) Разделим результат на $\pi$ по требованию условия задачи:

\dfrac{l}{\pi} = \dfrac{6\pi}{\pi} = 6

Ответ: $6$ .

Задание 3: Нахождение радиуса по длине дуги и центральному углу

Условие: Длина дуги окружности равна $10\pi\text{ см}$ , а соответствующий ей центральный угол равен $120^\circ$ . Найдите радиус этой окружности.

Пошаговое решение:

1) Запишем формулу длины дуги:

l = \dfrac{\pi R \alpha}{180^\circ}

2) Выразим радиус окружности ( $R$ ):

R = \dfrac{180^\circ \cdot l}{\pi \alpha}

3) Подставим заданные величины ( $l = 10\pi, \alpha = 120^\circ$ ):

R = \dfrac{180 \cdot 10\pi}{\pi \cdot 120} = \dfrac{180 \cdot 10}{120}

4) Сократим дробь:
Числа $180$ и $120$ сокращаются на $60$ : $\dfrac{180}{120} = \dfrac{3}{2}$ .

R = \dfrac{3 \cdot 10}{2} = \dfrac{30}{2} = 15\text{ см}

Ответ: $15\text{ см}$ .

Задание 4: Задача на вращение колеса, путь и число оборотов (блок 1–5 ОГЭ)

Условие: Колесо велосипеда имеет диаметр $70\text{ см}$ . Сколько полных оборотов сделает колесо на дистанции $2198\text{ метров}$ ? При расчётах примите $\pi \approx 3{,}14$ .

Пошаговое решение:

1) Согласуем единицы измерения:
Переведём диаметр колеса в метры:

D = 70\text{ см} = 0{,}7\text{ м}

2) Найдём длину окружности колеса (путь за один полный оборот):

C = \pi D = 3{,}14 \cdot 0{,}7 = 2{,}198\text{ метра}

3) Вычислим необходимое число оборотов колеса ( $N$ ):
Разделим общее расстояние $S = 2198\text{ м}$ на длину окружности:

N = \dfrac{S}{C} = \dfrac{2198}{2{,}198} = 1000\text{ оборотов}

Ответ: $1000$ .

Задание 5: Путь конца минутной стрелки часов за заданное время

Условие: Длина минутной стрелки настенных часов равна $6\text{ см}$ . Какой путь преодолеет конец этой стрелки за $40\text{ минут}$ ? Примите $\pi \approx 3{,}14$ , результат округлите до десятых.

Пошаговое решение:

1) Определим градусную меру угла поворота стрелки:
За $60\text{ минут}$ минутная стрелка описывает полный круг в $360^\circ$ . Скорость поворота составляет $360^\circ : 60 = 6^\circ/\text{мин}$ . За $40\text{ минут}$ стрелка повернётся на угол:

\alpha = 40 \cdot 6^\circ = 240^\circ

(Или через долю круга: $\dfrac{40}{60} = \dfrac{2}{3}$ полного оборота).

2) Вычислим длину дуги, описанной концом стрелки радиуса $R = 6\text{ см}$ :

l = \dfrac{\pi R \alpha}{180^\circ} = \dfrac{\pi \cdot 6 \cdot 240^\circ}{180^\circ} = \dfrac{\pi \cdot 1440}{180} = 8\pi\text{ см}

3) Выполним численное вычисление и округление:

l = 8 \cdot 3{,}14 = 25{,}12\text{ см} \approx 25{,}1\text{ см}

Ответ: $25{,}1\text{ см}$ .

Типичные ошибки в задачах на длину окружности

При решении геометрических задач на длину окружности девятиклассники чаще всего допускают следующие четыре ошибки:

Путаница формул длины и площади

Вычисляют длину окружности как $\pi R^2$ , путая её с площадью круга.

Длина окружности — одномерная линейная величина (сантиметры, метры), поэтому радиус входит в формулу строго в первой степени: $C = 2\pi R$ .

Деление на 360° вместо 180° в формуле дуги

Записывают формулу длины дуги как $l = \dfrac{\pi R \alpha}{360^\circ}$ , теряя множитель 2 в числителе.

Формула $C = 2\pi R$ после сокращения двойки со знаменателем $360^\circ$ даёт в знаменателе строго $180^\circ$ : $l = \dfrac{\pi R \alpha}{180^\circ}$ .

Задвоение коэффициента при диаметре

Зная диаметр $D$ , вычисляют длину по ошибочной формуле $C = 2\pi D$ .

Двойка нужна только при работе с радиусом! При вычислении через диаметр длина окружности равна просто $\pi D$ .

Преждевременное округление числа π

В заданиях ОГЭ, где в ответе требуют указать величину $\dfrac{l}{\pi}$ , начинают подставлять $3{,}14$ и делить в столбик.

Число $\pi$ в таких заданиях полностью сокращается, а в бланк ответа всегда вносится целое число или конечная десятичная дробь.

Задания на длину окружности для 9 класса

Онлайн-тренажёры платформы Экзамео содержат большой банк задач на вычисление длины окружности, дуги и радиуса для учащихся 9 класса и подготовки к экзамену ОГЭ по математике с подробными решениями и проверкой ответов.

Практика

Задачи сейчас заполняются

Уже готовим задания по теме: добавляем варианты, проверку ответов и понятные разборы после попытки.

Подбираем заданияПроверяем ответыГотовим разборы

Формула длины окружности и ключевые соотношения — 9 класс

Формулы длины окружности и её элементов

Где встречаются задачи на длину окружности

Задания на длину окружности с пошаговыми решениями

Типичные ошибки в задачах на длину окружности

Задания на длину окружности для 9 класса

Задачи сейчас заполняются

Рекомендуем изучить вместе с этой темой