Теорема синусов - формула и задачи с решениями

В этом разделе подробно рассматривается одна из главных теорем курса геометрии 9 класса — «Теорема синусов». Наряду с темой Теорема косинусов, она составляет основу раздела «Решение треугольников». Задачи на теорему синусов и теорему косинусов встречаются как в ОГЭ по математике в первой и второй части, так и в ЕГЭ по математике, при чем не только в планиметрии, но и в стереометрии.

Отработать тему теорема синусов можно после теории в тренажёрах с подробными решениями, составленным по заданиям открытого банка ФИПИ ОГЭ по математике и школьных учебников, а также самостоятельных и контрольных работ за 9 класс.

Формулировка теоремы синусов

Пусть дан произвольный треугольник $ABC$ со сторонами $a$ , $b$ , $c$ и противолежащими им углами $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ ( $\angle A = \alpha$ , $\angle B = \beta$ , $\angle C = \gamma$ ).

Формулировка теоремы синусов 🎯

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

\dfrac{a}{\sin \alpha} = \dfrac{b}{\sin \beta} = \dfrac{c}{\sin \gamma}

Из этой пропорции легко записать равенство для любых двух сторон и их противолежащих углов: $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} \implies a \cdot \sin B = b \cdot \sin A$ .

Благодаря теореме синусов вам становятся доступны новые задачи, давайте посмотрим пример одной из таких задач из ОГЭ по математике:

Нахождение неизвестной стороны по двум углам и стороне

Задание: В треугольнике $ABC$ угол $\angle A = 45^\circ$ , угол $\angle B = 60^\circ$ , а сторона $BC = 4\sqrt{6}\text{ см}$ . Найдите сторону $AC$ .

Подробное решение:

1) Сторона $BC = a$ лежит против угла $\angle A = 45^\circ$ . Сторона $AC = b$ лежит против угла $\angle B = 60^\circ$ .

2) По теореме синусов:

\dfrac{BC}{\sin A} = \dfrac{AC}{\sin B} \implies \dfrac{4\sqrt{6}}{\sin 45^\circ} = \dfrac{AC}{\sin 60^\circ}

3) Выразим неизвестную сторону $AC$ :

AC = \dfrac{4\sqrt{6} \cdot \sin 60^\circ}{\sin 45^\circ} = \dfrac{4\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \dfrac{4\sqrt{18}}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{9} = 4 \cdot 3 = 12\text{ см}

Ответ: $12\text{ см}$ .

Связь с радиусом описанной окружности

В геометрии 9 класса изучается расширенная (полная) теорема синусов, которая связывает отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла с радиусом описанной окружности.

Расширенная теорема синусов:

Отношение любой стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности ( $2R$ , где $R$ — радиус описанной окружности):

\dfrac{a}{\sin \alpha} = \dfrac{b}{\sin \beta} = \dfrac{c}{\sin \gamma} = 2R

Именно такая формулировка содержится в справочном материале ОГЭ по математике

Эта формула позволяет моментально находить радиус описанной окружности: $R = \dfrac{a}{2\sin \alpha}$ , либо длину стороны по радиусу и углу: $a = 2R \sin \alpha$ .

Ключевым является то, что существуют задачи, которые кроме как теоремой синусов решить не получится, ниже пример такого задания из ОГЭ по математике с подробным решением

Пример задачи на теорему синусов и радиус описанной окружности с решением

Задание: Сторона треугольника равна $10\text{ см}$ , а противолежащий ей угол равен $30^\circ$ . Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

Подробное решение:

1) По расширенной теореме синусов отношение стороны к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности:

\dfrac{a}{\sin \alpha} = 2R

2) Подставим данные из условия: $a = 10\text{ см}$ , $\alpha = 30^\circ$ :

\dfrac{10}{\sin 30^\circ} = 2R \implies \dfrac{10}{0{,}5} = 2R \implies 20 = 2R \implies R = 10\text{ см}

Ответ: $10\text{ см}$ .

Отличие теоремы синусов от теоремы косинусов

Обе теоремы служат для нахождения неизвестных элементов произвольного треугольника, но применяются при разных исходных данных. Таблица ниже поможет определиться какую теорему использовать и в каких задачах может понадобиться теорема синусов.

Критерий сравнения

Теорема синусов

Теорема косинусов

Исходные данные задачи

• Известны два угла и одна сторона.

• Известны две стороны и угол против одной из них.

• Известны две стороны и угол между ними.

• Известны все три стороны треугольника.

Связь с окружностью

Прямо дает радиус описанной окружности ( $2R$ ).

С окружностью напрямую не связана.

Искомый элемент

Находит неизвестную сторону или синус угла.

Находит третью сторону или косинус угла.

Лайфхак для ОГЭ по математике! 💡

1. Ищите парные связки «сторона — противоположный угол»: Если в задаче известны угол и лежащая напротив него сторона, сразу вспоминайте теорему синусов!

2. Особые углы ( $30^\circ, 45^\circ, 60^\circ$ ): Табличные значения синусов ( $\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}$ , $\sin 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ , $\sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ) обязательно нужно выучить наизусть.

Пошаговый алгоритм решения задач

При решении задач на решение треугольника в 9 классе с помощью теоремы синусов придерживайтесь следующего алгоритма:

Порядок применения теоремы синусов:

Сопоставьте известные элементы: найдите известную пару «сторона — противоположный угол» и пару с искомым элементом.

Запишите пропорцию: выпишите отношение $\dfrac{a}{\sin \alpha} = \dfrac{b}{\sin \beta}$ (или отношение к $2R$ ).

Выразите неизвестную величину: по правилу пропорции найдите сторону $a = \dfrac{b \cdot \sin \alpha}{\sin \beta}$ или угол $\sin \alpha = \dfrac{a \cdot \sin \beta}{b}$ и запишите ответ.

Тренажёры с задачами на теорему синусов на Экзамео

Ниже собраны задания по геометрии для 9 класса из школьных учебников и открытого банка заданий ФИПИ, для решения которых используется теорема синусов. К каждой задаче вы найдете подробное объяснение и автоматическую проверку ответов.

Практика

Задачи сейчас заполняются

Уже готовим задания по теме: добавляем варианты, проверку ответов и понятные разборы после попытки.

Подбираем заданияПроверяем ответыГотовим разборы