Корень n-й степени - разбор темы, свойства и задания с решениями

На этой странице собраны подробные, доступные и систематизированные учебные материалы по теме «Корень n-й степени» для учащихся 10 класса. Эксперты и методисты платформы Экзамео разработали этот практический справочник с формулами, графиками функций и пошаговым разбором типовых примеров (соответствует школьной программе по алгебре и началам математического анализа и ФГОС), чтобы помочь десятиклассникам освоить свойства арифметического корня, научиться преобразовывать иррациональные выражения и успешно подготовиться к контрольным работам и ЕГЭ.

В 10 классе понятие квадратного и кубического корня обобщается на случай любой натуральной степени $n \ge 2$ . Главное различие при работе с корнем $n$ -й степени заключается в чётности или нечётности показателя $n$ .

Понятие корня n-й степени

Корнем $n$ -й степени из числа $a$ ( $n \in \mathbb{N}, n \ge 2$ ) называется такое число $b$ , $n$ -я степень которого равна $a$ ( $b^n = a$ ).

• Арифметический корень $n$ -й степени из неотрицательного числа $a$ ( $a \ge 0$ ): это неотрицательное число $b \ge 0$ , такое, что $b^n = a$ . Обозначается: $\sqrt[n]{a}$ .
• При нечётном $n$ : корень существует из любого действительного числа $a$ , причём $\sqrt[n]{-a} = -\sqrt[n]{a}$ .
• При чётном $n$ : корень определен только при $a \ge 0$ . Выражение $\sqrt[n]{a}$ при $a < 0$ не имеет смысла в действительных числах.

Основные свойства арифметического корня n-й степени

Большая часть заданий в теме корень n-й степени решается только по свойствам, которые перечислены в таблице ниже, однако важно отметить, что с основной массой этих свойств вы уже знакомы из прошлых классов.

Для любых $a \ge 0$ , $b \ge 0$ и натуральных $n, k \ge 2$ справедливо следующие ключевые свойства:

Свойство / Тождество

Формула

Пример вычисления

Корень из произведения

$\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$

$\sqrt[3]{8 \cdot 27} = \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{27} = 2 \cdot 3 = \mathbf{6}$

Корень из частного (дроби)

$\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ ( $b > 0$ )

$\sqrt[4]{\dfrac{16}{81}} = \dfrac{\sqrt[4]{16}}{\sqrt[4]{81}} = \mathbf{\dfrac{2}{3}}$

Возведение корня в степень

$\left(\sqrt[n]{a}\right)^k = \sqrt[n]{a^k}$

$\left(\sqrt[3]{2}\right)^6 = \sqrt[3]{2^6} = \sqrt[3]{64} = \mathbf{4}$

Корень из корня

$\sqrt[k]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[k \cdot n]{a}$

$\sqrt[3]{\sqrt{64}} = \sqrt[6]{64} = \mathbf{2}$

Сокращение показателей

$\sqrt[n \cdot k]{a^{m \cdot k}} = \sqrt[n]{a^m}$

$\sqrt[6]{5^3} = \sqrt[2]{5^1} = \mathbf{\sqrt{5}}$

Важнейшее тождество с модулем

$\sqrt[n]{a^n} = |a|$ (при чётном $n$ )

$\sqrt[4]{(-3)^4} = |-3| = \mathbf{3}$

Свойства функции $y = \sqrt[n]{x}$

Свойства степенной функции с дробным показателем зависят от чётности показателя корня $n$ :

1. Функция $y = \sqrt[n]{x}$ при чётном $n$ (2, 4, 6...) 📈

• Область определения ( $D(y)$ ): $[0; +\infty)$ .

• Область значений ( $E(y)$ ): $[0; +\infty)$ .

• Чётность: ни чётная, ни нечётная.

• Монотонность: строго возрастает на $[0; +\infty)$ .

• График: ветвь, расположенная в I координатной четверти.

2. Функция $y = \sqrt[n]{x}$ при нечётном $n$ (3, 5, 7...) 📉

• Область определения ( $D(y)$ ): $(-\infty; +\infty)$ .

• Область значений ( $E(y)$ ): $(-\infty; +\infty)$ .

• Чётность: нечётная ( $\sqrt[n]{-x} = -\sqrt[n]{x}$ ).

• Монотонность: строго возрастает на всей числовой прямой.

• График: симметричен относительно начала координат (I и III четверти).

Главная ловушка на ЕГЭ и контрольных в заданиях на корень n-ой степени!

Самая распространенная ошибка с корнями n-ой степени точно такая же, как и с квадратными корнями - забывают модуль в четных степенях, давайте разберем её подробнее.

Осторожно: Потеря модуля при чётном показателе! ⚠️

Самая распространенная ошибка в 10 классе — писáть $\sqrt[4]{a^4} = a$ . Помните: переменная $a$ может быть отрицательной! Правильная запись: $\sqrt[4]{a^4} = |a|$ . Например, $\sqrt{(x - 5)^2} = |x - 5|$ .

Разбор практических примеров решения заданий

Рассмотрите полные образцы решения типовых заданий из программы 10 класса и прототипов ЕГЭ.

Пример 1: Вычисление значения выражения с разными показателями корней

Задание: Найдите значение выражения: $\sqrt[3]{-24} \cdot \sqrt[3]{9} + \sqrt[4]{(-5)^4}$ .

Подробное решение:

1) Вычислим первое слагаемое $\sqrt[3]{-24} \cdot \sqrt[3]{9}$ :

• Используем свойство произведения корней нечётной степени:

$\sqrt[3]{-24 \cdot 9} = \sqrt[3]{-216} = -6$ .

2) Вычислим второе слагаемое $\sqrt[4]{(-5)^4}$ :

• Применяем свойство корня чётной степени с модулем:

$\sqrt[4]{(-5)^4} = |-5| = 5$ .

3) Сложим полученные результаты:

$-6 + 5 = -1$ .

Ответ: $-1$ .

Пример 2: Упрощение иррационального выражения с переменной

Задание: Упростите выражение $\sqrt[4]{x^4} + \sqrt[3]{x^3}$ при $x < 0$ .

Подробное решение:

1) Упростим первый корень (чётная степень):

$\sqrt[4]{x^4} = |x|$ . Так как по условию $x < 0$ , то по определению модуля $|x| = -x$ .

2) Упростим второй корень (нечётная степень):

$\sqrt[3]{x^3} = x$ (для нечётных степеней модуль не нужен).

3) Сложим выражения:

$-x + x = 0$ .

Ответ: $0$ .

Тренажёры по корням n-ой степени на Экзамео

На образовательной платформе Экзамео подготовлены онлайн-тренажёры по теме «Корень n-й степени» для 10 класса с мгновенной проверкой ответов и пошаговыми разборами.

Решай примеры на применение свойств корней, вычисляй значения сложных иррациональных выражений, готовишься к ЕГЭ и получай только отличные оценки по алгебре!