Пирамида 10 класс: теория, формулы, сечения и задачи

Тема «Пирамида» в 10 классе по геометрии — это очень важный раздел курса стереометрии, на котором базируются задачи контрольных работ, пространственные чертежи и задания в ЕГЭ по математике как базового, так и профильного уровня.

На этой странице представлен подробный разбор темы, названия всех элементов фигуры, классификация видов пирамид, формулы площадей и объёма, правила построения сечений, а также тренажёры с заданиями для подготовки к самостоятельным работам и ЕГЭ с подробными решениями и объяснениями, которые помогут разобраться в теме.

Анатомия пирамиды: названия элементов и обозначения

Пирамида - многогранник, одна из граней которого является произвольным многоугольником (основанием), а все остальные грани — треугольниками, имеющими одну общую вершину (боковыми гранями).

По числу углов основания пирамида называется треугольной (тетраэдром), четырёхугольной, пятиугольной и так далее.

• Основание: многоугольник, лежащий внизу фигуры (например, четырёхугольник $ABCD$ ). Стороны этого многоугольника называются рёбрами основания.

• Вершина пирамиды ( $S$ ): общая точка, в которой сходятся все боковые грани.

• Боковые рёбра: отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания ( $SA, SB, SC, SD$ ).

• Боковые грани: треугольники с общей вершиной $S$ ( $SAB, SBC, SCD, SDA$ ). Их совокупность образует боковую поверхность.

• Высота пирамиды ( $h$ или $H$ ): перпендикуляр, опущенный из вершины $S$ на плоскость основания. Точка пересечения высоты с плоскостью основания называется основанием высоты.

• Апофема ( $l$ ): высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины к ребру основания.

Четырехугольная пирамида со всеми элементами

Пирамида в 10 классе

В 10 классе разбираются следующие виды пирамид, которые чаще всего встречаются в самостоятельных и контрольных :

Вид 1

Правильная пирамида

В основании лежит правильный многоугольник (равносторонний $\triangle$ , квадрат), а высота падает точно в его геометрический центр. Все боковые рёбра равны, а боковые грани — равные равнобедренные треугольники.

Вид 2

Прямоугольная пирамида

Пирамида, у которой одно из боковых рёбер перпендикулярно плоскости основания. Это ребро одновременно является и высотой пирамиды ( $h = SA$ ).

Вид 3

Усечённая пирамида

Часть пирамиды, заключённая между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию. Имеет два подобных основания и боковые грани в виде трапеций.

Вид 4

Тетраэдр (треугольная пирамида)

Пирамида, все грани которой — треугольники. Любую грань тетраэдра можно считать основанием. Если все 4 грани — равные правильные треугольники, тетраэдр называют правильным.

Вид 5

Пирамиды с равными углами

Если все боковые рёбра наклонены к основанию под одним углом, высота падает в центр описанной окружности. Если одинаковы двугранные углы при основании — в центр вписанной окружности.

Формулы площади и объёма пирамиды

Для решения задач и самостоятельных работ используются ключевые метрические формулы:

Объём

Формула объёма

Одна треть произведения площади основания на высоту:

V = \dfrac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot h

Боковая поверхность

Для правильной пирамиды

Половина произведения периметра основания на апофему $l$ :

S_{\text{бок}} = \dfrac{1}{2} P_{\text{осн}} \cdot l

Полная площадь

Площадь всей поверхности

Сумма площади основания и всех боковых граней:

S_{\text{полн}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}}

Сечения пирамиды и методы их построения

Тема «Сечения пирамиды в 10 классе» — одна из самых ответственных в курсе геометрии. Секущая плоскость пересекает грани многогранника по отрезкам, образуя в сечении многоугольник (треугольник, четырёхугольник и т. д.). Раскройте блоки с ключевыми правилами:

1. Диагональное сечение пирамиды

Диагональное сечение проходит через два не смежных боковых ребра пирамиды (для четырёхугольной или $n$ -угольной пирамиды при $n \ge 4$ ).

• Секущая плоскость содержит высоту пирамиды и диагональ её основания.

• Диагональным сечением любой четырёхугольной пирамиды всегда является треугольник (в правильной пирамиде — равнобедренный треугольник $SAC$ или $SBD$ ).

• Площадь диагонального сечения рассчитывается по формуле: $S_{\text{сеч}} = \dfrac{1}{2} d_{\text{осн}} \cdot h$ .

2. Сечение плоскостью, параллельной основанию (теорема о параллельном сечении)

Если плоскость пересекает пирамиду параллельно её основанию, выполняются три ключевых свойства:

1. Боковые рёбра и высота пирамиды делятся этой плоскостью на пропорциональные части: $\dfrac{SA_1}{SA} = \dfrac{h_1}{h} = k$ .

2. Сечение представляет собой многоугольник, подобный основанию, с коэффициентом подобия $k$ .

3. Площади сечения и основания относятся как квадрат коэффициента подобия: $\dfrac{S_{\text{сеч}}}{S_{\text{осн}}} = k^2 = \left(\dfrac{h_1}{h}\right)^2$ .

4. Объём отсекаемой верхней пирамиды относится к объёму всей пирамиды как куб коэффициента: $\dfrac{V_1}{V} = k^3$ .

3. Построение сечений методом следов

Метод следов применяется, когда сечение задано тремя точками, лежащими на рёбрах или гранях пирамиды:

• След — это прямая, по которой секущая плоскость пересекает плоскость грани (или основания).

• Правило 1: Если две точки сечения лежат в плоскости одной грани, соединяем их отрезком прямо на чертеже.

• Правило 2: Продлеваем полученную прямую до пересечения с рёбрами или продолжениями сторон основания. Точка пересечения принадлежит следу плоскости в основании.

• Правило 3: Соединяем след с третьей заданной точкой и находим точки входа секущей плоскости на остальных гранях.

Практический разбор типовых задач для 10 класса

Ниже приведены образцовые решения задач, наиболее частых в контрольных и самостоятельных работах за 10 класс:

Задача 1: Нахождение площади полной поверхности правильной четырёхугольной пирамиды

Условие: В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания равна $6$ , а боковое ребро равно $5$ . Найдите апофему пирамиды и площадь её полной поверхности.

Пошаговое решение:

1) Основание пирамиды — квадрат со стороной $a = 6$ . Площадь основания:

S_{\text{осн}} = a^2 = 6^2 = 36

2) Рассмотрим боковую грань $SAB$ — равнобедренный треугольник с боковыми сторонами $SA = SB = 5$ и основанием $AB = 6$ . Проведём апофему $SK \perp AB$ . В равнобедренном треугольнике высота к основанию делит его пополам:

AK = KB = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{6}{2} = 3

3) В прямоугольном треугольнике $SKA$ найдём апофему $SK = l$ по теореме Пифагора:

l = \sqrt{SA^2 - AK^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4

4) Периметр основания квадрата: $P = 4 \cdot 6 = 24$ . Площадь боковой поверхности:

S_{\text{бок}} = \dfrac{1}{2} P l = \dfrac{1}{2} \cdot 24 \cdot 4 = 48

5) Площадь полной поверхности:

S_{\text{полн}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = 36 + 48 = 84

Ответ: апофема равна 4; площадь полной поверхности равна 84.

Задача 2: Сечение параллельно основанию и отношение объёмов

Условие: Высота пирамиды равна $12$ . Плоскость, параллельная основанию, делит высоту в отношении $1 : 2$ , считая от вершины. Найдите площадь сечения, если площадь основания равна $72$ .

Пошаговое решение:

1) Плоскость делит высоту в отношении $1 : 2$ , считая от вершины. Значит, вся высота делится на $1 + 2 = 3$ равные части.

2) Расстояние от вершины до плоскости сечения составляет $1$ часть из $3$ . Следовательно, коэффициент подобия верхней отсекаемой пирамиды ко всей пирамиде равен:

k = \dfrac{1}{3}

3) По теореме о параллельном сечении площади относятся как квадрат коэффициента подобия:

\dfrac{S_{\text{сеч}}}{S_{\text{осн}}} = k^2 = \left(\dfrac{1}{3}\right)^2 = \dfrac{1}{9}

4) Вычислим площадь сечения:

S_{\text{сеч}} = \dfrac{1}{9} \cdot S_{\text{осн}} = \dfrac{72}{9} = 8

Ответ: 8.

Задача 3: Объём треугольной пирамиды с перпендикулярным ребром

Условие: В основании треугольной пирамиды $SABC$ лежит прямоугольный треугольник с катетами $AB = 6$ и $AC = 8$ . Боковое ребро $SA$ перпендикулярно плоскости основания и равно $9$ . Найдите объём пирамиды.

Пошаговое решение:

1) Основание — прямоугольный треугольник. Его площадь равна половине произведения катетов:

S_{\text{осн}} = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24

2) Так как ребро $SA$ перпендикулярно плоскости основания, оно совпадает с высотой пирамиды:

h = SA = 9

3) Найдём объём пирамиды по формуле:

V = \dfrac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot h = \dfrac{1}{3} \cdot 24 \cdot 9 = 24 \cdot 3 = 72

Ответ: 72.

Ошибки в заданиях с пирамидами

При выполнении самостоятельных работ по стереометрии учащиеся чаще всего допускают следующие три ошибки:

Путаница между высотой и апофемой

Высота пирамиды $h$ падает в центр основания, а апофема $l$ лежит на наклонной боковой грани. В прямоугольном треугольнике внутри фигуры апофема всегда является гипотенузой ( $l > h$ )!

Потеря коэффициента 1/3 в формуле объёма

Формулу объёма пирамиды путают с формулой призмы ( $S_{\text{осн}} \cdot h$ ). Объём пирамиды всегда в 3 раза меньше соответствующей призмы с таким же основанием и высотой.

Линейное отношение площадей в сечениях

Если высота делится в отношении $1 : 2$ ( $k = \frac{1}{3}$ ), площадь сечения ошибочно делят на $3$ вместо $k^2 = 9$ . Площади подобных плоских фигур пропорциональны квадрату коэффициента!

Задания на пирамиды для 10 класса

В тренажерах вы найдете задачи разного уровня сложности на пирамиды для 10 класса из контрольных и самостоятельных работ, а так же из ЕГЭ по математике базового и профильного уровня. Для каждого задания доступно решение и автоматическая проверка ответов.

Задача 1

Четырёхугольная пирамида — стороны прямоугольного основания, высота и объём

Темы1

Курсы2

Стереометрическая задача на формулу объёма пирамидыВариант 1

Основанием четырёхугольной пирамиды является прямоугольник со сторонами 10 и 6. Найдите высоту этой пирамиды, если её объём равен 160.

Четырехугольная пирамида для задач

Ваш ответ

Полный тренажер

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

В Экзамео откроются дополнительные задания по теме, проверка прогресса и решения после попытки.

Все тренажёрыПрогресс по темеПерсональный план

Пирамиды в реальной жизни и почему их строили египтяне

Форма пирамиды — одна из самых узнаваемых и прочных конструкций в истории человечества. Сегодня геометрические принципы пирамиды активно используются в архитектуре, технике и дизайне:

Архитектура

Знаменитая стеклянная пирамида Лувра в Париже, небоскрёб «Трансамерика» в Сан-Франциско и гостиничный комплекс «Люксор» в Лас-Вегасе. Форма обеспечивает минимальное сопротивление ветру и высокую освещённость.

Инженерия и кровли

Шатровые крыши старинных башен и современных частных домов имеют форму правильной четырёхугольной или восьмиугольной пирамиды, благодаря чему на них не задерживаются снег и дождевая вода.

Оптика и акустика

Пирамидальные рельефные панели в студиях звукозаписи рассеивают звуковые волны и исключают эхо, а в оптических приборах пирамидальные призмы преломляют световые лучи под заданными углами.

Почему древние египтяне строили усыпальницы именно в форме пирамид?

Выбор пирамидальной формы для монументальных гробниц фараонов (таких как пирамида Хеопса в Гизе) был обусловлен сочетанием законов физики и религиозных представлений древнего мира:

1. Физическая устойчивость и центр тяжести: В эпоху бронзового века у строителей не было железобетона, металлических балок и строительных кранов. Чтобы возвести сооружение высотой свыше $140\text{ метров}$ из массивных каменных блоков весом в несколько тонн, требовалась конструкция, которая не обрушится под собственным весом. У пирамиды широкое основание и сужающаяся кверху верхушка, поэтому её центр тяжести расположен очень низко (на высоте $\frac{1}{4} h$ от основания). Давление равномерно распределяется к земле, что делает пирамиду практически неуязвимой для землетрясений и эрозии на протяжении тысячелетий.

2. Естественный угол откоса: Если насыпать сухой песок или мелкие камни, они самопроизвольно образуют конус или пирамиду с устойчивым углом наклона (около $51^\circ$ – $52^\circ$ , как раз как у пирамиды Хеопса). Египетские зодчие скопировали этот фундаментальный закон природы.

3. Религиозный символизм солнечных лучей: В древнеегипетской мифологии пирамида олицетворяла первозданный холм Бенбен, поднявшийся из первобытного океана, а её наклонные грани символизировали застывшие лучи бога солнца Ра, по которым душа усопшего фараона восходит на небеса.