Тема «Простые и составные числа» в 6 классе — один из основополагающих разделов школьного курса математики, открывающий изучение делимости натуральных чисел, нахождения НОД, НОК и сокращения обыкновенных дробей. Понимание различий между простыми и составными числами необходимо для уверенного выполнения самостоятельных и контрольных работ, а также решения олимпиадных задач.
На этой странице представлен подробный разбор темы: точные правила и определения, статус числа 1, таблица простых чисел, алгоритм разложения составных чисел на простые множители столбиком («дерево множителей») и разбор типовых заданий. После теории вы найдёте тренажёры с подробными решениями и проверкой ответов для тренировки навыков счёта.
Базовые правила: простые и составные числа
Простое число: натуральное число, большее 1, которое имеет ровно два различных делителя: единицу и само себя (например: 2, 3, 5, 7, 11, 13).
Составное число: натуральное число, большее 1, которое имеет более двух делителей (например: 4, 6, 8, 9, 10, 12). Любое составное число можно представить в виде произведения простых множителей.
• Особый статус числа 1: число 1 имеет только один делитель (само себя). Поэтому единица не является ни простым, ни составным числом.
• Единственное чётное простое число: число 2 — это наименьшее простое число и единственное чётное среди всех простых чисел. Все остальные чётные числа делятся на 2, а значит, являются составными.
Классификация натуральных чисел по делителям
Все натуральные числа, начиная с 1, разбиваются по количеству делителей на три группы:
1 делитель
Число 1
Имеет ровно один делитель (1). Не входит в группу простых (так как у простого должно быть 2 делителя) и не входит в группу составных.
2 делителя
Простые числа
Делятся только на 1 и на себя.
Первые простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47... Ряд простых чисел бесконечен.
3 и более делителей
Составные числа
Имеют дополнительные делители.
Например: у числа 4 делители 1, 2, 4; у числа 9 делители 1, 3, 9; у числа 12 делители 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Таблица простых чисел первой сотни
В школьных учебниках математики за 6 класс на форзаце приведена таблица простых чисел. Среди первых 100 натуральных чисел содержится ровно 25 простых чисел:
25 простых чисел до 100:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
Способ нахождения простых чисел среди первых чисел называется решетом Эратосфена. Из общего ряда вычёркивают единицу, затем оставляют 2 и вычёркивают все последующие числа, кратные 2 (4, 6, 8...), затем оставляют 3 и вычёркивают кратные 3 (6, 9, 12...) и так далее. Оставшиеся невычеркнутыми числа и есть простые.
Разложение составных чисел на простые множители
Основная теорема арифметики: любое составное натуральное число можно представить в виде произведения простых множителей, и это разложение единственно (с точностью до порядка следования множителей).
Чтобы разложить составное число на простые множители, применяют запись вертикальной чертой (столбиком):
Проверяем признаки делимости:
Записываем число слева от черты. Подбираем наименьший простой делитель числа (начиная с 2, затем 3, 5, 7 и т. д.), используя признаки делимости по последней цифре или сумме цифр.
Делим число на простой множитель:
Записываем найденный простой множитель справа от вертикальной черты, а результат деления (частное) — слева под исходным числом.
Повторяем процесс до единицы:
Продолжаем деление нового частного на простые делители до тех пор, пока слева не останется число 1. Произведение всех чисел справа от черты и есть разложение исходного числа.
Пример разложения: число 360 на простые множители
Задание: Разложите число 360 на простые множители и запишите результат в виде степеней.
Пошаговый разбор делением столбиком:
•
•
•
•
•
•
Собираем все делители в произведение:
$$360 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5$$
Объединяем одинаковые множители в степени:
$$360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$$
Ответ: .
Заметка: составные множители писать нельзя
• В разложении на простые множители справа от черты имеют право стоять только простые числа (2, 3, 5, 7, 11...).
• Запись является верным равенством, но не является разложением на простые множители, так как 4, 9 и 10 — составные числа.
Ошибки при изучении простых и составных чисел
При выполнении контрольных и самостоятельных работ учащиеся 6 класса чаще всего допускают следующие три ошибки:
Причисление единицы к простым числам
Ошибочно считают число 1 простым. По строгой формулировке простое число обязано иметь ровно 2 различных делителя, а у единицы он всего один. Число 1 — особенное число, ни простое, ни составное.
Путаница «нечётное» и «простое»
Считают, что все нечётные числа — простые. Это грубая ошибка: числа 9, 15, 21, 25, 27, 33 нечётные, но при этом составные, так как имеют делители помимо единицы и самих себя (например, ).
Использование составных делителей при разложении
При делении столбиком делят сразу на 4, 6, 8 или 10. Делить разрешено только на простые делители: вместо деления на 4 делят дважды на 2, вместо деления на 10 делят сначала на 2, затем на 5.
Задания и тренажёр по простым и составным числам на Экзамео
В интерактивных тренажёрах Экзамео собраны практические задания по теме «Простые и составные числа» для 6 класса: определение вида числа по таблице и признакам делимости, поиск делителей, быстрое разложение составных чисел на простые множители столбиком и подготовка к самостоятельным работам. Каждое упражнение сопровождается мгновенной проверкой ответов и подробным разбором решения.
Простое или составное число?
Темы1
Курсы2
Является ли число 75 простым?
В поле ответа запишите да или нет.
Выбор простого числа среди составных
Темы2
Курсы2
Среди предложенных чисел найдите простое число:
В поле ответа запишите найденное простое число.