Вычисление углов между прямыми и плоскостями - теория и задачи

На этой странице представлен разбор темы «Вычисление углов между прямыми и плоскостями» по геометрии для 11 класса, чтобы помочь одиннадцатиклассникам досконально освоить два главных подхода к поиску углов между прямыми и плоскостями: классический геометрический метод с построением проекций и наглядный векторно-координатный метод, гарантирующий точный результат в стереометрической задаче профильного ЕГЭ по математике.

Нахождение углов в пространстве — центральная задача стереометрии 11 класса. На ЕГЭ по математике учащимся предоставляется полная свобода выбора: использовать традиционные дополнительные построения и теорему о трёх перпендикулярах или перевести задачу в систему координат $Oxyz$ и применить формулы скалярного произведения векторов.

Теоретический справочник: углы между прямыми и плоскостями

Рассмотрим определения, формулы и алгоритмы для вычисления углов между прямыми, между прямой и плоскостью, а также между двумя плоскостями в пространстве.

Угол между двумя прямыми в пространстве

Углом между двумя скрещивающимися или пересекающимися прямыми называется величина наименьшего из смежных углов, образованных при их пересечении (лежит в пределах $0^\circ \le \varphi \le 90^\circ$ ).

Классический метод

• Параллельным переносом совмещают одну из прямых с другой до пересечения в одной точке.

• Находят угол из треугольника по теореме косинусов или через тригонометрию, если треугольник прямоугольный:

\cos\varphi=\dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}

Координатный метод

Основная проблема найти направляющие векторы прямых, поскольку уравнения прямой в пространстве параметрическое

Зная направляющие векторы прямых $\vec{s}_1 = (m_1; n_1; p_1)$ и $\vec{s}_2 = (m_2; n_2; p_2)$ :

\cos \varphi = \dfrac{|\vec{s}_1 \cdot \vec{s}_2|}{|\vec{s}_1| \cdot |\vec{s}_2|} = \dfrac{|m_1 m_2 + n_1 n_2 + p_1 p_2|}{\sqrt{m_1^2 + n_1^2 + p_1^2} \cdot \sqrt{m_2^2 + n_2^2 + p_2^2}}

Пример нахождения угла между двумя скрещивающимися прямыми в призме

Задание: В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ , все рёбра которой равны $1$ , найдите косинус угла между прямыми $AB_1$ и $BC_1$ .

Подробное решение:

1) Поместим начало координат в середину ребра $AC$ (точку $O$ ), ось $Ox$ направим вдоль $AC$ , ось $Oy$ — вдоль высоты основания $OB$ , ось $Oz$ — параллельно боковому ребру $AA_1$ .

2) Найдём координаты точек в $Oxyz$ :
• $A\left(-\dfrac{1}{2}; 0; 0\right)$ , $B\left(0; \dfrac{\sqrt{3}}{2}; 0\right)$ , $C\left(\dfrac{1}{2}; 0; 0\right)$ ;
• $B_1\left(0; \dfrac{\sqrt{3}}{2}; 1\right)$ , $C_1\left(\dfrac{1}{2}; 0; 1\right)$ .

3) Составим направляющие векторы:
• $\vec{s}_1 = \overrightarrow{AB_1} = \left(0 - \left(-\dfrac{1}{2}\right); \dfrac{\sqrt{3}}{2} - 0; 1 - 0\right) = \left(\dfrac{1}{2}; \dfrac{\sqrt{3}}{2}; 1\right)$ .
Длина: $|\vec{s}_1| = \sqrt{\dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4} + 1} = \sqrt{2}$ .
• $\vec{s}_2 = \overrightarrow{BC_1} = \left(\dfrac{1}{2} - 0; 0 - \dfrac{\sqrt{3}}{2}; 1 - 0\right) = \left(\dfrac{1}{2}; -\dfrac{\sqrt{3}}{2}; 1\right)$ .
Длина: $|\vec{s}_2| = \sqrt{\dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4} + 1} = \sqrt{2}$ .

4) Вычислим скалярное произведение $\vec{s}_1 \cdot \vec{s}_2$ :
$\vec{s}_1 \cdot \vec{s}_2 = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) + 1 \cdot 1 = \dfrac{1}{4} - \dfrac{3}{4} + 1 = \dfrac{1}{2}$ .

5) Найдем косинус угла $\varphi$ :
$\cos \varphi = \dfrac{|\vec{s}_1 \cdot \vec{s}_2|}{|\vec{s}_1| \cdot |\vec{s}_2|} = \dfrac{\frac{1}{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \dfrac{\frac{1}{2}}{2} = \dfrac{1}{4} = 0{,}25$ .

Ответ: $\cos \varphi = 0{,}25$ .

Угол между прямой и плоскостью

Определение угла между прямой и плоскостью 🎯

Углом между наклонной прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и её ортогональной проекцией на данную плоскость ( $0^\circ \le \alpha \le 90^\circ$ ).

Формула координатного метода:

Пусть $\vec{s} = (m; n; p)$ — направляющий вектор прямой, а $\vec{n} = (A; B; C)$ — вектор нормали плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ . Угол $\alpha$ между прямой и плоскостью вычисляется по формуле:

\sin \alpha = \dfrac{|\vec{s} \cdot \vec{n}|}{|\vec{s}| \cdot |\vec{n}|} = \dfrac{|A m + B n + C p|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2} \cdot \sqrt{m^2 + n^2 + p^2}}

Разберем координатный метод нахождения угла между прямой и плоскостью на примере типичной стереометрической задачи в 11 классе

Пример нахождение угла между прямой и плоскостью в кубе (Координатный метод)

Задание: В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром $1$ найдите угол между диагональю $AB_1$ и плоскостью $ABC_1$ .

Подробное решение:

1) Введём систему координат $Oxyz$ : с началом в вершине $A(0; 0; 0)$ , осью $Ox$ вдоль $AB$ , осью $Oy$ вдоль $AD$ и осью $Oz$ вдоль $AA_1$ .

2) Координаты нужных точек:
$A(0; 0; 0)$ , $B_1(1; 0; 1)$ , $B(1; 0; 0)$ , $C_1(1; 1; 1)$ .

3) Направляющий вектор прямой $AB_1$ :
$\vec{s} = \overrightarrow{AB_1} = (1 - 0; 0 - 0; 1 - 0) = (1; 0; 1)$ .
Длина вектора: $|\vec{s}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ .

4) Уравнение плоскости $ABC_1$ : проходит через точки $A(0; 0; 0)$ , $B(1; 0; 0)$ , $C_1(1; 1; 1)$ .
Так как точка $A$ — начало координат, $D = 0$ . Уравнение: $Ax + By + Cz = 0$ .
• Подставим $B(1; 0; 0) \implies A \cdot 1 = 0 \implies A = 0$ .
• Подставим $C_1(1; 1; 1) \implies 0 \cdot 1 + B \cdot 1 + C \cdot 1 = 0 \implies B = -C$ .
Положим $C = -1$ , тогда $B = 1$ . Уравнение плоскости: $y - z = 0$ .
Вектор нормали плоскости: $\vec{n} = (0; 1; -1)$ . Длина $|\vec{n}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$ .

5) Найдем синус угла $\alpha$ между прямой и плоскостью:
$\sin \alpha = \dfrac{|\vec{s} \cdot \vec{n}|}{|\vec{s}| \cdot |\vec{n}|} = \dfrac{|1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot (-1)|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \dfrac{|-1|}{2} = \dfrac{1}{2}$ .

6) Так как $\sin \alpha = \dfrac{1}{2}$ , то угол $\alpha = 30^\circ$ .

Ответ: $30^\circ$ .

Внимание: не перепутайте тригонометрическую функцию! 💡

• Для угла между двумя прямыми или двумя плоскостями вычисляется КОСИНУС ( $\cos \varphi$ ).
• Для угла между прямой и плоскостью координатный метод даёт СИНУС ( $\sin \alpha$ ), так как вектор нормали образует с прямой угол $90^\circ - \alpha$ !

Угол между двумя плоскостями

Угол между двумя пересекающимися плоскостями равен величине меньшего из образованных ими двугранных углов.

Классический метод

На линии пересечения плоскостей выбирают точку и проводят к ней два перпендикуляра в каждой из плоскостей, формируя линейный угол двугранного угла.

Координатный метод

Угол равен углу между векторами нормалей $\vec{n}_1 = (A_1; B_1; C_1)$ и $\vec{n}_2 = (A_2; B_2; C_2)$ этих плоскостей:

\cos \theta = \dfrac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| \cdot |\vec{n}_2|} = \dfrac{|A_1 A_2 + B_1 B_2 + C_1 C_2|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} \cdot \sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}}

Пошаговый алгоритм координатного метода

При вычислении углов координатным методом в 11 классе или на ЕГЭ по математике придерживайтесь алгоритма:

Порядок действий:

Введение системы координат $Oxyz$ : выберите удобное начало координат (вершину многогранника) и найдите координаты всех необходимых точек.

Найдите векторы:
- Для прямой — найдите координаты её направляющего вектора $\vec{s} = \overrightarrow{M_1M_2}$ .
- Для плоскости — составьте её уравнение $Ax + By + Cz + D = 0$ и выпишите вектор нормали $\vec{n} = (A; B; C)$ .

Вычислите угол по формуле: подставьте координаты векторов в соответствующую формулу ( $\cos \varphi$ или $\sin \alpha$ ) и запишите значение угла (или арксинуса/арккосинуса).

Тренажёры по теме «Вычисление углов в пространстве» на Экзамео

Ниже представлены задания на углы между прямыми, между прямой и плоскостью и между плоскостями составленные по открытому банку ФИПИ и материалам школьной программы. К каждому заданию вы найдете подробное решение через стандартный метод и через координатный метод.

Задача 1

Угол между диагональю куба и плоскостью грани

Простейшая задача на поиск угла между диагональю куба и плоскостью граниВариант 1

В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром $2$ найдите угол между диагональю $B_1D$ и плоскостью $AA_1B_1B$ .

Ваш ответ

Наберите ответ

Полный тренажер

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

В Экзамео откроются дополнительные задания по теме, проверка прогресса и решения после попытки.

Больше задачПрогресс по темеБольше вариантов