Арифметический квадратный корень - разбор темы и тренажёры. Алгебра 8 класс

На данной странице собрана вся необходимая теория для понимания темы алгебраические (квадратные) корни и все типы задач, которые могут встретиться на занятиях по алгебре в 8 классе и на ОГЭ по математике - от простых вычислений до сложных преобразований выражений с радикалами.

Теория по квадратным корням

Что такое квадратные корни?

Квадратные корни и их свойства изучаются в курсе алгебры 8 класса и являются одной из ключевых тем для сдачи ОГЭ и ЕГЭ по математике. Без уверенного владения этой темой невозможно успешно решить многие задания экзаменов. Дополнительно эта тема будет встречаться в заданиях по геометрии вплоть до 11 класса - именно поэтому важно полностью и подробно разобрать тему квадратные корни

Определение квадратного корня

Квадратным корнем из числа $a$ называется такое число $x$ , которое при возведении в квадрат даёт $a$ .

$x = \sqrt{a} \quad \text{если} \quad x^2 = a$

Важное условие: $a \geq 0$ (подкоренное выражение не может быть отрицательным), а $\sqrt{a} \geq 0$ (арифметический корень всегда неотрицателен).

Основные свойства квадратных корней

Задания на свойства квадратных корней проверяют умение выполнять преобразования выражений, содержащих радикалы. Чтобы научиться уверенно решать такие задачи, важно хорошо знать основные свойства и отработать их на практике, используя тренажёры для каждого типа заданий.

Таблица свойств квадратных корней

Ниже вы найдете основные свойства квадратных корней, которые нужно использовать при решении заданий. Их нужно знать наизусть - они применяются в каждом задании на корни в алгебре 8 класса и будут использоваться вами вплоть до выпуска из школы. Дополнительно вы будете встречать их в заданиях на теорему Пифагора, теорему косинусов и многих других геометрических теоремах.

Свойство

Формула

Корень из произведения

$\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$

Корень из частного

$\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

Возведение корня в квадрат

$(\sqrt{a})^2 = a$

Возведение корня в степень

$(\sqrt{a})^m = \sqrt{a^m} = a^{\frac{m}{2}}$

Корень из квадрата

$\sqrt{a^2} = |a|$

Типичные ошибки при решении заданий с корнями

Задания с корнями часто вызывают трудности у учеников 8 класса, поэтому важно разобрать типичные ошибки при вычислении выражений с квадратными корнями.

Ошибка: Отрицательный ответ при вычислении корня

Неправильно

$\sqrt{9} = \pm 3$

Правильно

$\sqrt{9} = 3$

Ошибка: Некорректное применение свойств к сумме или разности

Неправильно

$\sqrt{16 + 9} = \sqrt{16} + \sqrt{9} = 4 + 3 = 7$

Правильно

$\sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$

Ошибка: Забывают про модуль при извлечении корня из квадрата

Неправильно

$\sqrt{(-5)^2} = -5$

Правильно

$\sqrt{(-5)^2} = | -5 | = 5$

Что нужно знать по теме «Квадратные корни» в 8 классе

Чтобы уверенно решать задания на квадратные корни в 8 классе и на ОГЭ по математике, необходимо:

Теоретическая база

Знать определение квадратного корня
Понимать все свойства корней
Уметь работать с ОДЗ (область допустимых значений)
Знать формулу $\sqrt{a^2} = |a|$

Практика

Решать задания каждого типа на тренажёрах
Работать с вариантами ОГЭ прошлых лет
Анализировать ошибки и прорабатывать слабые места
Уметь преобразовывать выражения с радикалами

Все типы заданий на квадратные корни в ОГЭ

На платформе Экзамео представлены все разновидности заданий, которые могут встретиться в 8 классе по теме «Квадратные корни». Каждый тип можно отрабатывать отдельно или в составе варианта.

1️⃣ Вычисления с корнями

Нахождение значения квадратного корня из числа, сложение и вычитание корней, умножение и деление корней, возведение корня в степень.

Пример: √49 + √36 = 7 + 6 = 13

2️⃣ Преобразования выражений

Вынесение множителя из-под знака корня, внесение множителя под знак корня, упрощение выражений с радикалами, освобождение от иррациональности в знаменателе.

Пример: √72 = √(36·2) = 6√2

3️⃣ Сравнение выражений с корнями

Сравнение значений выражений, содержащих квадратные корни, расположение чисел на числовой прямой, определение знака выражения.

Пример: сравнить √7 и 3 (так как 7 < 9, то √7 < 3)

Преобразования выражений с корнями

Преобразование выражений с корнями — это применение свойств квадратных корней для упрощения выражений. Рассмотрим все основные виды преобразований, которые встречаются в 8 классе и на ОГЭ.

1. Вынесение множителя из-под знака корня

Алгоритм: разложи подкоренное выражение на множители так, чтобы один из них был полным квадратом, затем извлеки из него корень.

Пример 1:

$\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$

Пример 2 (с переменной):

$\sqrt{50x^2} = \sqrt{25x^2 \cdot 2} = 5x\sqrt{2}$ , где $x \geq 0$

2. Внесение множителя под знак корня

Правило: $a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 \cdot b}$ (для $a \geq 0$ )

Пример 1:

$3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}$

Пример 2 (сравнение корней):

$3\sqrt{7} = \sqrt{63}$ , $2\sqrt{15} = \sqrt{60}$ , значит $3\sqrt{7} > 2\sqrt{15}$

3. Приведение подобных слагаемых

Правило: $a\sqrt{c} + b\sqrt{c} = (a + b)\sqrt{c}$

Пример 1:

$3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$

Пример 2 (с упрощением):

$2\sqrt{8} + 3\sqrt{18} - \sqrt{32} = 4\sqrt{2} + 9\sqrt{2} - 4\sqrt{2} = 9\sqrt{2}$

4. Умножение и деление корней

$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ , $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}$

Пример 1:

$\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4$

Пример 2:

$\dfrac{6\sqrt{15}}{3\sqrt{5}} = 2\sqrt{3}$

5. Освобождение от иррациональности в знаменателе

Случай 1 (один корень): $\dfrac{b}{\sqrt{a}} = \dfrac{b\sqrt{a}}{a}$

Пример: $\dfrac{3}{\sqrt{2}} = \dfrac{3\sqrt{2}}{2}$

Случай 2 (двучлен): используем сопряжённое выражение

Пример: $\dfrac{2}{1 + \sqrt{3}} = \dfrac{2(1 - \sqrt{3})}{1 - 3} = \sqrt{3} - 1$

Пример комбинированного преобразования

Упростим выражение: $\sqrt{12} + \sqrt{27} - \sqrt{48}$

Решение:

$\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ , $\sqrt{27} = 3\sqrt{3}$ , $\sqrt{48} = 4\sqrt{3}$

$2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 4\sqrt{3} = (2 + 3 - 4)\sqrt{3} = \sqrt{3}$

Ответ: $\sqrt{3}$

💡 Важно помнить: При преобразованиях с корнями все свойства работают только для неотрицательных подкоренных выражений. Если вы работаете с переменными, всегда проверяйте область допустимых значений.

Тренажёры для каждого типа заданий

На платформе Экзамео доступны тренажёры, которые помогают довести навыки по теме «Квадратные корни» до автоматизма. Каждый тренажёр соответствует определённому типу заданий и содержит десятки вариантов, которые позволят вам изучить тему и подготовиться к контрольным работам в 8 классе и к ОГЭ по математике.

Жизненный пример: Квадратные корни используются не только в математике, но и в реальной жизни. Например, при расчёте диагонали экрана телевизора или монитора используется теорема Пифагора, которая приводит к извлечению квадратного корня. Если диагональ равна $d$ , а стороны $a$ и $b$ , то $d = \sqrt{a^2 + b^2}$ . Без умения работать с корнями вы не сможете посчитать диагональ!