Теорема косинусов: формула, доказательство и решение задач

На этой странице представлен разбор темы «Теорема косинусов» по геометрии для 9 класса. Хотим подчеркнуть важность этой темы, поскольку теорема косинусов, Теорема синусов, Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45°, 60°, Формула Герона - позволяют решить практически любую задачу по геометрии и используются например в информатике при решении геометрических задач.

Теорема косинусов — один из главных инструментов планиметрии 9 класса. В сочетании с теоремой синусов она позволяет «решать» любые треугольники: находить неизвестные стороны и углы произвольного (не обязательно прямоугольного) треугольника по имеющимся данным.

Всё о теореме косинусов

Ниже подробно разобраны формулировка теоремы, её математическое доказательство и обобщение теоремы Пифагора.

Формулировка теоремы косинусов

Теорема косинусов:

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma

Обозначим местоположение всех углов и сторон на рисунке:

Косинус угла в формуле - это угол напротив искомой стороны

Аналогично формула записывается для каждой из сторон треугольника $ABC$ со сторонами $a, b, c$ и углами $\alpha, \beta, \gamma$ :

• $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha$

• $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos \beta$

Теорема косинусов — это обобщённая теорема Пифагора! 💡

Если угол между сторонами прямой ( $\alpha = 90^\circ$ ), то $\cos 90^\circ = 0$ . Удвоенное произведение $2bc \cos 90^\circ$ обращается в ноль, и мы получаем классическую теорему Пифагора:
$a^2 = b^2 + c^2$

Доказательство теоремы косинусов через векторный или координатный метод

Доказательство (векторным методом):

1) Рассмотрим треугольник $ABC$ . Обозначим векторы сторон: $\vec{CB} = \vec{a}$ , $\vec{CA} = \vec{b}$ , $\vec{AB} = \vec{c}$ .

2) По правилу вычитания векторов: $\vec{c} = \vec{a} - \vec{b}$ .

3) Возведём обе части равенства в скалярный квадрат:

$\vec{c}^2 = (\vec{a} - \vec{b})^2 = \vec{a}^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{b}^2$

4) По определению скалярного произведения векторов: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cos \gamma = a \cdot b \cos \gamma$ .

5) Учитывая, что скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины ( $\vec{c}^2 = c^2$ ), подставляем значение скалярного произведения:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma$ . Теорема доказана.

Следствия из теоремы косинусов: вычисление углов и определение вида треугольника

Из теоремы косинусов выражается косинус любого угла треугольника, если известны длины всех трёх его сторон:

Формула косинуса угла:

\cos \alpha = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}

По знаку числителя дроби (так как знаменатель $2bc > 0$ ) можно мгновенно определить вид треугольника напротив стороны $a$ :

• Если $b^2 + c^2 > a^2$

Формул для косинуса очень сильно вам пригодится не в ОГЭ, а уже в ЕГЭ по математике - она позволит достаточно быстро вычислять значения косинусов и как следствие углов

Теорема косинусов и теорема синусов: что и когда выбирать?

При решении задач на произвольные треугольники в 9 классе школьники часто вызывают путаницу между теоремой синусов и теоремой косинусов. В основном это происходит потому что они используются в достаточно близких ситуациях.

Наглядная схема выбора метода:

Применяйте ТЕОРЕМУ КОСИНУСОВ, если: 🎯

1. Даны две стороны и угол между ними (ищем третью сторону).
2. Даны все три стороны треугольника (ищем любой неизвестный угол).

Применяйте ТЕОРЕМУ СИНУСОВ, если: ⭕

1. Даны два угла и одна сторона (ищем другую сторону).
2. Даны две стороны и угол против одной из них (ищем второй угол).
3. Задана задача на связь стороны и радиуса описанной окружности ( $a = 2R \sin \alpha$ ).

Применение теоремы косинусов в жизни и технологиях

Теорема косинусов позволяет проводить точнейшие триангуляционные измерения там, где невозможно измерить расстояние напрямую.

Геодезия и Навигация 🗺️

Инженеры рассчитывают расстояние между объектами на местности через озеро или овраг. Находясь в одной доступной точке $C$ , геодезисты измеряют расстояния $CA$ , $CB$ и угол между ними $\gamma$ , после чего по теореме косинусов точно находят недоступное расстояние $AB$ .

Робототехника и GameDev 🤖

В обратной кинематике (Inverse Kinematics) манипуляторов и 3D-персонажей углы сгиба суставов рук и ног робота или игрового героя расчитываются именно по теореме косинусов через известную длину звеньев и конечные координаты кисти/стопы.

Пошаговый алгоритм решения задач

При решении задач на теорему косинусов за 9 класс придерживайтесь алгоритма:

Порядок действий:

Выполните чертёж и нанесите известные данные: подпишите длины сторон и угол против искомой стороны.

Запишите равенство теоремы косинусов для стороны, лежащей ПРОТИВ известного (или искомого) угла:
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha$ .

Подставьте числовые значения и значение тригонометрической функции: примените табличные значения косинусов ( $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ , $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$ , $\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$ ).

Вычислите неизвестную величину: извлеките арифметический квадратный корень для нахождения стороны или найдите угол по формуле следствия.

Разбор типовых задач из контрольных работ и ОГЭ

Рассмотрите решения задач, характерных для контрольных работ за 9 класс и первой/второй частей ОГЭ по геометрии.

Пример 1: Нахождение третьей стороны треугольника по двум сторонам и углу между ними

Задание: В треугольнике две стороны равны $5\text{ см}$ и $8\text{ см}$ , а угол между ними равен $60^\circ$ . Найдите третью сторону треугольника.

Подробное решение:

1) Пусть $b = 5\text{ см}$ , $c = 8\text{ см}$ , $\alpha = 60^\circ$ . Искомая сторона — $a$ .

2) Применяем теорему косинусов:
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha$

3) Подставляем известные числовые данные (учитывая, что $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$ ):
$a^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos 60^\circ$

4) Находим сторону $a$ :
$a = \sqrt{49} = 7\text{ (см)}$ .

Ответ: $7\text{ см}$ .

Пример 2: Нахождение наименьшего и наибольшего угла по трем сторонам

Задание: Найдите градусную меру тупого угла треугольника со сторонами $3\text{ см}$ , $5\text{ см}$ и $7\text{ см}$ .

Подробное решение:

1) В любом треугольнике наибольший угол лежит против наибольшей стороны. Наибольшая сторона равна $a = 7\text{ см}$ , следовательно, тупой угол лежит напротив неё. Обозначим его $\alpha$ . Две другие стороны $b = 3\text{ см}$ и $c = 5\text{ см}$ .

2) Применяем следствие из теоремы косинусов:
$\cos \alpha = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

3) Подставляем числовые значения сторон:
$\cos \alpha = \dfrac{3^2 + 5^2 - 7^2}{2 \cdot 3 \cdot 5} = \dfrac{9 + 25 - 49}{30} = \dfrac{-15}{30} = -\dfrac{1}{2}$

4) Находим угол $\alpha$ :
Так как $\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$ , угол $\alpha = 120^\circ$ .

Ответ: $120^\circ$ .

Тренажёры по теореме косинусов на Экзамео

Закрепите теорему косинусов и теорему синусов на практике с помощью интерактивных онлайн-тренажёров образовательной платформы Экзамео. Все учебные задания, самостоятельные карточки и проверочные тесты по теме «Теорема косинусов» за 9 класс составлены в соответствии с требованиями ФГОС, материалами школьной программы по геометрии и открытого банка заданий ОГЭ по математике ФИПИ.