Многогранник - тема 10 класса: элементы, виды, развёртки, построение и тренажёры

Многогранники в 10 классе по геометрии представляют собой фундаментальный класс пространственных фигур, с которого начинается систематическое изучение стереометрии. В окружающем нас мире практически все рукотворные и природные объекты имеют форму многогранников: кристаллы кварца и пирита, огранённые алмазы, жилые и офисные здания, контейнеры, системные блоки и упаковочные коробки.

В курсе 10 класса геометрия переходит от рассмотрения отдельных плоских фигур к замкнутым пространственным телам. Школьники осваивают базовые элементы многогранника (грани, рёбра, вершины), классификацию выпуклых и невыпуклых фигур, пространственные диагонали, правила построения многогранников на плоскости и методику работы с их развёртками. Знание свойств многогранников необходимо для построения сечений, нахождения площадей поверхностей и объёмов в контрольных работах 10 класса, а также в стереометрических заданиях 3 и 14 профильного ЕГЭ по математике.

Ниже систематизирована вся теория, представлены пошаговые алгоритмы построения и развёрток, разобраны типовые задачи и открыт доступ к онлайн-тренажёрам Экзамео с моментальной проверкой ответов.

Понятие многогранника и его элементы — 10 класс

Многогранником называется геометрическое тело, поверхность которого составлена из конечного числа плоских многоугольников.

[Место для иллюстрации: Пространственный многогранник с наглядным выделением вершины V, ребра E, грани F, пространственной диагонали d и секущей плоскости]

• Базовые элементы многогранника:

— Грани — плоские многоугольники, образующие поверхность многогранника.

— Рёбра — стороны граней. Каждое ребро служит общей границей ровно двух смежных граней.

— Вершины — вершины граней (концы рёбер). В каждой вершине сходятся не менее трёх рёбер и трёх граней.

• Диагональ многогранника: отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани (например, пространственная диагональ $AC_1$ в параллелепипеде). Не путайте её с диагональю грани (отрезком $AC$ ). Плоскость, проходящая через три вершины, не лежащие в одной грани, называется диагональной плоскостью.

• Выпуклый многогранник: многогранник называется выпуклым, если он целиком расположен по одну сторону от плоскости каждой из своих граней. Если продолжить любую его грань до бесконечной плоскости, всё тело останется строго в одном полупространстве.

• Правильные многогранники (Платоновы тела): выпуклые многогранники, все грани которых — равные правильные многоугольники, и в каждой вершине сходится одинаковое число рёбер. В трёхмерном пространстве существует ровно пять правильных многогранников: тетраэдр, куб (гексаэдр), октаэдр, додекаэдр и икосаэдр.

Развёртки многогранников и нахождение площади поверхности

Развёрткой многогранника называется плоская фигура, получающаяся при разрезании поверхности многогранника по части его рёбер и совмещении всех его граней с одной плоскостью без взаимных наложений:

1. Сохранение площадей: площадь плоской развёртки в точности равна площади полной поверхности многогранника ( $S_{\text{разв}} = S_{\text{полн}}$ ). Чтобы найти площадь поверхности пространственного тела, достаточно сложить площади всех многоугольников его развёртки.

2. Развёртки куба: поверхность куба состоит из $6$ одинаковых квадратов. Существует ровно $11$ различных типов развёрток куба, которые невозможно совместить друг с другом движениями на плоскости.

3. Поиск кратчайшего пути по поверхности: в стереометрии олимпиад и второй части ЕГЭ классическая задача о кратчайшем пути (например, путь муравья из одной вершины в противоположную по стенкам коробки) решается только через развёртку: кратчайшее расстояние между двумя точками на поверхности многогранника равно длине прямолинейного отрезка, соединяющего эти точки на его плоской развёртке.

Элементы основных пространственных многогранников

Используйте таблицу для сопоставления формы граней, количества вершин и рёбер пространственных тел:

Многогранник

Вершины (V)

Рёбра (E)

Грани (F)

Форма граней

Тетраэдр (треугольная пирамида)

$4$

$6$

$4$

Все $4$ грани — треугольники.

Куб / Параллелепипед

$8$

$12$

$6$

Все $6$ граней — параллелограммы или прямоугольники (квадраты).

Октаэдр (восьмигранник)

$6$

$12$

$8$

Все $8$ граней — треугольники.

$n$ -угольная призма

$2n$

$3n$

$n + 2$

$2$ основания ( $n$ -угольники) и $n$ боковых граней (параллелограммы).

$n$ -угольная пирамида

$n + 1$

$2n$

$n + 1$

$1$ основание ( $n$ -угольник) и $n$ боковых граней (треугольники).

Где встречаются задачи на многогранники в 10 классе и на ЕГЭ

Понятие многогранника лежит в основе заданий базового и профильного уровней экзамена:

Задание 3 Профильного ЕГЭ

Задачи первой части: расчёт числа вершин, рёбер и граней многогранников, нахождение площади поверхности составных фигур («многогранники с вырезами»), вычисление объёмов призм и пирамид.

Задание 14 Профильного ЕГЭ (Часть 2)

Сложная стереометрия: построение следов секущих плоскостей на гранях многогранника, доказательство перпендикулярности плоскостей и вычисление площадей сечений.

Задание 13 Базового ЕГЭ

Нахождение элементов многогранников по готовым чертежам, вычисление площади поверхности развёрток, подсчёт объёмов комнат и контейнеров.

Контрольные работы 10 класса

Школьные проверочные работы и тесты по главе «Многогранники»: построение каркасных чертежей, классификация правильных многогранников и поиск пространственных диагоналей.

Алгоритм изображения и построения многогранника

Чтобы грамотно построить чертёж пространственного многогранника в тетради или презентации, придерживайтесь чёткой последовательности шагов, она вам понадобится в самом начале изучения стереометрии, чтобы вы смогли избежать ошибок, по мере изучения стереометрии в 10 классе он дойдет у вас до автоматизма:

Постройте основание с учётом параллельного проектирования: изобразите нижнюю грань тела (прямоугольник или квадрат рисуйте параллелограммом, правильный треугольник — разносторонним треугольником, сохраняя пропорции деления отрезков).

Постройте высоты или боковые рёбра: для призмы проведите равные параллельные отрезки из каждой вершины основания; для пирамиды найдите проекцию вершины на основание и восстановите вертикальную высоту.

Замкните контур граней: соедините верхние вершины между собой (для призмы) или соедините вершину пирамиды со всеми вершинами основания, формируя боковые рёбра.

Оформите видимость линий: все рёбра, заслонённые передними непрозрачными гранями тела, проведите штриховым пунктиром, а видимые внешние контуры — сплошными чёткими линиями.

Задания на многогранники с пошаговыми решениями

Ниже приведены подробные эталоны решений пяти типовых задач по теме «Многогранники», охватывающих программу 10 класса и материалы ЕГЭ по математике.

Задание 1: Подсчёт количества рёбер многогранника по форме его граней

Условие: Многогранник составлен из $8$ треугольных граней и $6$ четырёхугольных граней. Сколько рёбер имеет этот многогранник?

Пошаговое решение:

1) Каждая грань имеет определённое количество сторон:
• $8$ треугольных граней содержат $8 \cdot 3 = 24$ стороны;
• $6$ четырёхугольных граней содержат $6 \cdot 4 = 24$ стороны.

2) Найдём суммарное количество сторон всех граней:

\Sigma = 24 + 24 = 48

3) Каждое ребро многогранника является общей стороной ровно двух смежных граней, поэтому при простом сложении сторон каждое ребро учтено ровно дважды:

2\text{Р} = 48 \implies \text{Р} = \dfrac{48}{2} = 24

Ответ: $24$ ребра.

Задание 2: Кратчайший путь по поверхности многогранника через развёртку

Условие: Прямоугольный параллелепипед имеет размеры $2\text{ см} \times 2\text{ см} \times 4\text{ см}$ . Муравей ползёт по его поверхности из вершины $A$ в противоположную вершину $C_1$ . Найдите длину кратчайшего пути муравья.

Пошаговое решение:

1) Кратчайший путь по поверхности трёхмерного тела на его плоской развёртке является прямым отрезком.

2) Развернём две смежные грани, через которые проходит муравей, на одну плоскость. В зависимости от выбора смежных граней возможны два варианта развёртки:
• Вариант 1 (через боковую грань и основание): стороны составного прямоугольника равны $(2 + 2) = 4\text{ см}$ и $4\text{ см}$ .
По теореме Пифагора длина пути равна:

L_1 = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\text{ см} \approx 5{,}66\text{ см}

• Вариант 2 (через две смежные боковые грани): стороны составного прямоугольника равны $(2 + 4) = 6\text{ см}$ и $2\text{ см}$ .
По теореме Пифагора длина пути равна:

L_2 = \sqrt{6^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}\text{ см} \approx 6{,}32\text{ см}

3) Сравним результаты: $\sqrt{32} < \sqrt{40}$ , следовательно, кратчайший путь равен $\sqrt{32} = 4\sqrt{2}\text{ см}$ .

Ответ: $4\sqrt{2}\text{ см}$ .

Задание 3: Площадь поверхности составного многогранника (прототип ЕГЭ Профиль №3)

Условие: Из куба с ребром $4$ удалили угловой кубик с ребром $1$ . Найдите площадь поверхности получившегося многогранника.

Пошаговое решение:

1) Геометрический анализ:
При вырезании углового кубика удаляются три его внешние квадратные грани площадью $1 \times 1 = 1$ каждая.
Однако взамен них внутри образовавшейся ступеньки открываются ровно такие же три внутренние грани площадью $1 \times 1 = 1$ , ориентированные по трём направлениям пространства.

2) Следовательно, убыль внешней поверхности в точности компенсируется появлением внутренней поверхности той же площади.

3) Площадь поверхности получившегося многогранника в точности равна площади поверхности исходного целого куба с ребром $a = 4$ :

S_{\text{полн}} = 6 \cdot a^2 = 6 \cdot 4^2 = 6 \cdot 16 = 96

Ответ: $96$ .

Задание 4: Подсчёт числа пространственных диагоналей призмы

Условие: Сколько пространственных диагоналей имеет шестиугольная призма?

Пошаговое решение:

1) Пространственная диагональ призмы соединяет вершину одного основания с вершиной другого основания, не лежащей с ней в одной боковой грани.

2) В $n$ -угольной призме из каждой вершины нижнего основания можно провести диагонали к вершинам верхнего основания за исключением:
• вершины, лежащей на том же боковом ребре ( $1$ вершина);
• двух соседних вершин верхнего основания, образующих смежные боковые грани ( $2$ вершины).

3) Таким образом, из каждой вершины нижнего основания выходит $(n - 3)$ пространственные диагонали:

N = n(n - 3)

4) Для шестиугольной призмы ( $n = 6$ ):

N = 6 \cdot (6 - 3) = 6 \cdot 3 = 18\text{ диагоналей}

Ответ: $18$ .

Задание 5: Площадь диагонального сечения правильной четырёхугольной пирамиды

Условие: В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания равна $6$ , а боковое ребро равно $5$ . Найдите площадь диагонального сечения пирамиды.

Пошаговое решение:

1) Диагональное сечение проходит через вершину пирамиды $S$ и диагональ квадратного основания $AC$ . Сечением является равнобедренный треугольник $\Delta SAC$ , где $SA = SC = 5$ .

2) Найдём длину основания сечения — диагональ квадрата со стороной $a = 6$ :

AC = a\sqrt{2} = 6\sqrt{2}

3) Высота сечения $SO$ является высотой пирамиды. Точка $O$ — центр квадрата, делит диагональ $AC$ пополам:

AO = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}

4) Из прямоугольного треугольника $\Delta SOA$ по теореме Пифагора найдём высоту $SO$ :

SO = \sqrt{SA^2 - AO^2} = \sqrt{5^2 - (3\sqrt{2})^2} = \sqrt{25 - 18} = \sqrt{7}

5) Вычислим площадь треугольника сечения $\Delta SAC$ :

S_{\text{сеч}} = \dfrac{1}{2} \cdot AC \cdot SO = \dfrac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} \cdot \sqrt{7} = 3\sqrt{14}

Ответ: $3\sqrt{14}$ .

Типичные ошибки в теме «Многогранники»

При решении стереометрических задач на многогранники десятиклассники чаще всего допускают следующие четыре ошибки:

Задвоение рёбер при подсчёте

Складывая стороны всех граней многогранника, забывают разделить полученную сумму на 2.

Каждое ребро принадлежит строго двум смежным граням, поэтому сумму сторон всех многоугольников необходимо обязательно делить пополам: $\text{Р} = \dfrac{\Sigma \text{сторон}}{2}$ .

Сплошные линии для невидимых рёбер

На чертеже все отрезки проводят сплошными линиями.

Невидимые внутренние и задние рёбра обязаны изображаться пунктиром, иначе чертёж искажает пространственную форму и приводит к грубым ошибкам при построении сечений.

Путаница диагонали грани и диагонали тела

При вычислении пространственной диагонали многогранника находят диагональ его плоского основания $AC$ .

Диагональ грани лежит в плоскости одной стенки ( $d = \sqrt{a^2 + b^2}$ ), а диагональ многогранника проходит сквозь внутреннее пространство тела ( $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ ).

Поиск пути по поверхности через диагональ

Ища путь муравья по поверхности коробки, вычисляют длину пространственной диагонали тела сквозь воздух.

Движение происходит строго по граням, поэтому кратчайший путь находится по прямой на плоской развёртке смежных граней!

Тренажёр по теме «Многогранники» для 10 класса

Тренажёры по теме многогранники содержат подборку практических заданий по теме «Многогранники» за 10 класс из самостоятельных и контрольных работ, учебников по стереометрии и открытого банка задач ЕГЭ по математике профильного и базового уровня. Для каждого задания вы найдете подробные решения и проверку ответов

Задача 1

Число вершин, рёбер и граней многогранников

Темы2

Курсы1

Вариант 1

Сколько рёбер имеет пятиугольная пирамида?

Ваш ответ

813710

Задача 2

Взаимное расположение прямых на кубе

Темы3

Курсы1

Базовый тренажёр 10 класса по стереометрии на тему «Взаимное расположение двух прямых в пространстве».Вариант 1

В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ проведены две прямые: $AD$ и $B_1C_1$ . Определите их взаимное расположение в пространстве.

Ваш ответ

ПересекающиесяПараллельныеСкрещивающиеся

Полный тренажер

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

В Экзамео откроются дополнительные задания по теме, проверка прогресса и решения после попытки.

Все тренажёрыПрогресс по темеПерсональный план

Понятие многогранника и его элементы — 10 класс

Элементы основных пространственных многогранников

Где встречаются задачи на многогранники в 10 классе и на ЕГЭ

Алгоритм изображения и построения многогранника

Задания на многогранники с пошаговыми решениями

Типичные ошибки в теме «Многогранники»

Тренажёр по теме «Многогранники» для 10 класса

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

Рекомендуем изучить вместе с этой темой