Преобразование выражений с корнями. Алгебра 8 класс

В 8 классе алгебры одной из важнейших тем является преобразование выражений, содержащих квадратные корни. Этот навык активно проверяется на ОГЭ по математике и необходим для успешного освоения дальнейших разделов. Преобразования позволяют упрощать сложные выражения, избавляться от иррациональности в знаменателе и приводить ответы к стандартному виду.

Преобразование выражений с корнями — это умение применять свойства квадратных корней в различных комбинациях. В типовых заданиях требуется упростить выражение: выполнить все возможные действия, вынести множитель из-под знака корня, привести подобные слагаемые, сократить дробь или избавиться от корня в знаменателе.

Что значит преобразовать выражение с корнями

Прежде чем приступить к выполнению преобразований, важно понимать, что выражение с квадратным корнем — это любое выражение, в котором присутствует знак радикала $\sqrt{}$ . Цель преобразования — привести выражение к более простому или стандартному виду, используя свойства арифметического квадратного корня.

Основная цель преобразований

При работе с выражениями, содержащими квадратные корни, мы стремимся к тому, чтобы:

1. Подкоренное выражение не содержало квадратов чисел (кроме 1)
Например: $\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ — мы вынесли множитель 5 из-под корня

2. В знаменателе дроби не было корней
Например: $\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ — мы избавились от иррациональности

3. Все подобные слагаемые были приведены
Например: $3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$

4. Подкоренные выражения были максимально упрощены
Например: $\sqrt{8} + \sqrt{18} = 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$

Основные виды преобразований с корнями

Существует несколько типовых преобразований, которые необходимо освоить в 8 классе. Каждый из них основан на свойствах квадратного корня и требует внимательности при выполнении.

Вынесение множителя из-под знака корня

Это одно из самых частых преобразований. Суть его заключается в том, чтобы представить подкоренное выражение в виде произведения, где один из множителей является полным квадратом. Затем этот множитель выносится за знак корня.

Алгоритм вынесения множителя

Шаг 1. Разложи подкоренное выражение на множители так, чтобы один из них был полным квадратом.

Шаг 2. Примени свойство $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ .

Шаг 3. Извлеки корень из полного квадрата и запиши его перед знаком корня.

Пример 1 (с числовым выражением):

Упростим $\sqrt{48}$ .

Разложим 48 на множители: $48 = 16 \cdot 3$ . Число 16 — это $4^2$ , полный квадрат.

$\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$

Пример 2 (с буквенным выражением):

Упростим $\sqrt{50x^2}$ , где $x \geq 0$ .

$50x^2 = 25 \cdot 2 \cdot x^2 = 25x^2 \cdot 2$

$\sqrt{50x^2} = \sqrt{25x^2 \cdot 2} = \sqrt{25x^2} \cdot \sqrt{2} = 5x\sqrt{2}$

Пример 3 (более сложный):

Упростим $\sqrt{72a^3}$ , где $a \geq 0$ .

$72a^3 = 36 \cdot 2 \cdot a^2 \cdot a = 36a^2 \cdot 2a$

$\sqrt{72a^3} = \sqrt{36a^2 \cdot 2a} = \sqrt{36a^2} \cdot \sqrt{2a} = 6a\sqrt{2a}$

Внесение множителя под знак корня

Это преобразование является обратным вынесению множителя. Оно часто используется при сравнении корней, упрощении дробей или при выполнении других преобразований. Чтобы внести множитель под знак корня, его необходимо возвести в квадрат и умножить на подкоренное выражение.

Алгоритм внесения множителя

Правило: Чтобы внести положительный множитель $a$ под знак корня, нужно записать его как $\sqrt{a^2}$ и перемножить с подкоренным выражением.

$a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 \cdot b}$

Пример 1 (числовой):

Внесём множитель под знак корня в выражении $3\sqrt{5}$ .

$3\sqrt{5} = \sqrt{3^2 \cdot 5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}$

Пример 2 (буквенный):

Внесём множитель под знак корня: $x\sqrt{2}$ , где $x \geq 0$ .

$x\sqrt{2} = \sqrt{x^2 \cdot 2} = \sqrt{2x^2}$

Пример 3 (сравнение корней):

Сравним $3\sqrt{7}$ и $2\sqrt{15}$ .

Внесём множители под знак корня:

$3\sqrt{7} = \sqrt{9 \cdot 7} = \sqrt{63}$

$2\sqrt{15} = \sqrt{4 \cdot 15} = \sqrt{60}$

Так как $63 > 60$ , то $3\sqrt{7} > 2\sqrt{15}$ .

Важное замечание:

При внесении множителя под знак корня обязательно учитывайте знак множителя. Если множитель отрицательный, то перед внесением его нужно записать со знаком минус:

$-a\sqrt{b} = -\sqrt{a^2 \cdot b}$

Например: $-3\sqrt{5} = -\sqrt{45}$

Приведение подобных слагаемых

Как и в обычной алгебре, в выражениях с корнями можно складывать и вычитать только подобные слагаемые. Подобными называются слагаемые, у которых одинаковые подкоренные выражения. Коэффициенты при них складываются или вычитаются как обычные числа.

Правило приведения подобных

$a\sqrt{c} + b\sqrt{c} = (a + b)\sqrt{c}$

$a\sqrt{c} - b\sqrt{c} = (a - b)\sqrt{c}$

Важно: Складывать можно только выражения с одинаковыми подкоренными!

Пример 1 (простейший):

$3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = (3 + 5)\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$

Пример 2 (с вычитанием):

$7\sqrt{5} - 2\sqrt{5} = (7 - 2)\sqrt{5} = 5\sqrt{5}$

Пример 3 (с предварительным упрощением):

Упростим $2\sqrt{8} + 3\sqrt{18} - \sqrt{32}$ .

Сначала вынесем множители из-под знака корня:

$2\sqrt{8} = 2 \cdot 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$

$3\sqrt{18} = 3 \cdot 3\sqrt{2} = 9\sqrt{2}$

$\sqrt{32} = 4\sqrt{2}$

Теперь приведём подобные:

$4\sqrt{2} + 9\sqrt{2} - 4\sqrt{2} = (4 + 9 - 4)\sqrt{2} = 9\sqrt{2}$

Умножение и деление выражений с корнями

При умножении и делении выражений, содержащих квадратные корни, используются свойства $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ и $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}$ . Важно помнить, что эти свойства работают только для неотрицательных подкоренных выражений.

Умножение и деление

$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$

$\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}$

Пример 1 (умножение одинаковых корней):

$\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{9} = 3$

Пример 2 (умножение разных корней):

$\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4$

Пример 3 (умножение с коэффициентами):

$2\sqrt{3} \cdot 5\sqrt{2} = (2 \cdot 5) \cdot \sqrt{3 \cdot 2} = 10\sqrt{6}$

Пример 4 (деление):

$\dfrac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\dfrac{72}{2}} = \sqrt{36} = 6$

Пример 5 (деление с коэффициентами):

$\dfrac{6\sqrt{15}}{3\sqrt{5}} = \dfrac{6}{3} \cdot \sqrt{\dfrac{15}{5}} = 2\sqrt{3}$

Освобождение от иррациональности в знаменателе

Освобождение от иррациональности в знаменателе - это преобразование, которое часто требуется при оформлении ответа. Считается, что в знаменателе дроби не должно быть корней. Существует два основных случая.

Случай 1: в знаменателе один корень

Если в знаменателе стоит выражение вида $\sqrt{a}$ , то достаточно умножить числитель и знаменатель на этот же корень $\sqrt{a}$ .

Освобождение от иррациональности

$\dfrac{b}{\sqrt{a}} = \dfrac{b \cdot \sqrt{a}}{\sqrt{a} \cdot \sqrt{a}} = \dfrac{b\sqrt{a}}{a}$

Пример 1:

$\dfrac{3}{\sqrt{2}} = \dfrac{3 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \dfrac{3\sqrt{2}}{2}$

Пример 2:

$\dfrac{5}{\sqrt{5}} = \dfrac{5 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \dfrac{5\sqrt{5}}{5} = \sqrt{5}$

Пример 3 (с коэффициентом в знаменателе):

$\dfrac{2}{3\sqrt{2}} = \dfrac{2 \cdot \sqrt{2}}{3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \dfrac{2\sqrt{2}}{3 \cdot 2} = \dfrac{\sqrt{2}}{3}$

Случай 2: в знаменателе выражение вида $a + \sqrt{b}$ или $\sqrt{a} + \sqrt{b}$

В этом случае используется сопряжённое выражение. Сопряжённым для $a + \sqrt{b}$ является $a - \sqrt{b}$ , а для $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ — $\sqrt{a} - \sqrt{b}$ . При умножении двух сопряжённых выражений получается разность квадратов, что позволяет избавиться от корней.

Освобождение от иррациональности (двучлен)

$(a + \sqrt{b})(a - \sqrt{b}) = a^2 - b$

$(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b}) = a - b$

Пример 1 (с числом и корнем):

$\dfrac{2}{1 + \sqrt{3}}$

Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое $1 - \sqrt{3}$ :

$\dfrac{2}{1 + \sqrt{3}} \cdot \dfrac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}} = \dfrac{2(1 - \sqrt{3})}{1^2 - (\sqrt{3})^2} = \dfrac{2 - 2\sqrt{3}}{1 - 3} = \dfrac{2 - 2\sqrt{3}}{-2} = \sqrt{3} - 1$

Пример 2 (с суммой корней):

$\dfrac{4}{\sqrt{5} + \sqrt{2}}$

Умножим на сопряжённое $\sqrt{5} - \sqrt{2}$ :

$\dfrac{4(\sqrt{5} - \sqrt{2})}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2} = \dfrac{4(\sqrt{5} - \sqrt{2})}{5 - 2} = \dfrac{4(\sqrt{5} - \sqrt{2})}{3}$

Комбинированные преобразования выражений с корнями

В реальных заданиях часто приходится применять несколько преобразований одновременно. Рассмотрим сложные примеры, которые требуют использования целого комплекса приёмов.

Пример 1 (упрощение суммы с вынесением множителя)

Упростим выражение: $\sqrt{12} + \sqrt{27} - \sqrt{48}$

Решение:

Вынесем множители из-под знака корня:

$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$

$\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$

$\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$

Теперь приведём подобные:

$2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 4\sqrt{3} = (2 + 3 - 4)\sqrt{3} = \sqrt{3}$

Ответ: $\sqrt{3}$

Пример 2 (умножение с упрощением)

Упростим выражение: $(2\sqrt{3} - 1)(\sqrt{12} + 3)$

Решение:

Сначала упростим $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ .

Подставим:

$(2\sqrt{3} - 1)(2\sqrt{3} + 3)$

Раскроем скобки:

$= 2\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} \cdot 3 - 1 \cdot 2\sqrt{3} - 1 \cdot 3$

$= 4 \cdot 3 + 6\sqrt{3} - 2\sqrt{3} - 3$

$= 12 + 4\sqrt{3} - 3 = 9 + 4\sqrt{3}$

Ответ: $9 + 4\sqrt{3}$

Пример 3 (деление и освобождение от иррациональности)

Упростим выражение: $\dfrac{\sqrt{18} + \sqrt{8}}{\sqrt{2}}$

Решение 1 (свойство деления):

$\dfrac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}} + \dfrac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\dfrac{18}{2}} + \sqrt{\dfrac{8}{2}} = \sqrt{9} + \sqrt{4} = 3 + 2 = 5$

Решение 2 (с вынесением множителя):

$\sqrt{18} = 3\sqrt{2}, \quad \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

Чтобы успешно выполнять преобразования выражений с квадратными корнями, рекомендуется придерживаться следующего алгоритма:

Алгоритм действий

Шаг 1. Внимательно посмотри на выражение. Определи, какие преобразования нужно выполнить.

Шаг 2. Вынеси множители из-под знака корня, если это возможно.

Шаг 3. Приведи подобные слагаемые.

Шаг 4. Выполни умножение или деление корней по свойствам.

Шаг 5. Если в знаменателе есть корень — освободись от иррациональности.

Шаг 6. Проверь, можно ли ещё упростить выражение.

💡 Важно помнить: При преобразованиях с корнями все свойства работают только для неотрицательных подкоренных выражений. Если вы работаете с переменными, всегда проверяйте область допустимых значений.

Тренажёры на преобразования выражений с корнями

На платформе Экзамео вы найдёте множество интерактивных тренажёров по теме «Преобразования выражений, содержащих квадратные корни». Все задания составлены на основе типовых задач из учебников алгебры 8 класса и сборников для подготовки к ОГЭ по математике.

Каждое задание в тренажёре сопровождается подробным решением и объяснением, что позволяет не просто получить ответ, но и понять алгоритм выполнения. Это особенно важно при подготовке к контрольным работам и к ОГЭ по математике, где задания на преобразование выражений с корнями встречаются в первой части экзамена.

Основные виды преобразований с корнями

Вынесение множителя из-под знака корня

Внесение множителя под знак корня

Приведение подобных слагаемых

Умножение и деление выражений с корнями

Освобождение от иррациональности в знаменателе

Случай 1: в знаменателе один корень

Случай 2: в знаменателе выражение вида a+ba + \sqrt{b}a+b​ или a+b\sqrt{a} + \sqrt{b}a​+b​

Комбинированные преобразования выражений с корнями

Типичные ошибки в преобразованиях с арифметическими корнями

Ошибка 1: Сложение корней с разными подкоренными выражениями

Ошибка 2: Неправильное вынесение множителя

Ошибка 3: Сокращение дроби с корнем в знаменателе

Ошибка 4: Забывают про модуль при a2\sqrt{a^2}a2​

Общий алгоритм преобразования выражений с корнями

Тренажёры на преобразования выражений с корнями

Случай 2: в знаменателе выражение вида $a + \sqrt{b}$ или $\sqrt{a} + \sqrt{b}$

Ошибка 4: Забывают про модуль при $\sqrt{a^2}$