Выпуклый многоугольник: определение, свойства, сумма углов и диагонали

В этом разделе представлен теоретический материал по теме «Выпуклый многоугольник» в объёме программы геометрии 8 класса. Рассмотрены определения выпуклого и невыпуклого многоугольника, выведены формулы суммы внутренних и внешних углов, а также приведён способ подсчёта числа диагоналей. Каждое утверждение сопровождается кратким обоснованием и примерами. Материал структурирован так, чтобы на его основе можно было без затруднений перейти к изучению четырёхугольников и правильных многоугольников.

Всё про выпуклые многоугольники для 8 класса

Ниже приведены определение выпуклого многоугольника, наглядные отличия от невыпуклого, теорема о сумме углов и формулы для расчёта элементов - всё это проходится в 8 классе и будет использоваться и на ОГЭ по математике и на ЕГЭ, как профильного так и базового уровня.

Выпуклые и невыпуклые многоугольники

Определение выпуклого многоугольника 🎯

Многоугольник называется выпуклым, если он целиком лежит по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

Визуально выпуклый и невыпуклые многоуольники выглядят следующим образом:

Теперь соберем их отличия в таблицу

Выпуклый многоугольник

Невыпуклый многоугольник

Лежит по одну сторону от прямой каждой своей стороны.

Прямая хотя бы одной стороны делит многоугольник на части.

Все внутренние углы меньше $180^\circ$ .

Содержит хотя бы один угол больше $180^\circ$ (вогнутый).

Любой отрезок с концами внутри многоугольника целиком лежит внутри него.

Отрезок между двумя внутренними точками может выходить за пределы фигуры.

Сумма углов выпуклого многоугольника

Формула суммы углов выпуклого $n$ -угольника 🎯

Сумма внутренних углов выпуклого $n$ -угольника равна:

S_n = (n - 2) \cdot 180^\circ

где $n$ — количество вершин (или сторон) многоугольника ( $n \ge 3$ ).

Подробно разобрали вывод формулы суммы углов выпуклого n-угольника ниже

Вывод формулы суммы углов выпуклого n-угольника

Чтобы вычислить сумму внутренних углов выпуклого $n$ -угольника $A_1 A_2 \dots A_n$ , применим метод разбиения на треугольники:

1. Выберем одну вершину $A_1$ и соединим её диагоналями со всеми не соседними вершинами.

2. Проведённые диагонали разобьют $n$ -угольник на $n - 2$ треугольника.

3. Сумма углов каждого треугольника равна $180^\circ$ , а сумма всех углов этих треугольников в точности совпадает с суммой внутренних углов исходного многоугольника.

Внешние углы и количество диагоналей

Дополнительно важно упомянуть про остальные характеристики выпуклого $n$ -угольника, они могут понадобиться на контрольных и самостоятельных работах по многоугольникам в 8 классе.

Сумма внешних углов

Внешним углом многоугольника называется угол, смежный с его внутренним углом.

Сумма внешних углов выпуклого $n$ -угольника, взятых по одному при каждой вершине, всегда равна $360^\circ$ (не зависит от числа сторон $n$ !).

Зная этот факт можно запросто рассчитывать внутренний угол

Число диагоналей многоугольника:

Из каждой из $n$ вершин можно провести $n - 3$ диагонали (ко всем вершинам, кроме самой себя и двух соседних).

Так как каждая диагональ соединяет две вершины, общее количество диагоналей вычисляется по формуле:

N=\dfrac{n(n - 3)}{2}

Готовые значения сумм углов для запоминания!

Постарайтесь их запомнить - они позволят ускорить расчеты в задачах

• Треугольник ( $n = 3$ ): $(3 - 2) \cdot 180^\circ = 180^\circ$

• Четырёхугольник ( $n = 4$ ): $(4 - 2) \cdot 180^\circ = 360^\circ$

• Пятиугольник ( $n = 5$ ): $(5 - 2) \cdot 180^\circ = 540^\circ$

• Шестиугольник ( $n = 6$ ): $(6 - 2) \cdot 180^\circ = 720^\circ$

Разбор типовых задач на многоугольники для 8 класса

Рассмотрите решения задач, характерных для уроков геометрии по многоугольникам в 8 классе. Эти же задачи потом могут вам встретиться на ОГЭ по математике, поэтому постарайтесь их понять и отработать в тренажерах.

Пример 1: Определение числа сторон многоугольника по сумме его углов

Задание: Найдите число сторон выпуклого многоугольника, если сумма его внутренних углов равна $1260^\circ$ .

Подробное решение:

1) Воспользуемся формулой суммы углов выпуклого $n$ -угольника: $S_n = (n - 2) \cdot 180^\circ$ .

2) Подставим данную по условию сумму $S_n = 1260^\circ$ :
$(n - 2) \cdot 180^\circ = 1260^\circ$ .

3) Разделим обе части уравнения на $180^\circ$ :
$n - 2 = \dfrac{1260}{180} \implies n - 2 = 7$ .

4) Выразим количество сторон $n$ :
$n = 7 + 2 = 9$ .

Ответ: многоугольник имеет $9$ сторон (девятиугольник).

Пример 2: Расчёт количества диагоналей выпуклого многоугольника

Задание: Сколько диагоналей можно провести в выпуклом восьмиугольнике?

Подробное решение:

1) По условию задачи $n = 8$ (восьмиугольник).

2) Воспользуемся формулой числа диагоналей $N = \dfrac{n(n - 3)}{2}$ .

3) Подставим $n = 8$ в формулу:
$N = \dfrac{8 \cdot (8 - 3)}{2} = \dfrac{8 \cdot 5}{2} = \dfrac{40}{2} = 20$ .

Ответ: $20$ диагоналей.

Тренажёры по теме «Выпуклый многоугольник» на Экзамео

Ниже представлены задания на свойства многоугольников (сумма углов, стороны, диагонали, площадь), составленные по материалам школьной программы геометрии 8 класса.

К каждому заданию в тренажерах вы найдете подробное пошаговое решение, которое поможет разобраться с ошибками, если они возникнут.

Практика

Задачи сейчас заполняются

Уже готовим задания по теме: добавляем варианты, проверку ответов и понятные разборы после попытки.

Подбираем заданияПроверяем ответыГотовим разборы