Вписанная и описанная окружности четырёхугольника - разбор

В этом разделе рассматриваются свойства вписанной и описанной окружностей в четырёхугольнике. Материал содержит условия существования обеих окружностей, ключевые теоремы и расчётные формулы. Разобраны признаки, позволяющие определить, можно ли вписать окружность в данный четырёхугольник или описать её около него.

Приведены примеры решения практических задач, в том числе из экзаменов ОГЭ и ЕГЭ по математике. Отдельное внимание уделено сравнению с треугольниками: в отличие от них, для четырёхугольников выполнение соответствующих условий не является автоматическим и требует проверки.

Отработать свойства вписанной и описанной окружности в четырехугольник можно после теории в тренажерах с подробными решениями.

Теоретический справочник: вписанная и описанная окружности

Ниже подробно разбираем все теоремы, свойства и формулы для вписанных и описанных окружностей четырёхугольников, которые разбираются в 8 классе на занятиях по геометрии.

Окружность, вписанная в четырёхугольник

Теорема о вписанной окружности 🎯

Окружность называется вписанной в четырёхугольник, если она касается всех четырёх его сторон.

Главное свойство и теорема: В выпуклый четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противолежащих сторон равны:

AB + CD = BC + AD

Полезные формулы и свойства:

1. Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис всех четырёх внутренних углов четырёхугольника.

Вписанная в четырехугольник окружность с биссектрисами

2. Площадь четырёхугольника с вписанной окружностью вычисляется по формуле через полупериметр $p$ :

S = p \cdot r

где $p = \dfrac{AB + BC + CD + AD}{2}$ — полупериметр, а $r$ — радиус вписанной окружности.

Окружность, описанная около четырёхугольника

Если окружность проходит через все четыре вершины многоугольника, она называется описанной.

Теорема об описанной окружности 🎯

Около выпуклого четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна $180^\circ$ :

\angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180^\circ

Описанная около четырехугольника окружность

• Центр описанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров ко всем сторонам четырёхугольника.

Теорема о вписанном четырехугольнике очень легко выводится - советуем запомнить вывод, чтобы не путаться в теоремах, потому что задачи на них встречаются достаточно редко и нужно в голове держать когда можно вписать, когда можно описать окружность, что конечно будет забываться, а вот вывод запомнится надолго и позволит вспомнить свойства вписанных углов, которые тоже проходятся в 8 классе.

Вывод теоремы о вписанном четырехугольнике

Прежде всего стоит вспомнить, что все углы вписанного четырехугольника являются вписанными, значит дуги, на которые они опираются в два раза больше этих углов, тогда возьмем. Подробно - здесь: Центральные и вписанные углы

\angle D=\alpha,\angle B=\beta

Тогда желто-красная дуга на рисунке будет равна $2\alpha$ , а зеленая $2\beta$

Вывод свойства вписанного четырехугольника

Как известно, дуга окружности составляет 360 градусов, значит можно составить следующее уравнение:

360\degree=2\alpha+2\beta

Можно поделить все на два и получим требуемое:

180\degree=\alpha+\beta=\angle B+\angle D

Теорема доказана и теперь вы

Таблица для основных видов четырёхугольников и окружностей

Четырёхугольник

Можно ли вписать окружность?

Можно ли описать окружность?

Квадрат

Да (всегда)

Прямоугольник

Только если он является квадратом ( $a = b$ )

Да (всегда)

Ромб

Да (всегда)

Только если он является квадратом

Параллелограмм

Только если он является ромбом

Только если он является прямоугольником

Равнобедренная трапеция

Если сумма оснований равна сумме боковых сторон ( $a + b = 2c$ )

Да (всегда)

Лайфхак для ОГЭ и контрольных! 💡

Если в задачу входит равнобедренная трапеция, описанная около окружности, помните: высота трапеции равна диаметру вписанной окружности ( $h = 2r$ ), а боковая сторона равна средней линии ( $c = m = \dfrac{a+b}{2}$ ).

Пошаговый алгоритм решения задач

При решении геометрических задач на вписанные и описанные окружности в 8 классе придерживайтесь алгоритма:

Порядок действий:

Проверьте признак существования окружности: для вписанной проверьте равенство сумм противоположных сторон, для описанной — сумму противолежащих углов ( $180^\circ$ ).

Используйте свойства отрезков касательных: если окружность вписана, отрезки касательных, проведённых из одной вершины к окружности, равны между собой.

Составьте уравнение и найдите искомую величину: примените формулу площади $S = p \cdot r$ или теорему Пифагора для радиуса и запишите ответ.

Разбор типовых задач из контрольных работ за 8 класс

Рассмотрите решения задач, характерных для проверочных работ по геометрии в 8 классе.

Пример 1: Нахождение стороны описанного четырёхугольника

Задание: Около окружности описан четырёхугольник $ABCD$ , у которого стороны $AB = 6\text{ см}$ , $BC = 8\text{ см}$ и $CD = 11\text{ см}$ . Найдите четвёртую сторону $AD$ .

Подробное решение:

1) По свойству четырёхугольника, в который вписана окружность, суммы противоположных сторон равны:
$AB + CD = BC + AD$ .

2) Подставим известные значения сторон:
$6 + 11 = 8 + AD$ .

3) Вычислим длину стороны $AD$ :
$17 = 8 + AD \implies AD = 17 - 8 = 9\text{ см}$ .

Ответ: $9\text{ см}$ .

Пример 2: Нахождение радиуса вписанной окружности в ромб

Задание: Сторона ромба равна $10\text{ см}$ , а один из его углов равен $30^\circ$ . Найдите радиус вписанной в ромб окружности.

Подробное решение:

1) Высота ромба $h$ в точности равна диаметру вписанной в него окружности ( $h = 2r$ ).

2) Вычислим площадь ромба через сторону и синус угла:
$S = a^2 \cdot \sin \alpha = 10^2 \cdot \sin 30^\circ = 100 \cdot 0{,}5 = 50\text{ см}^2$ .

3) С другой стороны, площадь ромба выражается через сторону и высоту:
$S = a \cdot h \implies 50 = 10 \cdot h \implies h = 5\text{ см}$ .

4) Найдем радиус вписанной окружности ( $r = \dfrac{h}{2}$ ):
$r = \dfrac{5}{2} = 2{,}5\text{ см}$ .

Ответ: радиус равен $2{,}5\text{ см}$ .

Тренажёры по теме «Вписанная и описанная окружности» на Экзамео

Отработайте все свойства, формулы и признаки вписанных и описанных окружностей четырёхугольников с помощью интерактивных тренажёров на платформе «Экзамео». Задания для 8 класса охватывают применение условий существования окружностей, вычисление элементов четырёхугольников и решение комбинированных геометрических задач.

Все упражнения разработаны в соответствии с требованиями ФГОС и опираются на типовые школьные программы. Система автоматически проверяет ответы и предоставляет пошаговые решения, что помогает своевременно разобрать ошибки. Тренируйтесь в удобном темпе и уверенно справляйтесь с проверочными работами.

Практика

Задачи сейчас заполняются

Уже готовим задания по теме: добавляем варианты, проверку ответов и понятные разборы после попытки.

Подбираем заданияПроверяем ответыГотовим разборы