Сумма и разность многочленов - раскрытие скобок и тренажеры

На странице собраны подробные учебные материалы по алгебре «Сумма и разность многочленов» для 7 класса. Методисты и эксперты платформы Экзамео разработали этот практический справочник с правилами, алгоритмами и разобранными примерами, чтобы помочь семиклассникам освоить составление сумм и разностей многочленов, научиться безошибочно раскрывать скобки со знаками плюс и минус, приводить подобные слагаемые и успешно подготовиться к самостоятельным и контрольным работам.

В 7 классе навыки сложения и вычитания многочленов — это ключевая часть курса алгебры: они позволяют упрощать сложные буквенные выражения, решать линейные уравнения со скобками и подготавливают к изучению умножения многочлена на многочлен.

Сумма и разность многочленов — 7 класс

Чтобы найти сумму или разность двух или нескольких многочленов, их записывают в скобках, соединяют знаком плюс или минус, после чего раскрывают скобки и приводят подобные слагаемые.

• Сложение многочленов: при составлении суммы многочлены заключаются в скобки со знаком «+» между ними. При раскрытии скобок знаки всех слагаемых сохраняются;
• Вычитание многочленов: при составлении разности вычитаемый многочлен заключается в скобки со знаком «−» перед ними. При раскрытии этих скобок знаки всех слагаемых внутри них меняются на противоположные;
• Итоговый результат: в результате сложения или вычитания многочленов всегда снова получается многочлен.

Главные правила знаков:

Сумма $(3x + 2) + (5x - 4) = 3x + 2 + 5x - 4 =$ $8x - 2$ .

Правила суммы и разности многочленов при раскрытии скобок

Практически все операции сложения и вычитания над многочленами в 7 классе сводятся к правильному раскрытию скобок:

1. Плюс перед скобками ➕

Если перед скобками стоит знак плюс, то скобки просто опускаются, а все знаки слагаемых внутри скобок остаются без изменений.

Пример: $a + (b - c + d) = a + b - c + d$

• $(2a^2 - 3b) + (5a^2 + b) = 2a^2 - 3b + 5a^2 + b = 7a^2 - 2b$

2. Минус перед скобками ➖

Если перед скобками стоит знак минус, то скобки опускаются, а знаки каждого слагаемого внутри скобок меняются на противоположные.

Пример: $a - (b - c + d) = a - b + c - d$

• $(2a^2 - 3b) - (5a^2 + b) = 2a^2 - 3b - 5a^2 - b = -3a^2 - 4b$

Сравнение суммы и разности многочленов на примерах

Посмотрите, как меняется итоговое выражение при сложении и вычитании одних и тех же многочленов $A = 4x^2 - 3x + 5$ и $B = 2x^2 + 5x - 1$ :

Действие

Раскрытие скобок

Итоговый многочлен

Сумма $A + B$

$(4x^2 - 3x + 5) + (2x^2 + 5x - 1) = 4x^2 - 3x + 5 + 2x^2 + 5x - 1$

$\mathbf{6x^2 + 2x + 4}$

Разность $A - B$

$(4x^2 - 3x + 5) - (2x^2 + 5x - 1) = 4x^2 - 3x + 5 - 2x^2 - 5x + 1$

$\mathbf{2x^2 - 8x + 6}$

Обратная разность $B - A$

$(2x^2 + 5x - 1) - (4x^2 - 3x + 5) = 2x^2 + 5x - 1 - 4x^2 + 3x - 5$

$\mathbf{-2x^2 + 8x - 6}$

Пошаговый алгоритм решения выражений с многочленами

Чтобы безошибочно найти сумму или разность многочленов, придерживайтесь этого алгоритма:

Порядок действий:

Составьте математическое выражение: запишите каждый многочлен в скобках, поставив между ними знак «+» (для суммы) или «−» (для разности).

Раскройте скобки:

• Если перед скобками стоит «+» — снимите скобки, сохраняя все знаки.

• Если перед скобками стоит «−» — измените знаки каждого слагаемого внутри скобок на противоположные.

Найдите и подчеркните подобные слагаемые: сгруппируйте одночлены с одинаковой буквенной частью.

Приведите подобные слагаемые и запишите ответ: сложите коэффициенты в каждой группе и запишите итоговый многочлен в стандартном виде.

Разбор практических примеров с суммой/разностью многочленов для 7 класса

Рассмотрите подробные образцы решения заданий по теме «Сумма и разность многочленов» из школьной программы 7 класса.

Пример 1: Нахождение суммы и разности двух многочленов

Задание: Даны многочлены $P = 5x^2 - 2xy + y^2$ и $Q = 3x^2 + 2xy - 4y^2$ . Найдите: а) $P + Q$ ; б) $P - Q$ .

Подробное решение:

а) Находим сумму $P + Q$ :

1) Записываем выражение: $(5x^2 - 2xy + y^2) + (3x^2 + 2xy - 4y^2)$

2) Раскрываем скобки: $5x^2 - 2xy + y^2 + 3x^2 + 2xy - 4y^2$

3) Приводим подобные: $(5x^2 + 3x^2) + (-2xy + 2xy) + (y^2 - 4y^2)$

4) Результат: $8x^2 + 0 - 3y^2 = 8x^2 - 3y^2$

б) Находим разность $P - Q$ :

1) Записываем выражение: $(5x^2 - 2xy + y^2) - (3x^2 + 2xy - 4y^2)$

2) Раскрываем скобки с изменением знаков: $5x^2 - 2xy + y^2 - 3x^2 - 2xy + 4y^2$

3) Приводим подобные: $(5x^2 - 3x^2) + (-2xy - 2xy) + (y^2 + 4y^2)$

4) Результат: $2x^2 - 4xy + 5y^2$

Ответ: а) $8x^2 - 3y^2$ ; б) $2x^2 - 4xy + 5y^2$ .

Пример 2: Решение уравнения с вычитанием многочленов

Задание: Решите уравнение: $(7x^2 - 4x + 3) - (7x^2 - 9x - 2) = 18$ .

Подробное решение:

1) Раскроем скобки (перед второй скобкой стоит минус):

$7x^2 - 4x + 3 - 7x^2 + 9x + 2 = 18$

2) Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(7x^2 - 7x^2) + (-4x + 9x) + (3 + 2) = 18$

$0 + 5x + 5 = 18$

$5x + 5 = 18$

3) Перенесем число $5$ в правую часть:

$5x = 18 - 5$

$5x = 13$

4) Найдем $x$ :

$x = 13 : 5$

$x = 2,6$

Ответ: $2,6$ .

Тренажёры по теме «Сумма и разность многочленов» на Экзамео

На образовательной платформе Экзамео подготовлены интерактивные онлайн-тренажёры по теме «Сумма и разность многочленов» для 7 класса с подробными решениями и автоматической проверкой ответов. Задания на составление алгебраических сумм и разностей, раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых и решение уравнений с многочленами составлены в точном соответствии с федеральной рабочей программой по алгебре за 7 класс и требованиями ФГОС!

Переходите к интерактивным тренажёрам по теме «Сумма и разность многочленов 7 класс» на Экзамео. Тренируйтесь в удобном для вас ритме, повышайте уровень знаний и достигайте отличных результатов по алгебре вместе с нами!