Нахождение дроби от числа - разбор темы, тренажеры. Математика 6 класс

Нахождение дроби от числа - это одна из самых важных и часто используемых тем в курсе математики 6 класса. Это умение необходимо для решения огромного количества задач: от вычисления скидок в магазине до расчёта ингредиентов в кулинарии, от определения пройденного пути до нахождения части площади. Без уверенного владения этой темой невозможно двигаться дальше в изучении математики. На этой странице мы разберём всё, что нужно знать о нахождении дроби от числа, от самых простых случаев до сложных задач с процентами и смешанными числами.

В 5 классе вы уже научились находить дробь от числа на простых примерах. В 6 классе это умение становится более осмысленным и системным. Вы будете работать с любыми дробями: правильными, неправильными, смешанными числами, десятичными дробями и процентами. Главное правило остаётся неизменным: чтобы найти дробь от числа, нужно число умножить на эту дробь. Но за этой простой формулой скрывается множество нюансов, которые мы разберём на этой странице.

Нахождение дроби от числа - это действие, при котором мы находим часть числа, выраженную дробью.

Основное правило: чтобы найти дробь от числа, нужно число умножить на эту дробь.

$\dfrac{a}{b}$ от числа $c$ = $c \cdot \dfrac{a}{b}$

Основное правило нахождения дроби от числа

Самое важное правило, которое нужно запомнить раз и навсегда: чтобы найти дробь от числа, нужно умножить число на эту дробь. Это правило заменяет собой множество отдельных случаев одним универсальным подходом, вместо того чтобы каждый раз думать, как поступить с конкретным видом дроби, достаточно помнить одно действие: умножение.

Самое ценное в этом правиле - его универсальность: оно работает для любых дробей: правильных, неправильных, смешанных чисел и десятичных дробей. Вид дроби не имеет значения принцип действия остаётся одним и тем же. Меняться может лишь то, как технически выполняется само умножение в конкретном случае, но не сам подход. Именно поэтому это правило стоит запомнить один раз и применять его дальше без раздумий.

Общая формула

$\dfrac{a}{b}$ от числа $c$ = $c \cdot \dfrac{a}{b} = \dfrac{c \cdot a}{b}$

где $a$ - числитель, $b$ - знаменатель, $c$ - число.

Пример: $\dfrac{3}{4}$ от 20 = $20 \cdot \dfrac{3}{4} = \dfrac{20 \cdot 3}{4} = \dfrac{60}{4} = 15$

Давайте разберёмся, почему это правило работает. Допустим, нам нужно найти $\dfrac{3}{4}$ от 20. Это значит, что число 20 нужно разделить на 4 равные части (найти $\dfrac{1}{4}$ ), а затем взять 3 такие части: $20 : 4 = 5$ (это $\dfrac{1}{4}$ от 20), $5 \cdot 3 = 15$ (это $\dfrac{3}{4}$ от 20). Как видите, мы пришли к тому же результату: $20 \cdot \dfrac{3}{4} = 15$ .

Примеры нахождения дроби от числа

Пример 1: Нахождение дроби от числа

Найдите $\dfrac{2}{5}$ от 35.

Решение:

$35 \cdot \dfrac{2}{5} = \dfrac{35 \cdot 2}{5} = \dfrac{70}{5} = 14$

Ответ: 14.

Пример 2: Нахождение дроби от числа с сокращением

Найдите $\dfrac{3}{8}$ от 24.

Решение:

$24 \cdot \dfrac{3}{8} = \dfrac{24 \cdot 3}{8}$

Сокращаем 24 и 8: 24 : 8 = 3

$\dfrac{24 \cdot 3}{8} = \dfrac{3 \cdot 3}{1} = 9$

Ответ: 9.

Нахождение процента от числа

Проценты - это частный случай дробей, где знаменатель всегда равен 100. Например, 25% = $\dfrac{25}{100} = \dfrac{1}{4}$ . Поэтому нахождение процента от числа выполняется по тому же правилу: процент от числа - это дробь от числа.

Подробно рассмотрели проценты и как находить процент от числа в теме Проценты

Нахождение дроби от числа со смешанными числами

Если дробь, которую нужно найти, является смешанным числом, её нужно сначала превратить в неправильную дробь, а затем применить правило умножения. Дело в том, что правило умножения дробей работает только с обычными дробями - то есть с числами, у которых есть числитель и знаменатель, но нет отдельно выделенной целой части. Поэтому смешанное число сначала переводят в неправильную дробь: целую часть умножают на знаменатель, прибавляют числитель, а результат записывают над тем же знаменателем. И только после этого можно спокойно умножать дроби по обычному правилу - числитель на числитель, знаменатель на знаменатель.

Алгоритм для смешанных чисел

Превратить смешанное число в неправильную дробь.
Умножить число на полученную дробь.
При необходимости сократить результат и представить в виде смешанного числа.

Пример 4: Нахождение смешанной дроби от числа

Найдите $1\dfrac{2}{3}$ от 18.

Решение:

$1\dfrac{2}{3} = \dfrac{5}{3}$

$18 \cdot \dfrac{5}{3} = \dfrac{18 \cdot 5}{3} = 6 \cdot 5 = 30$

Ответ: 30.

Нахождение дроби от дроби

Чтобы найти дробь от другой дроби, нужно умножить эти дроби. Это тот же самый принцип: найти часть от части.

Правило

$\dfrac{a}{b}$ от $\dfrac{c}{d}$ = $\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d}$

Пример: $\dfrac{2}{3}$ от $\dfrac{9}{10}$ = $\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{9}{10} = \dfrac{18}{30} = \dfrac{3}{5}$

Пример нахождения дроби от дроби

Пример 5: Нахождение дроби от дроби

Найдите $\dfrac{3}{4}$ от $\dfrac{8}{15}$ .

Решение:

$\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{8}{15} = \dfrac{3 \cdot 8}{4 \cdot 15}$

Сокращаем: 3 и 15 → 3 : 3 = 1, 15 : 3 = 5

8 и 4 → 8 : 4 = 2, 4 : 4 = 1

$\dfrac{1 \cdot 2}{1 \cdot 5} = \dfrac{2}{5}$

Ответ: $\dfrac{2}{5}$ .

Задачи на нахождение дроби от числа

Рассмотрим несколько типовых задач, в которых используется нахождение дроби от числа. Эти задачи часто встречаются на контрольных работах и в ВПР.

Задача 1: Нахождение части пути

Пример 6: Задача на путь

Турист прошёл 24 км за день. $\dfrac{2}{3}$ этого пути он прошёл утром. Сколько километров он прошёл утром?

Решение:

Нужно найти $\dfrac{2}{3}$ от 24.

$24 \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{24 \cdot 2}{3} = 8 \cdot 2 = 16$ (км)

Ответ: 16 км.

Задача 2: Нахождение части площади

Пример 7: Задача на площадь

Площадь поля равна 480 га. $\dfrac{5}{8}$ поля засеяли пшеницей. Сколько гектаров засеяли пшеницей?

Решение:

Нужно найти $\dfrac{5}{8}$ от 480.

$480 \cdot \dfrac{5}{8} = \dfrac{480 \cdot 5}{8} = 60 \cdot 5 = 300$ (га)

Ответ: 300 га.

Задача 3: Задача со скидкой

Пример 8: Задача на скидку

Товар стоил 1200 рублей. Во время распродажи на него сделали скидку 30%. Сколько рублей составила скидка?

Решение:

Нужно найти 30% от 1200.

30% = $\dfrac{30}{100} = \dfrac{3}{10}$

$1200 \cdot \dfrac{3}{10} = \dfrac{1200 \cdot 3}{10} = 120 \cdot 3 = 360$ (руб.)

Ответ: 360 рублей.

Задача 4: Нахождение дроби от числа с условием

Пример 9: Сложная задача

В классе 30 учеников. $\dfrac{3}{5}$ из них — девочки. Сколько в классе мальчиков?

Решение:

Найдём количество девочек: $30 \cdot \dfrac{3}{5} = \dfrac{30 \cdot 3}{5} = 6 \cdot 3 = 18$

Количество мальчиков: 30 — 18 = 12

Ответ: 12 мальчиков.

Типичные ошибки при нахождении дроби от числа

Ошибка 1: Неправильное умножение

Неправильно

$\dfrac{2}{3}$ от 18 = $\dfrac{2 \cdot 18}{3}$

запись верная, но при вычислении ошибаются

Правильно

$\dfrac{2}{3}$ от 18 = $\dfrac{2 \cdot 18}{3} = \dfrac{36}{3} = 12$

Ошибка 2: Путают нахождение дроби от числа и числа по его дроби

Неправильно

Найти число, если $\dfrac{2}{3}$ его равны 18:

$18 \cdot \dfrac{2}{3} = 12$

Правильно

Найти число, если $\dfrac{2}{3}$ его равны 18:

$18 : \dfrac{2}{3} = 18 \cdot \dfrac{3}{2} = 27$

Ошибка 3: Неправильное превращение процентов в дробь

Совет: Чтобы найти процент от числа, всегда превращайте проценты в дробь или десятичную дробь. Например, 25% = $\dfrac{25}{100} = 0,25$ . И только потом умножайте.

Тренажёры по нахождению дроби от числа

На платформе Экзамео вы найдёте множество интерактивных тренажёров по теме «Нахождение дроби от числа» для 6 класса. Мы подготовили задания разного уровня сложности — от простых вычислений до сложных задач с процентами и смешанными числами.

Каждое задание в тренажёре сопровождается подробным решением и объяснением, что позволяет не просто получить ответ, но и понять алгоритм выполнения. Решайте задания в удобном для вас темпе, а система подскажет, если вы допустили ошибку.

Особое внимание уделено отработке навыка различения задач «дробь от числа» и «число по его дроби» — это одна из самых частых ошибок. Начните тренироваться прямо сейчас!