Вписанная и описанная окружности треугольника

В этом разделе подробно рассматривается тема «Вписанная и описанная окружности треугольника» по геометрии за 7 класс. Эта фундаментальная тема завершает школьную программу 7 класса в части треугольников и объединяет знания о свойствах биссектрис, серединных перпендикуляров, касательных и углов треугольника.

Здесь собрана вся необходимая теория по вписанной и описанной окружности треугольника за 7 класс: теоремы о существовании окружностей, где находится центр этих окружностей, особенности касания и пересечения вершин, а также ключевые понятия для частных видов фигур (вписанная и описанная окружности прямоугольного треугольника, равнобедренного и равностороннего).

Теорема о существовании окружности

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, всегда можно провести окружность

Это означает, что для любого треугольника существует вписанная и описанная окружность

Вписанная окружность треугольника

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех трёх его сторон. В этом случае треугольник называется описанным около окружности.

Теорема о вписанной окружности 🎯

В любой треугольник можно вписать окружность.

• Центр вписанной окружности (инцентр): находится в точке пересечения биссектрис всех трёх внутренних углов треугольника.

Треугольник со вписанной окружностью и биссектрисами

• Радиус вписанной окружности ( $r$ ): равен длине перпендикуляра, опущенного из центра окружности на любую из сторон треугольника.

Так как биссектрисы любого треугольника пересекаются внутри него, центр вписанной окружности всегда лежит строго внутри треугольника.

Описанная окружность треугольника

Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все три его вершины. В этом случае треугольник называется вписанным в окружность.

Теорема об описанной окружности:

Около любого треугольника можно описать окружность.

• Центр описанной окружности: находится в точке пересечения серединных перпендикуляров, проведённых к его сторонам.

Описанная окружность треугольника с перпендикулярами

• Радиус описанной окружности ( $R$ ): равен расстоянию от центра окружности до любой из трёх вершин треугольника.

В отличие от вписанной, расположение центра описанной окружности зависит от вида треугольника:

• В остроугольном треугольнике центр лежит внутри фигуры;

• В тупоугольном треугольнике центр лежит снаружи фигуры;

• В прямоугольном треугольнике центр лежит на середине гипотенузы.

Частные случаи: прямоугольный, равнобедренный и правильный треугольники

Для отдельных классов треугольников связывающие радиус вписанной и описанной окружности треугольника соотношения значительно упрощаются:

Вид треугольника

Положение центров

Радиус вписанной ( $r$ )

Радиус описанной ( $R$ )

Прямоугольный
(катеты $a, b$ , гипотенуза $c$ )

Центр $R$ — середина гипотенузы; центр $r$ — внутри.

r = \dfrac{a + b - c}{2}

R = \dfrac{c}{2}

(медиана к гипотенузе)

Равнобедренный
(боковые $a$ , осн. $b$ )

Оба центра лежат на высоте, проведённой к основанию.

r = \dfrac{S}{p}

R = \dfrac{a^2}{2h_b}

Равносторонний (правильный)
(сторона $a$ , высота $h$ )

Центры совпадут в одной точке (пересечение медиан).

r = \dfrac{a\sqrt{3}}{6} = \dfrac{h}{3}

R = \dfrac{a\sqrt{3}}{3} = \dfrac{2h}{3}

( $R = 2r$ )

Запомните для решения задач! 💡

1. Вписанная окружность: всегда связывается с биссектрисами и касанием сторон.

2. Описанная окружность: всегда связывается с серединными перпендикулярами и прохождением через вершины.

3. В правильном треугольнике радиус описанной окружности ровно в 2 раза больше радиуса вписанной окружности ( $R = 2r$ ).

Пошаговый алгоритм решения задач

При решении задач на вписанную и описанную окружности треугольника придерживайтесь алгоритма:

Порядок действий:

Определите тип фигуры: установите, является ли треугольник произвольным, прямоугольным, равнобедренным или равносторонним.

Установите центр окружности: вспомните, какими элементами задаётся центр (биссектрисы для $r$ , серединные перпендикуляры или середина гипотенузы для $R$ ).

Примените подходящую формулу: подставьте известные стороны или высоту в формулу радиуса и вычислите ответ.

Разбор типовых задач из проверочных работ за 7 класс

Рассмотрите решения характерных задач из школьной программы и ОГЭ.

Пример 1: Радиусы вписанной и описанной окружностей прямоугольного треугольника

Задание: В прямоугольном треугольнике катеты равны $6\text{ см}$ и $8\text{ см}$ , а гипотенуза равна $10\text{ см}$ . Найдите радиус вписанной и радиус описанной окружностей.

Подробное решение:

1) Найдем радиус описанной окружности $R$ , помня, что в прямоугольном треугольнике её центр лежит на середине гипотенузы:

R = \dfrac{c}{2} = \dfrac{10}{2} = 5\text{ см}

2) Найдем радиус вписанной окружности $r$ по формуле для прямоугольного треугольника:

r = \dfrac{a + b - c}{2} = \dfrac{6 + 8 - 10}{2} = \dfrac{4}{2} = 2\text{ см}

Ответ: $R = 5\text{ см}$ , $r = 2\text{ см}$ .

Пример 2: Описанная и вписанная окружности правильного треугольника

Задание: Высота равностороннего треугольника равна $12\text{ см}$ . Найдите радиус вписанной и радиус описанной окружностей данного треугольника.

Подробное решение:

1) В равностороннем треугольнике центр вписанной и описанной окружностей совпадает с точкой пересечения медиан (высот), которая делит их в отношении $2 : 1$ , считая от вершины.

2) Найдем радиус вписанной окружности:

r = \dfrac{h}{3} = \dfrac{12}{3} = 4\text{ см}

3) Найдем радиус описанной окружности:

R = \dfrac{2h}{3} = \dfrac{2 \cdot 12}{3} = 8\text{ см}

Ответ: $r = 4\text{ см}$ , $R = 8\text{ см}$ .

Тренажёры по теме «Вписанная и описанная окружности» на Экзамео

Отработать тему вписанная и описанная окружность треугольника 7 класс можно с помощью онлайн-тренажёров на образовательной платформе «Экзамео». Наша база содержит десятки практических заданий на нахождение центров, вычисление радиусов $r$ и $R$ для прямоугольных, равнобедренных и правильных треугольников, составленных строго по требованиям ФГОС и ФОП (по учебникам Атанасяна, Погорелова, Мерзляка).

Интерактивная система автоматически проверяет ответы в реальном времени и показывает подробные пошаговые решения с чертежами к каждому заданию. Занимайтесь на Экзамео в комфортном темпе, осваивайте свойства окружностей и треугольников и получайте только отличные оценки за контрольные работы!

Задача 1

Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника

Темы3

Курсы4

Тренажеры на вписанную окружность в равностороннем треугольнике, позволяют отработать теорию и формулы, данные в справочном материале к ОГЭ по математикеВариант 1

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен $15$ . Найдите высоту этого треугольника.

Равносторонний треугольник и вписанная окружность

Ответ запишите в виде целого числа или десятичной дроби.

Ваш ответ

Наберите ответ

Полный тренажер

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

В Экзамео откроются дополнительные задания по теме, проверка прогресса и решения после попытки.

Все тренажёрыПрогресс по темеПерсональный план