Подобные многоугольники 9 класс - разбор темы, отношение площадей и тренажёры

Подобные многоугольники — одна из фундаментальных тем курса геометрии за 9 класс, расширяющая базовую теорию подобия треугольников на любые произвольные плоские фигуры. С понятием геометрического подобия мы непрерывно встречаемся в окружающем мире: фотоснимки разного масштаба, географические карты, чертежи деталей, архитектурные макеты зданий и экраны цифровых устройств с разным разрешением сохраняют точную форму объекта, пропорционально изменяя лишь его линейные размеры.

В школьной программе и экзаменационных материалах ОГЭ и ЕГЭ по математике знание свойств подобных многоугольников требуется для расчёта неизвестных сторон, углов, периметров и особенно площадей. Главный закон подобия гласит: линейные размеры фигур изменяются пропорционально коэффициенту $k$ , а их площади — пропорционально квадрату этого коэффициента ( $k^2$ ). Ниже приведены строгое определение, вывод теоремы об отношении площадей, сравнительная таблица свойств, детальный разбор типовых задач для подготовки к контрольным работам в 9 классе и интерактивные онлайн-тренажёры Экзамео с проверкой ответов и пошаговыми решениями.

Определение и свойства подобных многоугольников — 9 класс

Подобные многоугольники — это два многоугольника с одинаковым числом вершин, у которых соответствующие углы равны, а сходственные стороны строго пропорциональны.

[Место для иллюстрации: Два подобных пятиугольника A1B1C1D1E1 и A2B2C2D2E2 с равными углами и пропорциональными сходственными сторонами]

• Коэффициент подобия ( $k$ ): отношение длин сходственных сторон (сторон, соединяющих вершины соответственно равных углов):

\dfrac{A_1B_1}{A_2B_2} = \dfrac{B_1C_1}{B_2C_2} = \dfrac{C_1D_1}{C_2D_2} = \ldots = k

• Отношение периметров: отношение периметров двух подобных многоугольников в точности равно коэффициенту их подобия:

\dfrac{P_1}{P_2} = k

• Отношение площадей подобных многоугольников: площади двух подобных многоугольников относятся как квадрат коэффициента подобия:

\dfrac{S_1}{S_2} = k^2

• Важное отличие от треугольников: для многоугольников с числом сторон $n \ge 4$ одного лишь равенства углов или одной пропорциональности сторон недостаточно для подобия! Например, у квадрата и прямоугольника углы равны ( $90^\circ$ ), но стороны не пропорциональны; у квадрата и ромба стороны пропорциональны, но углы различны. Должны выполняться оба условия одновременно.

Теорема об отношении площадей подобных многоугольников - доказательство

Теорема о том, что отношение площадей подобных многоугольников равно квадрату коэффициента подобия ( $k^2$ ), строго доказывается методом триангуляции (разбиением на подобные треугольники):

1. Пусть даны два подобных многоугольника $F_1$ и $F_2$ с коэффициентом подобия $k$ . Выберем в многоугольнике $F_1$ некоторую вершину и проведём из неё все непересекающиеся диагонали. Они разобьют многоугольник $F_1$ на $(n - 2)$ треугольника: $\Delta_1, \Delta_2, \ldots, \Delta_{n-2}$ .

2. Проведём соответствующие диагонали из сходственной вершины во втором многоугольнике $F_2$ . Он также разобьётся на $(n - 2)$ треугольника: $\Delta'_1, \Delta'_2, \ldots, \Delta'_{n-2}$ .

3. Каждый треугольник $\Delta_i$ подобен соответствующему треугольнику $\Delta'_i$ по второму признаку подобия (по двум пропорциональным сторонам и равному углу между ними) с тем же коэффициентом подобия $k$ .

4. По теореме об отношении площадей подобных треугольников отношение площадей каждой пары равно $k^2$ :

\dfrac{S(\Delta_1)}{S(\Delta'_1)} = \dfrac{S(\Delta_2)}{S(\Delta'_2)} = \ldots = \dfrac{S(\Delta_{n-2})}{S(\Delta'_{n-2})} = k^2

5. Применяя свойство равных дробей (если $\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \ldots = k^2$ , то $\frac{a_1 + a_2 + \ldots}{b_1 + b_2 + \ldots} = k^2$ ), находим отношение полных площадей:

\dfrac{S(F_1)}{S(F_2)} = \dfrac{S(\Delta_1) + S(\Delta_2) + \ldots + S(\Delta_{n-2})}{S(\Delta'_1) + S(\Delta'_2) + \ldots + S(\Delta'_{n-2})} = k^2

Теорема полностью доказана для любого выпуклого $n$ -угольника.

[Место для иллюстрации: Доказательство теоремы: разбиение двух подобных многоугольников на цепочки подобных треугольников диагоналями]

Свойства и соотношения элементов подобных многоугольников

При решении геометрических задач важно сопоставлять размерность величин и степень коэффициента подобия $k$ :

Элемент фигуры

Отношение величин

Зависимость от k

Пояснение для задач

Соответствующие углы

$\angle A_1 = \angle A_2$

$k^0 = 1$ (равны)

Углы при изменении масштаба фигуры не изменяются.

Сходственные стороны

$\dfrac{a_1}{a_2} = k$

$k^1 = k$

Все соответствующие линейные стороны пропорциональны с коэффициентом $k$ .

Периметры

$\dfrac{P_1}{P_2} = k$

$k^1 = k$

Периметр — линейная сумма сторон, его отношение равно $k$ .

Диагонали и высоты

$\dfrac{d_1}{d_2} = k$

$k^1 = k$

Любые соответствующие линейные отрезки (высоты, радиусы вписанных и описанных окружностей) относятся как $k$ .

Площади фигур

$\dfrac{S_1}{S_2} = k^2$

$k^2$

Двумерная величина: при увеличении сторон в $k$ раз площадь возрастает в $k^2$ раз.

Подобные многоугольники в контрольных работах и ОГЭ

Задачи на подобие плоских многоугольников встречаются как в плановых проверочных работах 9 класса, так и в экзаменационных КИМах:

Задание 15 ОГЭ (геометрия)

Нахождение сторон или периметров подобных геометрических фигур (треугольников, трапеций, параллелограммов) по известному коэффициенту подобия в 1–2 действия.

Задачи на отношение площадей

Расчёт площади отсечённого многоугольника при проведении прямой, параллельной основанию. Требует безошибочного применения квадрата коэффициента: $S_1 = S_2 \cdot k^2$ .

Задание 23 ОГЭ (сложная геометрия)

Многошаговые задачи на трапеции и вписанные четырёхугольники, где доказательство подобия треугольников позволяет найти отношение площадей четырёхугольных частей.

Контрольная работа 9 класса

Проверочные задания по учебнику Атанасяна на вычисление неизвестных сходственных сторон, периметров и площадей подобных $n$ -угольников.

Задания на подобные многоугольники с пошаговыми решениями

Ниже приведены подробные решения пяти ключевых задач по теме «Подобные многоугольники», отражающие все стандартные формулировки самостоятельных и контрольных работ за 9 класс.

Задание 1: Нахождение сторон и периметра подобного многоугольника

Условие: Стороны четырёхугольника равны $4\text{ см}$ , $6\text{ см}$ , $7\text{ см}$ и $9\text{ см}$ . Найдите стороны и периметр подобного ему четырёхугольника, если его наибольшая сторона равна $27\text{ см}$ .

Пошаговое решение:

1) Найдём коэффициент подобия ( $k$ ):
Наибольшая сторона исходного четырёхугольника равна $9\text{ см}$ . В подобном четырёхугольнике наибольшая сторона равна $27\text{ см}$ . Поскольку эти стороны являются сходственными:

k = \dfrac{27}{9} = 3

Все линейные размеры второго четырёхугольника в $3$ раза больше соответствующих размеров первого.

2) Вычислим остальные сходственные стороны:
• $a_2 = 4 \cdot 3 = 12\text{ см}$
• $b_2 = 6 \cdot 3 = 18\text{ см}$
• $c_2 = 7 \cdot 3 = 21\text{ см}$
• $d_2 = 9 \cdot 3 = 27\text{ см}$

3) Найдём периметр второго четырёхугольника:
Периметр первого четырёхугольника: $P_1 = 4 + 6 + 7 + 9 = 26\text{ см}$ .
По свойству периметров подобных многоугольников $P_2 = P_1 \cdot k$ :

P_2 = 26 \cdot 3 = 78\text{ см}

(Проверка сложением: $12 + 18 + 21 + 27 = 78\text{ см}$ ).

Ответ: стороны равны $12\text{ см}$ , $18\text{ см}$ , $21\text{ см}$ , $27\text{ см}$ ; периметр равен $78\text{ см}$ .

Задание 2: Вычисление отношения площадей подобных пятиугольников

Условие: Площади двух подобных пятиугольников относятся как $16 : 49$ . Периметр меньшего пятиугольника равен $28\text{ см}$ , а площадь большего равна $196\text{ см}^2$ . Найдите периметр большего пятиугольника и площадь меньшего.

Пошаговое решение:

1) Найдём коэффициент подобия ( $k$ ):
По теореме об отношении площадей подобных многоугольников отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия:

\dfrac{S_1}{S_2} = k^2 = \dfrac{16}{49} \implies k = \sqrt{\dfrac{16}{49}} = \dfrac{4}{7}

2) Найдём площадь меньшего пятиугольника ( $S_1$ ):
Так как $S_2 = 196\text{ см}^2$ :

S_1 = S_2 \cdot k^2 = 196 \cdot \dfrac{16}{49} = \dfrac{196}{49} \cdot 16 = 4 \cdot 16 = 64\text{ см}^2

3) Найдём периметр большего пятиугольника ( $P_2$ ):
Отношение периметров равно первой степени коэффициента подобия:

\dfrac{P_1}{P_2} = k = \dfrac{4}{7} \implies P_2 = \dfrac{P_1}{k} = \dfrac{28}{\dfrac{4}{7}} = \dfrac{28 \cdot 7}{4} = 7 \cdot 7 = 49\text{ см}

Ответ: площадь меньшего пятиугольника равна $64\text{ см}^2$ , периметр большего равен $49\text{ см}$ .

Задание 3: Проверка подобия двух многоугольников по определению

Условие: Являются ли подобными два прямоугольника, если стороны первого равны $8\text{ см}$ и $12\text{ см}$ , а стороны второго — $10\text{ см}$ и $15\text{ см}$ ?

Пошаговое решение:

1) Проверим равенство углов:
У любого прямоугольника все четыре внутренних угла прямые ( $90^\circ$ ). Следовательно, все соответствующие углы первого и второго прямоугольников попарно равны: $90^\circ = 90^\circ$ . Первое условие подобия выполнено.

2) Проверим пропорциональность сходственных сторон:
Сопоставим меньшую сторону с меньшей, а большую — с большей:
• Отношение меньших сторон: $\dfrac{8}{10} = \dfrac{4}{5} = 0{,}8$ .
• Отношение больших сторон: $\dfrac{12}{15} = \dfrac{4}{5} = 0{,}8$ .

3) Сделаем вывод:
Отношения сходственных сторон равны между собой ( $\dfrac{8}{10} = \dfrac{12}{15} = 0{,}8$ ), а все углы равны. По определению подобных многоугольников данные прямоугольники подобны с коэффициентом $k = 0{,}8$ (или $k = 1{,}25$ ).

Ответ: да, прямоугольники подобны.

Задание 4: Разделение площади трапеции средней линией (прототип ОГЭ)

Условие: Прямая, параллельная основаниям трапеции, делит её боковые стороны в отношении $1 : 2$ , считая от верхнего основания. Найдите отношение площади отсечённого верхнего треугольника к площади исходного при продолжении боковых сторон до пересечения.

Пошаговое решение:

1) Продлим боковые стороны трапеции до их пересечения в точке $S$ . Получим большой треугольник и отсечённый меньший треугольник.

2) Так как прямая параллельна основаниям, малый треугольник подобен большому по первому признаку (по двум равным углам: общий угол $S$ и соответственные углы при параллельных прямых).

3) Найдём коэффициент подобия: боковая сторона делится в отношении $1 : 2$ , то есть длина стороны малого треугольника составляет $1$ часть, а боковая сторона большого треугольника составляет $1 + 2 = 3$ части:

k = \dfrac{1}{3}

4) По теореме об отношении площадей подобных фигур:

\dfrac{S_{\text{мал}}}{S_{\text{бол}}} = k^2 = \left(\dfrac{1}{3}\right)^2 = \dfrac{1}{9}

Ответ: $1 : 9$ .

Задание 5: Вычисление расхода краски для подобных многоугольных щитов

Условие: Для покраски многоугольного рекламного щита с периметром $12\text{ м}$ потребовалось $1{,}5\text{ кг}$ краски. Сколько килограммов краски потребуется для покраски подобного щита с периметром $24\text{ м}$ при одинаковом расходе на квадратный метр?

Пошаговое решение:

1) Найдём коэффициент подобия щитов по их периметрам:
Отношение периметров подобных фигур равно коэффициенту подобия:

k = \dfrac{P_2}{P_1} = \dfrac{24}{12} = 2

2) Найдём отношение площадей щитов:
Расход краски пропорционален площади поверхности щита. Отношение площадей подобных многоугольников равно квадрату коэффициента подобия:

\dfrac{S_2}{S_1} = k^2 = 2^2 = 4

Площадь второго щита ровно в $4$ раза больше площади первого.

3) Вычислим необходимую массу краски:

M_2 = M_1 \cdot 4 = 1{,}5 \cdot 4 = 6\text{ кг}

Ответ: $6\text{ кг}$ .

Типичные ошибки в заданиях на подобные многоугольники

При решении задач на подобие многоугольников школьники чаще всего допускают следующие четыре ошибки:

Отношение площадей как k вместо k²

Если стороны многоугольника увеличились в 3 раза ( $k = 3$ ), ошибочно считают, что и площадь выросла в 3 раза.

Площадь — величина двумерная, она возрастает строго в квадрат коэффициента подобия ( $k^2 = 3^2 = 9$ раз)!

Подобие только по углам или только по сторонам

Считают, что любые два ромба подобны (ведь стороны пропорциональны) или любые два прямоугольника подобны (ведь углы равны).

Для $n \ge 4$ подобие требует одновременного выполнения равенства углов и пропорциональности сторон.

Несоответствие сходственных сторон

При составлении пропорций делят случайные стороны фигур вместо сходственных.

Сходственные стороны должны лежать напротив соответственно равных углов либо быть упорядочены от наименьшей к наибольшей.

Забытый квадратный корень при поиске периметра

Зная отношение площадей $S_1 / S_2 = 16 / 49$ , находят отношение периметров как $16 / 49$ .

Отношение периметров равно $k$ , поэтому сначала необходимо извлечь квадратный корень: $k = \sqrt{16/49} = 4/7$ .

Задания на подобные многоугольники для 9 класса

Интерактивные онлайн-тренажёры образовательной платформы Экзамео включают полную подборку практических задач по теме «Подобные многоугольники» за 9 класс: от вычисления коэффициента подобия до расчёта площадей и периметров сложных геометрических фигур. Тренируйтесь решать задачи онлайн, проверяйте правильность ответов за секунду и уверенно готовьтесь к контрольным работам и ОГЭ по математике!

Практика

Задачи сейчас заполняются

Уже готовим задания по теме: добавляем варианты, проверку ответов и понятные разборы после попытки.

Подбираем заданияПроверяем ответыГотовим разборы

Определение и свойства подобных многоугольников — 9 класс

Свойства и соотношения элементов подобных многоугольников

Подобные многоугольники в контрольных работах и ОГЭ

Задания на подобные многоугольники с пошаговыми решениями

Типичные ошибки в заданиях на подобные многоугольники

Задания на подобные многоугольники для 9 класса

Задачи сейчас заполняются

Рекомендуем изучить вместе с этой темой