Теорема Эйлера для многогранников 10 класс: формула, доказательство и задания

Теорема Эйлера для многогранников в 10 классе — одна из самых красивых и глубоких теорем школьного курса стереометрии, связывающая геометрию с топологией. Впервые соотношение между элементами выпуклых тел было замечено Рене Декартом в 1630 году, а в 1750 году великий математик Леонард Эйлер строго сформулировал и доказал универсальный закон, которому подчиняется абсолютно любой выпуклый многогранник независимо от его формы, размеров и числа граней.

Теорема Эйлера выражается поразительно простой формулой: если сложить число вершин и число граней выпуклого тела и вычесть число его рёбер, то в результате всегда получится число 2 ( $\text{В} - \text{Р} + \text{Г} = 2$ ). Это соотношение не только позволяет находить неизвестные элементы сложных пространственных фигур в контрольных работах 10 класса и заданиях ЕГЭ по математике, но и строго доказывает, почему в трёхмерном пространстве может существовать ровно пять правильных многогранников (Платоновых тел).

Ниже подробно разобраны формулировка теоремы, её классическое топологическое доказательство, сводная таблица для различных многогранников, пошаговые решения задач и интерактивные онлайн-тренажёры Экзамео с мгновенной проверкой ответов.

Формула теоремы Эйлера — 10 класс

Теорема Эйлера для выпуклых многогранников: в любом выпуклом многограннике сумма числа вершин и числа граней на два больше числа его рёбер:

\text{В} - \text{Р} + \text{Г} = 2

[Место для иллюстрации: Иллюстрация теоремы Эйлера В - Р + Г = 2 на примере тетраэдра, куба и октаэдра с выделением вершин точками, рёбер отрезками и граней цветом]

• Компоненты формулы:
— $\text{В}$ (или $V$ от лат. vertices) — количество вершин многогранника;
— $\text{Р}$ (или $E$ от лат. edges) — количество рёбер многогранника;
— $\text{Г}$ (или $F$ от лат. faces) — количество граней многогранника.

• Эйлерова характеристика ( $\chi$ ): число $\chi = \text{В} - \text{Р} + \text{Г}$ называется эйлеровой характеристикой поверхности. Для любого многогранника, граница которого топологически эквивалентна сфере (включая все выпуклые многогранники), эйлерова характеристика неизменно равна двум ( $\chi = 2$ ).

• Область применимости: теорема справедлива для всех выпуклых многогранников, а также для невыпуклых многогранников без сквозных отверстий. Если многогранник имеет форму «бублика» (тора с дыркой), соотношение меняется: для тороидального многогранника $\text{В} - \text{Р} + \text{Г} = 0$ .

• Вспомогательное правило подсчёта рёбер: если сложить количество сторон всех граней многогранника, получится удвоенное число рёбер ( $2\text{Р}$ ), так как каждое ребро разделяют ровно две смежные грани.

Классическое доказательство теоремы Эйлера через плоский граф (метод Коши)

Строгое доказательство теоремы Эйлера опирается на метод проекции сетки многогранника на плоскость (превращение поверхности в плоский граф):

1. Удаление одной грани и растяжение на плоскость: Удалим одну из граней выпуклого многогранника (например, основание) и растянем оставшуюся многогранную оболочку на плоскости так, чтобы рёбра не пересекались. Получится плоская сетка (планарный граф), внутри которой расположено $\text{Г} - 1$ многоугольных ячеек.

2. Триангуляция сетки: Если какие-то ячейки имеют более трёх сторон, проведём в них непересекающиеся диагонали. Каждая проведённая диагональ добавляет ровно $1$ ребро и разбивает ячейку на $2$ ячейки (добавляет $1$ грань). Число вершин при этом не меняется:

\Delta(\text{В} - \text{Р} + \text{Г}) = 0 - 1 + 1 = 0

Величина $\text{В} - \text{Р} + \text{Г}$ остаётся абсолютно неизменной. Теперь вся плоская сетка состоит исключительно из треугольников.

3. Пошаговое удаление треугольников с края сетки: Будем последовательно удалять треугольники с границы сетки один за другим. Возможны два случая:

• Случай А (у треугольника 1 внешнее ребро): удаляем это ребро и саму треугольную грань. Число вершин не изменилось ( $\Delta \text{В} = 0$ ), число рёбер уменьшилось на $1$ ( $\Delta \text{Р} = -1$ ), число граней уменьшилось на $1$ ( $\Delta \text{Г} = -1$ ):

\Delta(\text{В} - \text{Р} + \text{Г}) = 0 - (-1) + (-1) = 0

• Случай Б (у треугольника 2 внешних ребра и 1 свободная вершина): удаляем эту вершину, оба внешних ребра и треугольную грань ( $\Delta \text{В} = -1, \Delta \text{Р} = -2, \Delta \text{Г} = -1$ ):

\Delta(\text{В} - \text{Р} + \text{Г}) = -1 - (-2) + (-1) = -1 + 2 - 1 = 0

4. Финальный треугольник: Продолжая удаление, в конце концов мы останемся с одним единственным треугольником на плоскости. Для одного треугольника: $\text{В} = 3$ , $\text{Р} = 3$ , $\text{Г} = 1$ (одна внутренняя область):

\text{В} - \text{Р} + \text{Г} = 3 - 3 + 1 = 1

5. Возврат удалённой грани: Вспомним, что в самом начале доказательства мы убрали одну грань многогранника. Возвращая её обратно, получаем итоговое равенство:

\text{В} - \text{Р} + \text{Г} = 1 + 1 = 2

Теорема Эйлера полностью доказана для любого выпуклого многогранника.

Проверка формулы Эйлера для основных многогранников

Таблица наглядно иллюстрирует выполнение равенства $\text{В} - \text{Р} + \text{Г} = 2$ для всех ключевых классов выпуклых многогранников школьного курса геометрии:

Многогранник

Вершины (В)

Рёбра (Р)

Грани (Г)

Проверка

Правильный тетраэдр

$4$

$6$

$4$ (треугольники)

$4 - 6 + 4 = 2$

Куб (гексаэдр)

$8$

$12$

$6$ (квадраты)

$8 - 12 + 6 = 2$

Октаэдр

$6$

$12$

$8$ (треугольники)

$6 - 12 + 8 = 2$

Додекаэдр

$20$

$30$

$12$ (пятиугольники)

$20 - 30 + 12 = 2$

Икосаэдр

$12$

$30$

$20$ (треугольники)

$12 - 30 + 20 = 2$

$n$ -угольная призма

$2n$

$3n$

$n + 2$

$2n - 3n + (n + 2) = 2$

$n$ -угольная пирамида

$n + 1$

$2n$

$n + 1$

$(n + 1) - 2n + (n + 1) = 2$

Где применяется теорема Эйлера в геометрии и на ЕГЭ

Формула Эйлера выступает незаменимым вычислительным и аналитическим аппаратом старшей школы:

Доказательство 5 правильных многогранников

С помощью теоремы Эйлера математически строго доказывается, что выпуклых правильных многогранников не может быть больше пяти. Неравенство $\dfrac{1}{m} + \dfrac{1}{k} > \dfrac{1}{2}$ имеет ровно 5 целочисленных решений.

Задание 3 Профильного ЕГЭ

Нахождение числа вершин, рёбер или граней пространственных многогранников со сложной конфигурацией (усечённые пирамиды, многогранники с отсечёнными или наращёнными углами) без кропотливого ручного пересчёта по рисунку.

Проверка возможности существования тела

Теорема Эйлера позволяет мгновенно опровергнуть существование воображаемого многогранника: если заданная комбинация вершин, рёбер и граней не даёт в сумме 2, такого выпуклого многогранника в природе существовать не может.

Сумма всех плоских углов многогранника

Прямое следствие формулы Эйлера связывает сумму всех плоских углов всех граней любого выпуклого тела исключительно с числом его вершин: $\Sigma = (\text{В} - 2) \cdot 360^\circ$ .

Алгоритм решения задач по теореме Эйлера

При нахождении неизвестных элементов выпуклого многогранника можно использовать один и тот же алгоритм придерживайтесь следующей последовательности действий:

Определите суммарное число сторон всех граней: перемножьте количество граней каждого вида на число их сторон и сложите результаты: $\Sigma_{\text{сторон}} = n_1\text{Г}_1 + n_2\text{Г}_2 + \dots$

Вычислите количество рёбер ( $\text{Р}$ ): разделите полученную сумму сторон пополам (так как каждое ребро разделяют две грани): $\text{Р} = \dfrac{\Sigma_{\text{сторон}}}{2}$ .

Подсчитайте полное число граней ( $\text{Г}$ ): сложите количество граней всех типов: $\text{Г} = \text{Г}_1 + \text{Г}_2 + \dots$

Найдите число вершин ( $\text{В}$ ) по теореме Эйлера: выразите $\text{В}$ из формулы $\text{В} - \text{Р} + \text{Г} = 2 \implies \text{В} = 2 + \text{Р} - \text{Г}$ .

Задачи на теорему Эйлера с пошаговыми решениями

Ниже приведены решения пяти типовых задач из контрольных работ и самостоятельных работ по теореме Эйлера для многогранников в 10 классе и заданий ЕГЭ по стереометрии.

Задание 1: Нахождение числа вершин многогранника по известным граням и рёбрам

Условие: Выпуклый многогранник имеет $30$ рёбер и $12$ граней. Найдите количество вершин этого многогранника. Каким правильным многогранником может являться это геометрическое тело?

Пошаговое решение:

1) Запишем формулу теоремы Эйлера для выпуклого многогранника:

\text{В} - \text{Р} + \text{Г} = 2

2) Выразим неизвестное число вершин $\text{В}$ :

\text{В} = 2 + \text{Р} - \text{Г}

3) Подставим числовые значения ( $\text{Р} = 30, \text{Г} = 12$ ):

\text{В} = 2 + 30 - 12 = 32 - 12 = 20\text{ вершин}

4) Геометрическая идентификация:
Правильный многогранник, имеющий $12$ граней (правильных пятиугольников), $30$ рёбер и $20$ вершин — это додекаэдр.

Ответ: $20$ вершин; додекаэдр.

Задание 2: Подсчёт вершин и рёбер усечённого икосаэдра (модель футбольного мяча)

Условие: Поверхность футбольного мяча представляет собой выпуклый многогранник (усечённый икосаэдр), состоящий из $12$ правильных пятиугольников и $20$ правильных шестиугольников. Сколько рёбер и сколько вершин имеет этот многогранник?

Пошаговое решение:

1) Найдём общее число граней ( $\text{Г}$ ):

\text{Г} = 12 + 20 = 32\text{ грани}

2) Найдём число рёбер ( $\text{Р}$ ):
Подсчитаем сумму сторон всех граней:
• $12$ пятиугольников дают $12 \cdot 5 = 60$ сторон;
• $20$ шестиугольников дают $20 \cdot 6 = 120$ сторон.
Суммарно: $60 + 120 = 180$ сторон.
Так как каждое ребро принадлежит двум граням:

2\text{Р} = 180 \implies \text{Р} = \dfrac{180}{2} = 90\text{ рёбер}

3) Найдём число вершин ( $\text{В}$ ) по теореме Эйлера:

\text{В} - \text{Р} + \text{Г} = 2 \implies \text{В} = 2 + \text{Р} - \text{Г}

\text{В} = 2 + 90 - 32 = 92 - 32 = 60\text{ вершин}

(Замечание: именно поэтому знаменитая молекула фуллерена имеет химическую формулу $C_{60}$ , так как $60$ атомов углерода образуют вершины этой пространственной структуры).

Ответ: $90$ рёбер, $60$ вершин.

Задание 3: Доказательство существования ровно пяти Платоновых тел

Условие: С помощью теоремы Эйлера докажите, что не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные шестиугольники.

Пошаговое доказательство:

1) Пусть грани правильного многогранника являются правильными $m$ -угольниками, и в каждой вершине сходится $k$ рёбер.
Так как в многограннике каждая грань имеет не менее $3$ сторон, а в каждой вершине сходится не менее $3$ рёбер, то $m \ge 3$ и $k \ge 3$ .

2) Выразим $\text{В}$ и $\text{Г}$ через число рёбер $\text{Р}$ :
• Каждое ребро соединяет $2$ вершины: $k \cdot \text{В} = 2\text{Р} \implies \text{В} = \dfrac{2\text{Р}}{k}$ ;
• Каждое ребро разделяет $2$ грани: $m \cdot \text{Г} = 2\text{Р} \implies \text{Г} = \dfrac{2\text{Р}}{m}$ .

3) Подставим эти выражения в теорему Эйлера ( $\text{В} - \text{Р} + \text{Г} = 2$ ):

\dfrac{2\text{Р}}{k} - \text{Р} + \dfrac{2\text{Р}}{m} = 2

4) Разделим обе части уравнения на $2\text{Р}$ :

\dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{m} = \dfrac{1}{\text{Р}} \implies \dfrac{1}{k} + \dfrac{1}{m} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{\text{Р}}

Так как $\text{Р} > 0$ , получаем строгое неравенство:

\dfrac{1}{k} + \dfrac{1}{m} &gt; \dfrac{1}{2}

5) Проверим случай, когда грани — шестиугольники ( $m = 6$ ):
Так как в вершине должно сходиться не менее $3$ рёбер ( $k \ge 3$ ):

\dfrac{1}{k} + \dfrac{1}{6} \le \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{2}{6} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}

Сумма $\dfrac{1}{k} + \dfrac{1}{m} \le \dfrac{1}{2}$ , что противоречит строгому неравенству $\dfrac{1}{k} + \dfrac{1}{m} > \dfrac{1}{2}$ .
Следовательно, правильного многогранника из шестиугольников существовать не может.

Задание 4: Изменение формулы Эйлера при усечении вершин куба

Условие: У куба спилили все $8$ его вершин небольшими плоскими срезами так, что срезы не пересекаются между собой. Сколько вершин, рёбер и граней имеет получившийся многогранник? Проверьте для него теорему Эйлера.

Пошаговое решение:

1) Исходный куб: $\text{В} = 8$ , $\text{Р} = 12$ , $\text{Г} = 6$ .

2) Анализ усечения каждой вершины:
В каждой из $8$ вершин куба сходилось $3$ ребра. При отсечении одного угла:
• старая вершина исчезает, но на месте среза образуются $3$ новые вершины (вместо $1$ вершины стало $3$ $\implies$ прибавка $+2$ вершины на каждый угол);
• срез образует $1$ новую грань (треугольник) и $3$ новых ребра.

3) Подсчитаем новые элементы многогранника:
• Новые грани: $6$ старых граней (ставших восьмиугольниками) $+ 8$ новых треугольных граней:
$$Г' = 6 + 8 = 14$$
• Новые вершины: у куба было $8$ вершин, на месте каждой появилось по $3$ вершины:
$$В' = 8 \cdot 3 = 24$$
• Новые рёбра: $12$ старых рёбер куба $+ 8 \cdot 3 = 24$ ребра треугольных срезов:
$$Р' = 12 + 24 = 36$$

4) Проверка по формуле Эйлера:

\text{В}' - \text{Р}' + \text{Г}' = 24 - 36 + 14 = -12 + 14 = 2

Теорема Эйлера строго выполняется.

Ответ: $24$ вершины, $36$ рёбер, $14$ граней; $24 - 36 + 14 = 2$ .

Задание 5: Вычисление суммы всех плоских углов многогранника через формулу Эйлера

Условие: Докажите, что сумма всех плоских углов всех граней любого выпуклого многогранника равна $(\text{В} - 2) \cdot 360^\circ$ , и найдите эту сумму для икосаэдра.

Пошаговое решение:

1) Пусть $k$ -я грань многогранника имеет $n_k$ сторон. По формуле суммы углов многоугольника сумма её плоских углов равна:

S_k = (n_k - 2) \cdot 180^\circ

2) Просуммируем углы по всем $\text{Г}$ граням многогранника:

\Sigma = \sum_{k=1}^{\text{Г}} (n_k - 2) \cdot 180^\circ = 180^\circ \cdot \sum_{k=1}^{\text{Г}} n_k - 180^\circ \cdot 2\text{Г}

3) Сумма сторон всех граней равна удвоенному числу рёбер: $\sum n_k = 2\text{Р}$ :

\Sigma = 180^\circ \cdot 2\text{Р} - 360^\circ \cdot \text{Г} = 360^\circ \cdot \text{Р} - 360^\circ \cdot \text{Г} = 360^\circ \cdot (\text{Р} - \text{Г})

4) По теореме Эйлера: $\text{В} - \text{Р} + \text{Г} = 2 \implies \text{Р} - \text{Г} = \text{В} - 2$ . Подставим это выражение:

\Sigma = (\text{В} - 2) \cdot 360^\circ

Формула доказана.

5) Вычислим сумму углов для икосаэдра:
Икосаэдр имеет $\text{В} = 12$ вершин:

\Sigma = (12 - 2) \cdot 360^\circ = 10 \cdot 360^\circ = 3600^\circ

(Проверка: у икосаэдра $20$ треугольных граней; сумма углов одного треугольника равна $180^\circ$ , а всех $20$ : $20 \cdot 180^\circ = 3600^\circ$ ).

Ответ: $3600^\circ$ .

Типичные ошибки в теореме Эйлера

При решении стереометрических задач на теорему Эйлера чаще всего допускаются следующие четыре ошибки:

Путаница знаков плюс и минус

Записывают формулу как $\text{В} + \text{Р} - \text{Г} = 2$ или $\text{В} + \text{Р} + \text{Г} = 2$ .

Запомните мнемоническое правило: «Вершины Минус Рёбра Плюс Грани» ( $\text{В} - \text{Р} + \text{Г} = 2$ ). Минус стоит исключительно перед рёбрами!

Применение формулы к невыпуклым телам с дырками

Пытаются применить равенство к тороидальным многогранникам со сквозными проёмами.

Классическая теорема Эйлера ( $= 2$ ) выполняется строго для выпуклых многогранников. Для многогранника в форме рамки (тора) $\chi = \text{В} - \text{Р} + \text{Г} = 0$ .

Забытое деление пополам при подсчёте рёбер

Складывая стороны всех граней многогранника, забывают разделить результат на 2.

Каждое ребро является общей границей ровно двух граней, поэтому число рёбер вдвое меньше суммы сторон всех граней: $\text{Р} = \dfrac{\Sigma}{2}$ .

Путаница вершин и граней при переносе слагаемых

Выражая число вершин $\text{В}$ , ошибочно пишут $\text{В} = \text{Р} + \text{Г} - 2$ .

При алгебраическом переносе слагаемых через знак равенства знаки меняются: $\text{В} = 2 + \text{Р} - \text{Г}$ и $\text{Г} = 2 + \text{Р} - \text{В}$ .

Тренажёр по теореме Эйлера для многогранников (10 класс)

Ниже собраны задания на теорему Эйлера для многогранников для 10 класса. Для каждого из них вы найдете подробное решение и автоматическую проверку ответов.

Задача 1

Теорема Эйлера для многогранников

Темы1

Курсы1

Тренажёр по стереометрии для 10 класса на применение формулы (теоремы) Эйлера для выпуклых многогранников: V - E + F = 2.Вариант 1

Некоторый выпуклый многогранник имеет $6$ вершин и $5$ граней. Сколько рёбер имеет этот многогранник?

Ваш ответ

Задача 2

Элементы составного многогранника и теорема Эйлера

Темы2

Курсы1

Тренажёр на нахождение числа вершин, рёбер или граней составного многогранника, полученного приклеиванием пирамиды к грани призмы или куба. Ученик анализирует исчезновение грани склейки, совпадение рёбер и появление новой вершины, проверяя результат по теореме Эйлера.Вариант 1

Две одинаковые правильные одиннадцатиугольную пирамиды склеили их основаниями так, что вершины оснований полностью совпали. Сколько рёбер имеет получившийся многогранник?

Ваш ответ

Полный тренажер

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

В Экзамео откроются дополнительные задания по теме, проверка прогресса и решения после попытки.

Все тренажёрыПрогресс по темеПерсональный план

Формула теоремы Эйлера — 10 класс

Проверка формулы Эйлера для основных многогранников

Где применяется теорема Эйлера в геометрии и на ЕГЭ

Алгоритм решения задач по теореме Эйлера

Задачи на теорему Эйлера с пошаговыми решениями

Типичные ошибки в теореме Эйлера

Тренажёр по теореме Эйлера для многогранников (10 класс)

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

Рекомендуем изучить вместе с этой темой