Матрица и определитель матрицы - разбор темы

На этой странице представлен подробный теоретический справочник по теме «Матрицы и определители» для профильного ЕГЭ по математике. Методисты образовательной платформы Экзамео подготовили этот материал, чтобы дать ответ на вопрос, встречаются ли матрицы на экзамене, и показать, как матричные методы и линейная алгебра помогают решать сложные задачи профильного уровня.

Есть ли матрицы и определители на ЕГЭ по математике?

Официальная спецификация ФИПИ и школьная программа не требуют обязательного знания матриц и способов вычисления определителей. Одновременно с этим, тема «Матрица и определитель матрицы» присутствует в кодификаторе ЕГЭ по математике и поэтому задания на неё могут неожиданно появиться в КИМ ЕГЭ прямо на экзамене. Хоть это и маловероятно, давайте разберем что такое матрица и её определитель.

Где матрицы НЕ нужны напрямую ❌

В первой части ЕГЭ нет заданий, где в условии прямым текстом написано «вычислите определитель матрицы». Точно так же нет заданий, которые нельзя решить без матриц, ни в первой, ни во второй части

Одновременно с этим, нужно понимать, что матрицы могут ускорить решение заданий в ЕГЭ по математике, что особенно важно при дефиците времени

Где матрицы ДАЮТ преимущество 🎯

- Задание 14 (Векторы и Стереометрия): определитель 3х3 используется для вычисления смешанного произведения векторов, объёма тетраэдра и уравнения плоскости.

- Задания с системами уравнений: метод Крамера через определитель матрицы позволяет находить единственные решения систем без длинных подстановок.

Основы матричного исчисления для ЕГЭ по математике

Ниже подробно разобраны базовые понятия, которые помогут быстрее решать задания второй части на ЕГЭ по математике: определение матрицы, вычисление определителей второго и третьего порядков и правило Крамера.

Понятие матрицы и её виды

Что такое матрица? 🎯

Матрица — это прямоугольная таблица чисел, состоящая из $m$ строк и $n$ столбцов (размерностью $m \times n$ ).

• если число строк равно числу столбцов ( $m = n$ ), матрица называется квадратной.

• Числа, входящие в состав матрицы, называются её элементами и обозначаются $a_{ij}$ (где $i$ — номер строки, $j$ — номер столбца).

Определитель матрицы 2х2 (второго порядка)

Для каждой квадратной матрицы вычисляется специальная числовая характеристика — определитель (детерминант), обозначаемый $\det A$ или $|A|$ .

Для матрицы размером $2 \times 2$ определитель вычисляется как разность произведений элементов главной и побочной диагоналей:

Формула определителя 2х2:

$\det \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = a \cdot d - b \cdot c$

Определитель матрицы 3х3 (Правило треугольников)

Определитель матрицы $3 \times 3$ находит применение при расчете объёмов тетраэдра и смешанного произведения векторов в стереометрии профильного ЕГЭ.

Правило Саррюса (треугольников):

$\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} = a_1 b_2 c_3 + b_1 c_2 a_3 + c_1 a_2 b_3 - c_1 b_2 a_3 - b_1 a_2 c_3 - a_1 c_2 b_3$

Первые 3 слагаемых берутся со знаком «+» (произведения по главной диагонали и в параллельных ей треугольниках), а оставшиеся 3 слагаемых — со знаком «-» (по побочной диагонали).

Решение систем уравнений методом Крамера

При решении Задания №20 (системы с параметром) метод Крамера позволяет моментально называть значения параметров, при которых система имеет единственное решение:

Для системы $\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases}$ вычисляются три определителя:

• Главный определитель: $\Delta = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} = a_1 b_2 - a_2 b_1$

• Вспомогательный по $x$ : $\Delta_x = \begin{vmatrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{vmatrix} = c_1 b_2 - c_2 b_1$

• Вспомогательный по $y$ : $\Delta_y = \begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{vmatrix} = a_1 c_2 - a_2 c_1$

Критерий количества решений:

1. Если главный определитель $\Delta \neq 0$ , система имеет единственное решение: $x = \frac{\Delta_x}{\Delta}$ , $y = \frac{\Delta_y}{\Delta}$ .

2. Если $\Delta = 0$ , а $\Delta_x \neq 0$ или $\Delta_y \neq 0$ , система не имеет решений.

3. Если $\Delta = \Delta_x = \Delta_y = 0$ , система имеет бесконечно много решений.

Пошаговый алгоритм применения матриц на ЕГЭ по математике

При решении сложных задач на ЕГЭ с помощью определителей придерживайтесь алгоритма:

Порядок действий:

Составьте матрицу коэффициентов: выпишите коэффициенты при переменных или координаты трёх векторов в строгие строки таблицы.

Вычислите определитель матрицы: расчитайте детерминант по формуле $2 \times 2$ или по правилу Саррюса для $3 \times 3$ .

Проанализируйте результат: примените результат к вопросу задачи (нахождение корней, площади, объёма или условий на параметр).

Разбор примеров использования матричных методов на ЕГЭ

Рассмотрите решения задач, демонстрирующих экономию времени на профильном ЕГЭ по математике.

Пример 1: Вычисление площади треугольника через определитель 2х2

Задание: Найдите площадь треугольника с вершинами в точках $O(0; 0)$ , $A(4; 1)$ и $B(2; 5)$ .

Подробное решение:

1) Координаты векторов $\vec{OA} = \{4; 1\}$ и $\vec{OB} = \{2; 5\}$ .

2) Площадь треугольника, построенного на векторах, равна половине модуля определителя составленной из них матрицы $2 \times 2$ :
$S = \dfrac{1}{2} \cdot \left| \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} \right|$

3) Вычисляем определитель:
$\begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} = 4 \cdot 5 - 1 \cdot 2 = 20 - 2 = 18$

4) Находим площадь:
$S = \frac{1}{2} \cdot 18 = 9$ .

Ответ: $9$ .

Пример 2: Исследование количества решений системы с параметром

Задание: При каких значениях параметра $a$ система не имеет решений: $\begin{cases} ax + 4y = 7 \\ 3x + ay = 2 \end{cases}$ ?

Подробное решение:

1) Запишем главный определитель системы $\Delta$ :
$\Delta = \begin{vmatrix} a & 4 \\ 3 & a \end{vmatrix} = a^2 - 12$

2) Чтобы система не имела решений (или имела бесконечно много), главный определитель должен ровняться нулю:
$a^2 - 12 = 0 \implies a = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ или $a = -2\sqrt{3}$ .

3) Проверим вспомогательный определитель $\Delta_x$ для $a = 2\sqrt{3}$ :
$\Delta_x = \begin{vmatrix} 7 & 4 \\ 2 & a \end{vmatrix} = 7a - 8 = 14\sqrt{3} - 8 \neq 0$ .
Так как $\Delta = 0$ , а $\Delta_x \neq 0$ , система при $a = \pm 2\sqrt{3}$ не имеет решений.

Ответ: $a = \pm 2\sqrt{3}$ .

Тренажёры на задания с матрицами из ЕГЭ по математике на Экзамео

В тренажерах ниже собраны примеры заданий из ЕГЭ по математике, которые могут быть решены при помощи матриц, чтобы вы могли отработать теорию и способы вычисления определителей. К каждому заданию вы найдете подробное решение и объяснение.

Практика

Задачи сейчас заполняются

Уже готовим задания по теме: добавляем варианты, проверку ответов и понятные разборы после попытки.

Подбираем заданияПроверяем ответыГотовим разборы