Средняя линия треугольника: свойства и решение задач

На этой странице представлен полный разбор темы «Средняя линия треугольника» для подготовки к профильному ЕГЭ по математике - абсолютно вся теория, теоремы и свойства, а так же тренажёры по заданиям открытого банка ФИПИ от составителей ЕГЭ по математике.

Данная страница призвана помочь старшеклассникам досконально изучить ключевые теоремы, свойства площадей и отношений подобия, связанное со средней линией, а также научиться без ошибок решать прототипы планиметрических задач первой и второй части профильного ЕГЭ (Задание 1 и Задание 17).

Тема «Средняя линия треугольника» регулярно встречается на экзамене как в качестве самостоятельного элемента в Задании 1, так и в качестве шага доказательства или расчёта в сложных многошаговых задачах стереометрии и планиметрии.

Средняя линия треугольника - теория для ЕГЭ по математике

Ниже подробно и аргументированно разобраны определение, основные свойства и доказательства ключевых теорем о средней линии.

Определение и теорема о средней линии

Определение средней линии треугольника 🎯

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

[ Место для иллюстрации: Треугольник ABC, точка M — середина AB, точка N — середина BC. Отрезок MN — средняя линия, параллельная основанию AC ]

Теорема о средней линии треугольника:

Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон:
1. Параллельна третьей стороне (основанию): $MN \parallel AC$ .
2. Равна половине этой стороны: $MN = \dfrac{1}{2}AC$ .

Доказательство теоремы о средней линии через подобие треугольников

Доказательство:

1) Пусть в $\triangle ABC$ точка $M$ — середина $AB$ , точка $N$ — середина $BC$ . Рассмотри отсекаемый треугольник $\triangle MBN$ и исходный треугольник $\triangle ABC$ .

2) Сторона $MB = \dfrac{1}{2}AB$ , а сторона $NB = \dfrac{1}{2}CB$ . Следовательно, пропорция сторон:
$\dfrac{MB}{AB} = \dfrac{NB}{CB} = \dfrac{1}{2}$ .

3) Угол $\angle B$ является общим для $\triangle MBN$ и $\triangle ABC$ . По второму признаку подобия (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними) $\triangle MBN \sim \triangle ABC$ с коэффициентом подобия $k = \dfrac{1}{2}$ .

4) Из подобия следует:

• Соответственные углы равны: $\angle BMN = \angle BAC$ . Так как эти углы соответственные при прямых $MN$ и $AC$ и секущей $AB$ , то $MN \parallel AC$ .

• Отношение третьих сторон равно коэффициенту подобия: $\dfrac{MN}{AC} = k = \dfrac{1}{2} \implies MN = \dfrac{1}{2}AC$ .
Теорема доказана.

Свойства средней линии для ЕГЭ по математике

Главные свойства, которые нужно знать по этой теме

1. Отсекаемый треугольник:
Средняя линия отсекает треугольник ( $\triangle MBN$ ), который подобен исходному ( $\triangle ABC$ ) с коэффициентом подобия $k = \dfrac{1}{2}$ .

2. Периметр отсекаемого треугольника:
Периметр отсекаемого треугольника равен половине периметра исходного:
$P_{\triangle MBN} = \dfrac{1}{2} P_{\triangle ABC}$ .

3. Площадь отсекаемого треугольника:
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия ( $k^2 = \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4}$ ).
Значит, площадь отсекаемого треугольника равна $\dfrac{1}{4}$ площади исходного:
$S_{\triangle MBN} = \dfrac{1}{4} S_{\triangle ABC}$ .

4. Разбиение на 4 равных треугольника:
Если провести все три средние линии треугольника, они разивают исходный треугольник на 4 равных между собой треугольника одинаковой площади.

[ Место для иллюстрации: Треугольник с тремя проведенными средними линиями, разделяющими его на 4 равных треугольника ]

Площадь получившейся трапеции! 💡

Средняя линия делит треугольник на маленький отсекаемый треугольник и трапецию.
Так как площадь отсекаемого треугольника составлят $\dfrac{1}{4}$ от всей площади $S$ , то площадь трапеции равна $\dfrac{3}{4}$ площади исходного треугольника ( $S_{\text{трап}} = \dfrac{3}{4} S_{\triangle ABC}$ ). Помните эту пропорцию $1 : 3$ , она экономит время на ЕГЭ!

Пошаговый алгоритм решения задач профильного ЕГЭ

При решении заданий 1 и 17 из профильного ЕГЭ используйте алгоритм:

Порядок действий:

Установите основание и среднюю линию: определите, какой стороне треугольника параллельна средняя линия, или какие середины сторон объединены.

Примените коэффициент подобия $k = \dfrac{1}{2}$ :
- Для линейных размеров (сторон, средних линий, высот, периметров) используйте соотношение $1 : 2$ .
- Для площадей используйте соотношение $1 : 4$ (отсекаемый треугольник) или $3 : 4$ (четырёхугольник/трапеция).

Выполните расчёт: подставьте данные в формулу и запишите искомый числовой ответ.

Разбор прототипов Задания 1 профильного ЕГЭ по математике

Рассмотрите решения типовых задач первого номера профильного ЕГЭ.

Пример 1: Нахождение площади отсекаемого треугольника (Задание 1)

Задание: Площадь треугольника $ABC$ равна $128$ . Отрезок $MN$ — средняя линия треугольника $ABC$ , параллельная стороне $AC$ . Найдите площадь треугольника $MBN$ .

Подробное решение:

1) По свойству средней линии, $\triangle MBN \sim \triangle ABC$ с коэффициентом подобия $k = \dfrac{1}{2}$ .

2) Отношение площадей подобных треугольников равно $k^2 = \dfrac{1}{4}$ .

3) Следовательно, площадь отсекаемого треугольника равна:
$S_{\triangle MBN} = \dfrac{1}{4} S_{\triangle ABC} = \dfrac{128}{4} = 32$ .

Ответ: $32$ .

Пример 2: Нахождение периметра треугольника по средним линиям (Задание 1)

Задание: Периметр треугольника, образованного средними линиями данного треугольника, равен $14$ . Найдите периметр исходного треугольника.

Подробное решение:

1) Каждая средняя линия равна половине соответствующей стороны исходного треугольника:
$MN = \dfrac{1}{2}AC$ , $NK = \dfrac{1}{2}AB$ , $MK = \dfrac{1}{2}BC$ .

2) Периметр внутреннего треугольника $MNK$ равен:
$P_{\triangle MNK} = MN + NK + MK = \dfrac{1}{2}(AC + AB + BC) = \dfrac{1}{2}P_{\triangle ABC}$ .

3) Отсюда периметр исходного треугольника в $2$ раза больше периметра внутреннего треугольника:
$P_{\triangle ABC} = 2 \cdot P_{\triangle MNK} = 2 \cdot 14 = 28$ .

Ответ: $28$ .

Тренажёры по теме «Средняя линия треугольника» на Экзамео

Закрепите теоремы и свойства средней линии треугольника на практике с помощью интерактивных онлайн-тренажёров образовательной платформы Экзамео. Все планиметрические задачи, карточки и проверочные тесты по теме «Средняя линия треугольника» для профильного ЕГЭ по математике составлены строго в соответствии с актуальным банком ФИПИ и спецификациями ЕГЭ.

В базе платформы представлены сотни прототипов Задания 1 и сложных планиметрических задач с автоматической проверкой ответов и подробными видеоразборами и математическими решениями. Переходите к тренажёрам по планиметрии на Экзамео, тренируйтесь в удобном темпе и уверенно забирайте максимальные баллы на ЕГЭ по математике!

Практика

Задачи сейчас заполняются

Уже готовим задания по теме: добавляем варианты, проверку ответов и понятные разборы после попытки.

Подбираем заданияПроверяем ответыГотовим разборы