Площадь многоугольника: все формулы и свойства

В этом разделе подробно рассматривается площадь многоугольника, её фундаментальные свойства и методы вычисления для различных видов плоских фигур. Материал содержит базовые аксиомы площадей, связь между такими понятиями, как периметр и площадь многоугольника, а также ключевые теоремы, изучаемые в 8 классе. Особое внимание уделено универсальным соотношениям, с помощью которых вычисляется площадь описанного многоугольника через радиус вписанной окружности и площадь вписанного многоугольника через радиус описанной окружности.

Приведены примеры решения практических задач, характерных для контрольных работ за 8 класс, самостоятельных заданий и материалов ОГЭ по математике. Разобрано применение универсальных формул для правильных и произвольных многоугольников, описанных около окружности или вписанных в окружность.

Теоретический справочник: площадь многоугольника

Ниже подробно разбираем все свойства, теоремы и основные формулы, позволяющие найти площадь любого плоского многоугольника в школьном курсе геометрии. Основы закладываются в 8 классе, но использовать эти формулы вы будете вплоть до выпуска из школы, поэтому очень советуем разобраться в них подробно и затем отработать все свойства и теоремы в тренажерах.

Основные свойства площади многоугольника

Площадь многоугольника — это величина той части плоскости, которую занимает данный многоугольник. Для площадей любых многоугольников справедливо выполнение трёх ключевых свойств (аксиом):

Аксиомы площади:

1. Положительность: Площадь каждого многоугольника выражается положительным числом ( $S > 0$ ).
2. Равновеликость равных фигур: Равные многоугольники имеют равные площади

F_1=F_2\implies S_1=S_2

3. Аддитивность: Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников без общих внутренних точек, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников:

S = S_1 + S_2 + \dots + S_n

За единицу измерения площади принимают площадь квадрата со стороной, равной единице измерения отрезков (например, $1\text{ см}^2$ , $1\text{ м}^2$ ).

Площадь описанного многоугольника (около окружности)

Многоугольник называется описанным около окружности (а окружность — вписанной), если все его стороны касаются этой окружности. Важнейшая теорема 8 класса связывает периметр и площадь многоугольника, описанного вокруг окружности радиуса $r$ .

Формула площади описанного многоугольника

Площадь описанного многоугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности:

S = p \cdot r = \dfrac{P}{2} \cdot r

где $P$ — периметр многоугольника, $p = \dfrac{P}{2}$ — его полупериметр, а $r$ — радиус вписанной окружности.

Вывод формулы S=pr

Соединим центр вписанной окружности $O$ со всеми вершинами $n$ -угольника $A_1A_2\dots A_n$ . Многоугольник разобьётся на $n$ треугольников $\triangle OA_1A_2, \triangle OA_2A_3, \dots, \triangle OA_nA_1$ .
• В каждом таком треугольнике высотой, опущенной на сторону многоугольника $a_i$ , является радиус окружности $r$ (так как радиус перпендикулярен касательной).

Описанный четырехугольник вывод формулы площади

• Сумма площадей всех треугольников:

S = \dfrac{1}{2} a_1 r + \dfrac{1}{2} a_2 r + \dots + \dfrac{1}{2} a_n r = \dfrac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{2} \cdot r = p \cdot r

Так как эта формула выводится для общего вида многоугольника она работает для всех фигур, в которые можно вписать в окружность и очень часто используется во второй части ОГЭ и ЕГЭ по математике, особенно в тех случаях, когда вас просят найти радиус вписанной окружности, поскольку этот радиус фигурирует в очень ограниченном числе формул.

Площадь вписанного многоугольника (в окружность)

Многоугольник называется вписанным в окружность (а окружность — описанной), если все его вершины лежат на этой окружности.

Расчёт площади вписанного многоугольника зависит от его вида, давайте разберем формулы для всех многоугольников:

Площадь вписанного треугольника:

Вычисляется по формуле через радиус описанной окружности $R$ и три его стороны $a, b, c$ :

S = \dfrac{a \cdot b \cdot c}{4R}

Подробно разбираем тему Вписанная и описанная окружности треугольника

Площадь вписанного четырёхугольника (Формула Брахмагупты):

Если четырёхугольник со сторонами $a, b, c, d$ вписан в окружность, его площадь находится через полупериметр $p = \dfrac{a + b + c + d}{2}$ :

S = \sqrt{(p - a)(p - b)(p - c)(p - d)}

Подробно рассматриваем Вписанная и описанная окружности четырёхугольников

Площадь правильного вписанного $n$ -угольника:

Если соединить центр описанной окружности $O$ со всеми $n$ вершинами, фигура разбивается на $n$ равных равнобедренных треугольников с боковыми сторонами $R$ и углом при вершине $\alpha = \dfrac{360^\circ}{n}$ . Сумма их площадей дает общую формулу:

S = \dfrac{1}{2} n \cdot R^2 \cdot \sin\left(\dfrac{360^\circ}{n}\right)

Запомни для решения задач!

• Описанный многоугольник: площадь находится через радиус вписанной окружности $r$ и периметр: $S = p \cdot r$ .
• Вписанный многоугольник: площадь находится разбиением на треугольники с вершиной в центре описанной окружности $R$ .

Разбор типовых задач из проверочных работ за 8 класс

Рассмотрите решения характерных задач на площадь многоугольников из школьной программы и экзаменационных вариантов ОГЭ.

Пример 1: Нахождение площади описанного многоугольника

Задание: Периметр многоугольника, описанного около окружности, равен $36\text{ см}$ , а радиус вписанной окружности равен $4\text{ см}$ . Найдите площадь описанного многоугольника.

Подробное решение:

1) Вычислим полупериметр $p$ многоугольника по его периметру $P = 36\text{ см}$ :

p = \dfrac{P}{2} = \dfrac{36}{2} = 18\text{ см}

2) Воспользуемся формулой площади описанного многоугольника $S = p \cdot r$ :

S = 18 \cdot 4 = 72\text{ см}^2

Ответ: $72\text{ см}^2$ .

Пример 2: Нахождение площади правильного шестиугольника, вписанного в окружность

Задание: Найдите площадь вписанного многоугольника, если он является правильным шестиугольником, а радиус описанной окружности равен $6\text{ см}$ .

Подробное решение:

1) Для правильного вписанного $n$ -угольника при $n = 6$ угол центрального треугольника равен:

\alpha = \dfrac{360^\circ}{6} = 60^\circ

2) Применим формулу площади правильного вписанного шестиугольника:

S = \dfrac{1}{2} n \cdot R^2 \cdot \sin 60^\circ = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6^2 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}

3) Вычислим значение:

S = 3 \cdot 36 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 54\sqrt{3}\text{ см}^2

Ответ: $54\sqrt{3}\text{ см}^2$ .

Тренажёры по теме «Площадь многоугольника» на Экзамео

Отработать тему площадь многоугольника можно после теории в интерактивных тренажёрах на платформе «Экзамео». Задания для 8 класса охватывают применение основных аксиом площадей, расчет площадей описанных и вписанных многоугольников, взаимосвязь периметра и радиусов окружностей и решение геометрии из материалов ОГЭ.

Все упражнения разработаны в соответствии с требованиями ФГОС и опираются на типовые школьные программы. Система автоматически проверяет ответы и предоставляет подробные решения, что помогает своевременно разобрать ошибки. Тренируйтесь в удобном темпе и уверенно справляйтесь с проверочными работами.

Задача 1

Площадь правильного многоугольника и описанных фигур

Темы1

Курсы1

Задание на вычисление площади правильных многоугольников (треугольник, правильный шестиугольник, квадрат, правильный восьмиугольник) и описанных многоугольников.Вариант 1

Около окружности радиуса $5$ описан семиугольник, периметр которого равен $52$ . Найдите его площадь.

Ваш ответ

Задача 2

Площадь многоугольника на клетчатой бумаге

Темы2

Курсы1

Задание на нахождение площади многоугольника на клетчатой сетке 1x1. В решении приводятся два подробных метода с индивидуальными графическими чертежами.Вариант 1

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён многоугольник. Найдите его площадь.

Ваш ответ

Полный тренажер

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

В Экзамео откроются дополнительные задания по теме, проверка прогресса и решения после попытки.

Все тренажёрыПрогресс по темеПерсональный план