Логарифмические неравенства: методы решения и ОДЗ

На этой странице представлен исчерпывающий теоретический и практический справочник по теме «Логарифмические неравенства» по алгебре для 10–11 классов. Методисты образовательной платформы Экзамео разработали этот материал, чтобы подробно объяснить старшеклассникам, как решать логарифмические неравенства разного уровня сложности, помочь освоить классические методы решения (переход к основанию, замену переменной), раз и навсегда понять метод рационализации и уверенно забирать максимальный балл в Задании 14 профильного ЕГЭ по математике.

Логарифмические неравенства требуют от учащихся глубокого понимания свойств логарифмической функции, области допустимых значений (ОДЗ) и влияния основания на знак неравенства.

Методы решения логарифмических неравенств

Рассмотрим ключевые свойства, переход к равносильным системам и все основные методы решения для 10-11 класса - все они являются одной из основных тем школьной программы и используются на ЕГЭ по математике, в частности в 15 задании во второй части и могут встречаться в 18 задании с параметрами.

Логарифмические неравенства и монотонность

Поведение логарифмической функции $y = \log_a x$ и направление знака неравенства зависят от того, больше или меньше единицы основание $a$ :

Теорема о монотонности и переход к равносильной системе 🎯

• Если основание $a > 1$ (функция возрастает): знак неравенства сохраняется, а подлогарифмические выражения сравниваются с учётом ОДЗ:

\log_{a}f(x)>\log_{a}g(x)\iff\begin{cases}f(x)>g(x),\\ g(x)>0.\end{cases}

• Если основание $0 < a < 1$ (функция убывает): знак неравенства меняется на противоположный:

\log_{a}f(x)>\log_{a}g(x)\iff\begin{cases}f(x)<g(x),\\ f(x)>0.\end{cases}

[ Место для иллюстрации: Графики возрастающей (a > 1) и убывающей (0 < a < 1) логарифмических функций, демонстрирующие смену знака неравенства ]

Обрати внимание на ОДЗ! 💡

При переходе от неравенства $\log_a f(x) > \log_a g(x)$ к подлогарифмическим выражениям достаточно потребовать положительности только меньшего из выражений:

• Если $f(x) > g(x)$ , то пишем $g(x) > 0$ (тогда $f(x)$ автоматически больше нуля).

• Если $f(x) < g(x)$ , то пишем $f(x) > 0$ (тогда $g(x)$ автоматически больше нуля).

Метод замены переменной

Когда логарифм входит в неравенство в разных степенях (например, содержит $\log_a^2 x$ и $\log_a x$ ), к нему применяют замену переменной $t = \log_a x$ . При чем для переменной $t$ нет никаких ограничений ( $t \in \mathbb{R}$ ), так как область значений логарифма — всё множество действительных чисел. С методом замены переменных вы знакомы ещё со средней школы, но тем не менее давайте разберем его на конкретном примере

Решение логарифмического неравенства методом замены переменной

Задание: Решите неравенство $\log_2^2 x - 3 \log_2 x + 2 \le 0$ .

Подробное решение:

1) ОДЗ: подлогарифмическое выражение $x > 0$ .

2) Замена переменной: пусть $t = \log_2 x$ . Получаем квадратное неравенство:
$t^2 - 3t + 2 \le 0$ .

3) Корни квадратного трёхчлена: $t_1 = 1, t_2 = 2$ .
Решение неравенства относительно $t$ : $1 \le t \le 2$ .

4) Обратная замена:
$1 \le \log_2 x \le 2 \iff \log_2 2 \le \log_2 x \le \log_2 4$ .

5) Так как основание $2 > 1$ , знак неравенства сохраняется:
$2 \le x \le 4$ .

6) Пересекаем с ОДЗ ( $x > 0$ ): отрезок $[2; 4]$ полностью входит в ОДЗ.

Ответ: $x \in [2; 4]$ .

Метод рационализации логарифмических неравенств

Когда основание логарифма содержит переменную $a(x)$ , стандартное раскрытие через две системы оказывается громоздким. На помощь приходит метод рационализации (метод замены множителей). Чаще всего именно логарифмические неравенства, решаемые методом рационализации, встречаются на ЕГЭ по математике во второй части

Суть и идея метода рационализации:

Знак разности логарифмов $\log_{a(x)} f(x) - \log_{a(x)} g(x)$ совпадает со знаком произведения двух простых скобок:

\text{Знак }\left(\log_{a(x)} f(x) - \log_{a(x)} g(x)\right) = \text{Знак }\left((a(x) - 1)(f(x) - g(x))\right)

Почему это работает?

1. Если основание $a(x) > 1$ , первая скобка $(a(x) - 1) > 0$ . Знак определяется разностью $(f(x) - g(x))$ (знак неравенства сохраняется).

2. Если $0 < a(x) < 1$ , первая скобка $(a(x) - 1) < 0$ . Скобка сменяет знак произведения, что в точности соответствует развороту знака неравенства для убывающей функции!

Логарифмический множитель

Рациональный эквивалент (при соблюдении ОДЗ)

$\log_{a(x)} f(x) - \log_{a(x)} g(x)$

$(a(x) - 1)(f(x) - g(x))$

$\log_{a(x)} f(x)$ (сравнение с нулём)

$(a(x) - 1)(f(x) - 1)$

$\log_{h(x)} f(x) - \log_{g(x)} f(x)$

$(f(x) - 1)(h(x) - 1)(g(x) - 1)(g(x) - h(x))$

Главное правило применения рационализации: замену сложных логарифмических множителей на рациональные скобки производят строго с одновременным учётом ОДЗ исходных логарифмов ( $\begin{cases} a(x) > 0, a(x) \neq 1 \\ f(x) > 0, g(x) > 0 \end{cases}$ ).

Пошаговый алгоритм решения логарифмических неравенств

При решении любых логарифмических неравенств придерживайтесь алгоритма:

Порядок действий:

Запишите ОДЗ неравенства: выпишите условия положительности подлогарифмических выражений и основания ( $a > 0, a \neq 1$ ).

Выберите метод решения:
- Для одинаковых постоянных оснований — сравните выражения (учитывая монотонность).
- Для квадратов логарифмов — введите замену $t = \log_a x$ .
- Для переменных оснований или дробей — примените метод рационализации.

Пересеките полученный результат с ОДЗ: найдите пересечение множества решений основного неравенства и области ОДЗ.

Разбор типовых задач профильного ЕГЭ по математике

Рассмотрите решения задач, характерных для Задания 14 профильного ЕГЭ.

Пример 2: Решение методом рационализации (Задание 14 ЕГЭ)

Задание: Решите неравенство $\log_{x - 2} (2x - 3) \ge 1$ .

Подробное решение:

1) Перенесем $1$ в левую часть и представим $1$ как $\log_{x - 2} (x - 2)$ :
$\log_{x - 2} (2x - 3) - \log_{x - 2} (x - 2) \ge 0$ .

2) Запишем систему, состоящую из ОДЗ и рационализированного неравенства:
$$\begin{cases} x - 2 > 0, \\ x - 2 \neq 1, \\ 2x - 3 > 0, \\ ((x - 2) - 1) \cdot ((2x - 3) - (x - 2)) \ge 0. \end{cases}$$

3) Упростим систему:
$$\begin{cases} x > 2, \\ x \neq 3, \\ x > 1{,}5, \\ (x - 3)(x - 1) \ge 0. \end{cases}$$

4) Решим рациональное неравенство $(x - 3)(x - 1) \ge 0$ :
Промежутки: $x \in (-\infty; 1] \cup [3; +\infty)$ .

5) Наложим условия ОДЗ ( $x > 2, x \neq 3$ ):
• Из луча $x > 2$ интервал $(-\infty; 1]$ отпадают полностью.
• Для $[3; +\infty)$ условие $x \neq 3$ превращает квадратную скобку в круглую: $(3; +\infty)$ .

Ответ: $x \in (3; +\infty)$ .

Тренажёры по теме «Логарифмические неравенства» на Экзамео

Закрепите все методы решения логарифмических неравенств и правила рационализации на практике с помощью интерактивных онлайн-тренажёров образовательной платформы Экзамео. Все карточки и проверочные тесты по теме «Логарифмические неравенства» для 10–11 классов составлены строго в соответствии с требованиями ФГОС СОО и актуальным банком заданий КИМ профильного ЕГЭ по математике.

В базе платформы представлены сотни прототипов Задания 14 с автоматической проверкой ответов и подробными видеоразборами и пошаговыми математическими решениями. Переходите к тренажёрам по алгебре на Экзамео, тренируйтесь в комфортном темпе и гарантированно забирайте максимальные баллы на ЕГЭ!

Практика

Задачи сейчас заполняются

Уже готовим задания по теме: добавляем варианты, проверку ответов и понятные разборы после попытки.

Подбираем заданияПроверяем ответыГотовим разборы