Теорема синусов - формула и задачи с решениями

В этом разделе подробно рассматривается одна из главных теорем курса геометрии 9 класса — «Теорема синусов». Наряду с темой Теорема косинусов, она составляет основу раздела «Решение треугольников». Задачи на теорему синусов и теорему косинусов встречаются как в ОГЭ по математике в первой и второй части, так и в ЕГЭ по математике, при чем не только в планиметрии, но и в стереометрии.

Отработать тему теорема синусов можно после теории в тренажёрах с подробными решениями, составленным по заданиям открытого банка ФИПИ ОГЭ по математике и школьных учебников, а также самостоятельных и контрольных работ за 9 класс.

Формулировка теоремы синусов

Пусть дан произвольный треугольник $ABC$ со сторонами $a$, $b$, $c$ и противолежащими им углами $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ ($\angle A = \alpha$, $\angle B = \beta$, $\angle C = \gamma$).

Из этой пропорции легко записать равенство для любых двух сторон и их противолежащих углов: $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} \implies a \cdot \sin B = b \cdot \sin A$.

Благодаря теореме синусов вам становятся доступны новые задачи, давайте посмотрим пример одной из таких задач из ОГЭ по математике:

Связь с радиусом описанной окружности

В геометрии 9 класса изучается расширенная (полная) теорема синусов, которая связывает отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла с радиусом описанной окружности.

Эта формула позволяет моментально находить радиус описанной окружности: $R = \dfrac{a}{2\sin \alpha}$, либо длину стороны по радиусу и углу: $a = 2R \sin \alpha$.

Ключевым является то, что существуют задачи, которые кроме как теоремой синусов решить не получится, ниже пример такого задания из ОГЭ по математике с подробным решением

Отличие теоремы синусов от теоремы косинусов

Обе теоремы служат для нахождения неизвестных элементов произвольного треугольника, но применяются при разных исходных данных. Таблица ниже поможет определиться какую теорему использовать и в каких задачах может понадобиться теорема синусов.

Пошаговый алгоритм решения задач

При решении задач на решение треугольника в 9 классе с помощью теоремы синусов придерживайтесь следующего алгоритма:

Тренажёры с задачами на теорему синусов на Экзамео

Ниже собраны задания по геометрии для 9 класса из школьных учебников и открытого банка заданий ФИПИ, для решения которых используется теорема синусов. К каждой задаче вы найдете подробное объяснение и автоматическую проверку ответов.