Логарифмические уравнения: ОДЗ, методы решения, равносильные переходы

На этой странице собрано всё, что нужно знать про логарифмические уравнения в 10-м классе: от теории до реальных примеров. Материал пригодится и для текущих контрольных, и для подготовки к ЕГЭ — никакой воды, только то, что реально спрашивают.

Перед изучением темы логарифмические уравнения рекомендуем повторить Логарифмы - определение и основные свойства

Логарифмические уравнения — это фундаментальная тема алгебры в старшей школе. Они проходятся как в 10 классе, так и в 11 классе. Умение находить область допустимых значений (ОДЗ) и грамотно избавляться от знака логарифма критически важно как при изучении математического анализа, так и при решении логарифмических уравнений и Логарифмические неравенства.

Все методы решения логарифмических уравнений

Ниже приведены основные теоремы о потенциации, правила перехода к равносильным системам и разбор ключевых способов решения. Все они будут использоваться с разной частотой при решении логарифмических уравнений в 10 классе, 11 классе и на ЕГЭ по математике как профильного, так и базового уровня

Теорема о потенциации и равносильные переходы

Базовым правилом при решении логарифмических уравнений является сведение их к равенству двух логарифмов с одинаковым основанием.

Теорема о равных логарифмах

Пусть $a > 0, a \neq 1$ . Равенство логарифмов $\log_a x_1 = \log_a x_2$ справедливо тогда и только тогда, когда равны подлогарифмические выражения $x_1 = x_2$ при условии $x_1 > 0, x_2 > 0$ .

Так как логарифмическая функция является строго монотонной (возрастает при $a > 1$ и убывает при $0 < a < 1$ ), каждое своё значение она принимает ровно в одной точке. Отсюда вытекает следствие о равносильных системах:

Равносильный переход для уравнения $\log_a f(x) = \log_a g(x)$ :

Уравнение вида $\log_a f(x) = \log_a g(x)$ равносильно любой из двух систем на выбор:

\begin{cases} f(x) = g(x), \\ f(x) &gt; 0 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} f(x) = g(x), \\ g(x) &gt; 0 \end{cases}

Лайфхак: Какую систему выбрать? 💡

Обратите внимание: не нужно требовать положительности сразу двух функций!
Так как мы приравниваем $f(x) = g(x)$ , достаточно потребовать $f(x) > 0$ или $g(x) > 0$ для той функции, неравенство с которой решается проще (например, если одна из функций является линейной, а другая — квадратным трёхчленом).

2. Основные методы решения логарифмических уравнений

Все логарифмические уравнения 10 класса можно разделить на несколько основных классов по методу их решения:

1. По определению логарифма:
Уравнение вида $\log_a f(x) = b$ сводится к равенству $f(x) = a^b$ (при этом условие $f(x) > 0$ выполняется автоматически, так как $a^b > 0$ ).

2. Метод потенциации (сведение к одинаковому основанию):
С помощью свойств логарифмов обе части уравнения приводятся к виду $\log_a f(x) = \log_a g(x)$ , после чего переходят к подлогарифмическим выражениям.

3. Метод замены переменной:
Если уравнение содержит одинаковые логарифмические блоки (например, $A \log_a^2 x + B \log_a x + C = 0$ ), вводится замена $t = \log_a x$ , сводящая его к квадратному или алгебраическому уравнению.

4. Логарифмирование обеих частей:
Применяется для показательно-логарифмических уравнений вида $x^{\log_a x} = b$ . Прологарифмировав обе части по основанию $a$ , уравнение сводят к квадратному относительно $\log_a x$ .

[ Место для иллюстрации: Схема методов решения логарифмических уравнений — по определению, потенциация, замена переменной, логарифмирование ]

Пошаговый алгоритм решения

Чтобы избежать ошибок при решении логарифмических уравнений, придерживайтесь алгоритма:

Порядок действий:

Запишите ОДЗ уравнения: зафиксируйте условия $f(x) > 0$ для подлогарифмических выражений и $a > 0, a \neq 1$ для оснований.

Преобразуйте уравнение выбранным методом: снимите логарифмы по теореме о потенциации или введите новую переменную $t$ .

Проверьте найденое корни: подставьте полученные значения $x$ в условия ОДЗ или выполните прямую проверку в исходное уравнение.

Разбор типовых примеров решений

Рассмотрите решения задач, характерных для контрольных работ в 10 классе и профильного ЕГЭ.

Пример 1: Простейшее уравнение, сводимое к потенцированию

Задание: Решите уравнение $\log_3 (4x - 1) = 2 \log_3 3$ .

Подробное решение:

1) Преобразуем правую часть уравнения, внеся множитель $2$ в показатель степени подлогарифмического выражения:
$\log_3 (4x - 1) = \log_3 (3^2) \implies \log_3 (4x - 1) = \log_3 9$ .

2) Используем теорему о потенциации:
$4x - 1 = 9$ .

3) Найдём корень линейного уравнения:
$4x = 10 \implies x = \dfrac{10}{4} = 2{,}5$ .

4) Проверка ОДЗ: подставим $x = 2{,}5$ в выражение $4x - 1$ : $4 \cdot 2{,}5 - 1 = 9 > 0$ . Корень подходит.

Ответ: $2{,}5$ .

Пример 2: Решение уравнения с применением равносильной системы

Задание: Решите уравнение $\lg (x^2 - 4x + 2) = \lg (2x - 3)$ .

Подробное решение:

1) Перейдём к равносильной системе. Потребуем строго вхождения ОДЗ для линейной функции $2x - 3 > 0$ :
$$\begin{cases} x^2 - 4x + 2 = 2x - 3, \\ 2x - 3 > 0. \end{cases}$$

2) Упростим первое квадратное уравнение:
$x^2 - 6x + 5 = 0$ .

3) По теореме Виета находим корни квадратного уравнения:
$x_1 = 1, \quad x_2 = 5$ .

4) Проверим найденные корни по неравенству ОДЗ ( $2x - 3 > 0 \implies x > 1{,}5$ ):
• При $x = 1$ : $2 \cdot 1 - 3 = -1 \ngtr 0$ (значение $x = 1$ посторонний корень).
• При $x = 5$ : $2 \cdot 5 - 3 = 7 > 0$ (условие выполняется).

Ответ: $5$ .

Тренажёры по теме «Логарифмические уравнения» на Экзамео

Закрепите все классы логарифмических уравнений и равносильные переходы на практике с помощью интерактивных онлайн-тренажёров образовательной платформы Экзамео. Все учебные карточки и проверочные тесты по теме «Логарифмические уравнения» за 10 класс составлены строго в соответствии с требованиями ФГОС СОО, Федеральной рабочей программой по алгебре и материалами профильного ЕГЭ по математике.

В базе платформы представлены сотни вариантов логарифмических уравнений и примеров разного уровня сложности с автоматической проверкой ответов и подробными пошаговыми математическими решениями. Переходите к тренажёрам по алгебре за 10 класс на Экзамео, тренируйтесь в комфортном темпе и получайте отличные оценки за самостоятельные и контрольные работы!

Практика

Задачи сейчас заполняются

Уже готовим задания по теме: добавляем варианты, проверку ответов и понятные разборы после попытки.

Подбираем заданияПроверяем ответыГотовим разборы