Средняя линия треугольника: свойства и решение задач

На данной странице представлен полный разбор темы «Средняя линия треугольника» для подготовки к профильному ЕГЭ по математике - абсолютно вся теория, теоремы и свойства, а так же тренажёры по заданиям открытого банка ФИПИ от составителей ЕГЭ по математике на среднюю линию треугольника, которые помогут вам закрепить теорию.

Тема «Средняя линия треугольника» регулярно встречается на ЕГЭ по математике как профильного, так и базового уровня в качестве самостоятельного элемента в 1 задании на профиле(12го на базе) , так и в качестве шага доказательства или расчёта в заданиях второй части на стереометрию и планиметрию.

Средняя линия треугольника - теория для ЕГЭ по математике

Ниже подробно разобраны определение, основные свойства и доказательства ключевых теорем о средней линии, которые будут лежать в основе решения заданий на ЕГЭ по математике.

Определение и теорема о средней линии

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Теорема о средней линии треугольника:

Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон:
1. Параллельна третьей стороне (основанию): $KL \parallel AC$ .
2. Равна половине этой стороны: $KL = \dfrac{1}{2}AC$ .

Доказательство теоремы о средней линии через подобие треугольников

Доказательство:

1) Пусть в $\triangle ABC$ точка $K$ — середина $AB$ , точка $L$ — середина $BC$ . Рассмотри отсекаемый треугольник $\triangle KBL$ и исходный треугольник $\triangle ABC$ .

2) Сторона $KB = \dfrac{1}{2}AB$ , а сторона $LB = \dfrac{1}{2}CB$ . Следовательно, пропорция сторон:

\dfrac{KB}{AB}=\dfrac{LB}{CB}=\dfrac{1}{2}

3) Угол $\angle B$ является общим для $\triangle KBL$ и $\triangle ABC$ . По второму признаку подобия (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними) $\triangle KBL \sim \triangle ABC$ с коэффициентом подобия $k = \dfrac{1}{2}$ .

4) Из подобия следует:

• Соответственные углы равны: $\angle BKL = \angle BAC$ . Так как эти углы соответственные при прямых $KL$ и $AC$ и секущей $AB$ , то $KL \parallel AC$ .

• Отношение третьих сторон равно коэффициенту подобия: $\dfrac{KL}{AC} = k = \dfrac{1}{2} \implies KL = \dfrac{1}{2}AC$ .

Теорема доказана.

Свойства средней линии для ЕГЭ по математике

Всего для экзамена нужно запомнить 4 свойства, которые могут пригодиться и в первой, и во второй части ЕГЭ по математике в задачах со средней линией, давайте разберем их.

1. Подобие отсекаемоего треугольника:

Средняя линия отсекает треугольник ( $\triangle MBN$ ), который подобен исходному ( $\triangle ABC$ ) с коэффициентом подобия $k = \dfrac{1}{2}$ .

2. Периметр отсекаемого треугольника:

Периметр отсекаемого треугольника равен половине периметра исходного:

P_{\triangle MBN} = \dfrac{1}{2} P_{\triangle ABC}

3. Площадь отсекаемого треугольника:

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия

k^2 = \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4}

Значит, площадь отсекаемого треугольника равна $\dfrac{1}{4}$ площади исходного:

S_{\triangle MBN} = \dfrac{1}{4} S_{\triangle ABC}

4. Разбиение на 4 равных треугольника:

Если провести все три средние линии треугольника, они разивают исходный треугольник на 4 равных между собой треугольника одинаковой площади.

Все треугольники на этом рисунке внутри треугольника ABC равны друг-другу

Площадь получившейся трапеции! 💡

Один из прототипов 1 задания на профильном ЕГЭ по математике связано с трапецией, которая образуется при проведении средней линии.

Средняя линия делит треугольник на маленький отсекаемый треугольник и трапецию. Так как площадь отсекаемого треугольника составлят $\dfrac{1}{4}$ от всей площади $S$ , то площадь трапеции равна $\dfrac{3}{4}$ площади исходного треугольника ( $S_{\text{трап}} = \dfrac{3}{4} S_{\triangle ABC}$ ).

Помните эту пропорцию $1 : 3$ , она экономит время на ЕГЭ!

Разбор прототипов 1 задания профильного ЕГЭ по математике

Рассмотрите решения типовых задач первого номера профильного ЕГЭ по математике на среднюю линию треугольника.

Пример 1: Нахождение площади отсекаемого треугольника (Задание 1)

Задание: Площадь треугольника $ABC$ равна $128$ . Отрезок $MN$ — средняя линия треугольника $ABC$ , параллельная стороне $AC$ . Найдите площадь треугольника $MBN$ .

Подробное решение:

1) По свойству средней линии, $\triangle MBN \sim \triangle ABC$ с коэффициентом подобия $k = \dfrac{1}{2}$ .

2) Отношение площадей подобных треугольников равно $k^2 = \dfrac{1}{4}$ .

3) Следовательно, площадь отсекаемого треугольника равна:
$S_{\triangle MBN} = \dfrac{1}{4} S_{\triangle ABC} = \dfrac{128}{4} = 32$ .

Ответ: $32$ .

Пример 2: Нахождение периметра треугольника по средним линиям (Задание 1)

Задание: Периметр треугольника, образованного средними линиями данного треугольника, равен $14$ . Найдите периметр исходного треугольника.

Подробное решение:

1) Каждая средняя линия равна половине соответствующей стороны исходного треугольника:
$MN = \dfrac{1}{2}AC$ , $NK = \dfrac{1}{2}AB$ , $MK = \dfrac{1}{2}BC$ .

2) Периметр внутреннего треугольника $MNK$ равен:
$P_{\triangle MNK} = MN + NK + MK = \dfrac{1}{2}(AC + AB + BC) = \dfrac{1}{2}P_{\triangle ABC}$ .

3) Отсюда периметр исходного треугольника в $2$ раза больше периметра внутреннего треугольника:
$P_{\triangle ABC} = 2 \cdot P_{\triangle MNK} = 2 \cdot 14 = 28$ .

Ответ: $28$ .

Тренажёры по теме «Средняя линия треугольника» на Экзамео

Закрепите теоремы и свойства средней линии треугольника на практике с помощью интерактивных онлайн-тренажёров образовательной платформы Экзамео. Все задачи составлены строго в соответствии с актуальным банком задач ФИПИ и спецификациями ЕГЭ. К каждому заданию вы найдете подробное решение, которое поможет разобраться в задаче.

Практика

Задачи сейчас заполняются

Уже готовим задания по теме: добавляем варианты, проверку ответов и понятные разборы после попытки.

Подбираем заданияПроверяем ответыГотовим разборы