Стандартный вид числа - теория и тренажёры. Алгебра 8 класс

Стандартный вид числа — это способ записи чисел, который широко используется в науке, технике и повседневной жизни для работы с очень большими и очень малыми величинами. Расстояние до ближайшей звезды, масса атома, размеры микробов и огромные космические расстояния — все эти числа удобно записывать в стандартном виде. В 8 классе вы научитесь правильно записывать числа в стандартном виде, определять их порядок и выполнять действия с такими числами.

На этой странице вы найдёте всё, что нужно знать о стандартном виде числа: определение, алгоритм преобразования, примеры из науки и техники, а также задания для самостоятельной работы. Материал структурирован так, чтобы у вас не осталось вопросов после прочтения.

Стандартный вид числа — это запись числа в виде $a \cdot 10^n$ , где $1 \le a < 10$ , а $n$ — целое число.

Число $a$ называется мантиссой, а число $n$ — порядком числа.

Важно: Мантисса всегда должна быть больше или равна 1 и строго меньше 10.

Зачем нужен стандартный вид числа

В науке и технике встречаются как очень большие, так и очень малые положительные числа. Например, большим числом выражается площадь поверхности Солнца — $6\,090\,000\,000\,000\,000\, \text{м}^2$ , а малым — масса вируса, которая равна $0,0000000000000000009 \, \text{кг}$ . Все эти варианты записи чисел крайне неудобны.

Почему это неудобно

В обычном десятичном виде большие и малые числа имеют несколько очень важных недостатков, которые усложняют расчёты:

Неудобно читать — легко ошибиться в количестве нулей;
Неудобно записывать — требуется много места;
Неудобно выполнять действия — умножение и деление становятся громоздкими. Представьте, что вам нужно перемножить $6\,090\,000\,000\,000\,000$ и $0,0000000000000000009$ . В стандартном виде это делается за несколько секунд: $(6,09 \cdot 10^{15}) \cdot (9 \cdot 10^{-19}) = 5,481 \cdot 10^{-3}$ .

Как записать число в стандартном виде

Переводить в стандартный вид числа и считать в нём намного удобнее и быстрее. Рассмотрим пошаговый алгоритм преобразования чисел в стандартный вид — это поможет вам избавиться от ошибок в самых разных предметах, начиная от математики и заканчивая физикой или химией.

Пошаговый алгоритм перевода числа в стандартный вид

В числе поставить запятую так, чтобы в целой части оказалась одна цифра (отличная от нуля).

Посчитать, на сколько знаков влево или вправо была перенесена запятая.

**Записать число в виде $a \cdot 10^n$ **, где $a$ — полученное число с одной цифрой в целой части, а $n$ — количество знаков, на которое была перенесена запятая (со знаком «+», если переносили влево, и «−», если переносили вправо).

Пример 1: Большое число

Пример 1: Представление числа 7 280 000 в стандартном виде

Представим в стандартном виде число $a = 7\,280\,000$ .

Решение:

В числе $7\,280\,000$ поставим запятую так, чтобы в целой части оказалась одна цифра. Получим 7,28.

Отделив запятой 6 цифр справа, мы уменьшили число $a$ в $10^6$ раз. Поэтому $a$ больше числа $7,28$ в $10^6$ раз.

Отсюда:

$7\,280\,000 = 7,28 \cdot 10^6$

Мантисса: $7,28$ ; порядок: $6$ .

Пример 2: Малое число

Пример 2: Представление числа 0,000903 в стандартном виде

Представим в стандартном виде число $a = 0,000903$ .

Решение:

В числе $0,000903$ переставим запятую так, чтобы в целой части оказалась одна отличная от нуля цифра. Получим 9,03.

Переставив запятую на четыре знака вправо, мы увеличили число $a$ в $10^4$ раз. Поэтому число $a$ меньше числа $9,03$ в $10^4$ раз.

Отсюда:

$0,000903 = 9,03 \cdot 10^{-4}$

Мантисса: $9,03$ ; порядок: $-4$ .

Примеры стандартного вида чисел в науке

В науке и технике стандартный вид числа используется постоянно. Вот наглядные примеры из астрономии, биологии и физики:

Площадь поверхности Солнца

$6\,090\,000\,000\,000\,000 \, \text{м}^2$

= ** $6,09 \cdot 10^{15} \, \text{м}^2$ **

(Порядок: 15)

🦠 Масса вируса

$0,0000000000000000009 \, \text{кг}$

= ** $9 \cdot 10^{-19} \, \text{кг}$ **

(Порядок: -19)

✨ Расстояние до звезды

$39\,900\,000\,000\,000\,000 \, \text{км}$

= ** $3,99 \cdot 10^{16} \, \text{км}$ **

(Порядок: 16)

🩸 Диаметр эритроцита

$0,000008 \, \text{м}$

= ** $8 \cdot 10^{-6} \, \text{м}$ **

(Порядок: -6)

🌍 Масса Земли

$5\,970\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000 \, \text{кг}$

= ** $5,97 \cdot 10^{24} \, \text{кг}$ **

(Порядок: 24)

⚛️ Радиус атома золота

$0,000000000174 \, \text{м}$

= ** $1,74 \cdot 10^{-10} \, \text{м}$ **

(Порядок: -10)

Что такое порядок числа

Порядок числа даёт представление о том, насколько велико или мало это число.

Как порядок описывает число

Если порядок числа $a$ равен $5$ , то $100\,000 \le a < 1\,000\,000$ .

Если порядок числа $a$ равен $-3$ , то $0,001 \le a < 0,01$ .

Выводы:
Большой положительный порядок показывает, что число очень велико.
Большой по модулю отрицательный порядок показывает, что число очень мало.
Нулевой порядок* означает, что число находится в промежутке от $1$ до $10$ (не включая $10$ ).

Важно запомнить: Порядок числа $n$ показывает, на сколько разрядов нужно перенести запятую в числе $a$ , чтобы получить исходное число. Если $n > 0$ , запятую переносят вправо; если $n < 0$ — влево.

Действия с числами в стандартном виде

Одно из главных преимуществ стандартного вида — простота выполнения арифметических действий с большими числами. Особенно важно это будет при изучении физики и химии. В определённый момент изучения школьной программы числа просто перестанут влазить в калькулятор, и придётся пользоваться стандартным видом.

Умножение

$(a \cdot 10^n) \cdot (b \cdot 10^m) = (a \cdot b) \cdot 10^{n+m}$

Пример:

$(4 \cdot 10^7) \cdot (2,5 \cdot 10^{-3}) = 10 \cdot 10^4 = 1 \cdot 10^5$

Важно: Если $a \cdot b \ge 10$ , нужно дополнительно перенести запятую и увеличить порядок.

Деление

$(a \cdot 10^n) : (b \cdot 10^m) = \dfrac{a}{b} \cdot 10^{n-m}$

Пример:

$(8,4 \cdot 10^8) : (2 \cdot 10^{-3}) = 4,2 \cdot 10^{11}$

Важно: Если $\dfrac{a}{b} < 1$ , нужно дополнительно перенести запятую и уменьшить порядок.

Сложение и вычитание

Чтобы сложить или вычесть числа в стандартном виде, они должны иметь одинаковый порядок. Если порядки разные, меньшее число преобразуют, изменяя мантиссу и порядок так, чтобы порядки сравнялись.

Алгоритм:
1) Привести числа к одному порядку (обычно к большему).
2) Сложить или вычесть мантиссы.
3) Если полученная мантисса выходит за пределы $[1; 10)$ , привести результат к стандартному виду.

Пример сложения:

$3,2 \cdot 10^5 + 4,8 \cdot 10^5 = (3,2 + 4,8) \cdot 10^5 = 8,0 \cdot 10^5$

Пример вычитания:

$7,5 \cdot 10^6 - 3,2 \cdot 10^6 = (7,5 - 3,2) \cdot 10^6 = 4,3 \cdot 10^6$

Пример с разными порядками:

$3,2 \cdot 10^5 + 4,8 \cdot 10^4 = 3,2 \cdot 10^5 + 0,48 \cdot 10^5 = (3,2 + 0,48) \cdot 10^5 = 3,68 \cdot 10^5$

Важно: При сложении или вычитании чисел с разными порядками всегда нужно сначала привести их к одному порядку. Иначе складывать или вычитать мантиссы нельзя!

Сравнение чисел в стандартном виде

Чтобы сравнить два числа, записанных в стандартном виде, сначала сравнивают порядки, а затем — мантиссы.

Правила сравнения

Сравнение по порядкам:

Если $n > m$ , то $a \cdot 10^n > b \cdot 10^m$ при любых $a$ и $b$ (кроме случая, когда $a = b = 0$ ).

Сравнение при одинаковых порядках:

Если $n = m$ , то сравниваются мантиссы: $a \cdot 10^n > b \cdot 10^n$ , если $a > b$ .

Примеры:

$2,5 \cdot 10^8 > 9,9 \cdot 10^7$ (так как $8 > 7$ )

$4,2 \cdot 10^6 < 7,8 \cdot 10^6$ (так как $4,2 < 7,8$ )

Преобразование обыкновенных дробей в стандартный вид

Любое положительное число можно представить в стандартном виде, включая обыкновенные дроби.

Пример: преобразование дроби

Представим в стандартном виде дробь $\dfrac{36}{2500}$ .

Решение:

$\dfrac{36}{2500} = 0,0144$

Теперь переведём в стандартный вид:

$0,0144 = 1,44 \cdot 10^{-2}$

Ответ: $\dfrac{36}{2500} = 1,44 \cdot 10^{-2}$

Совет: При решении заданий помните, что мантисса всегда должна быть в промежутке $[1; 10)$ . Если после преобразования $a$ оказалось меньше $1$ или больше $10$ , нужно скорректировать порядок.

Тренажёры по стандартному виду числа

На платформе Экзамео вы найдёте множество интерактивных тренажёров по теме «Стандартный вид числа». Мы подготовили задания разного уровня сложности — от преобразования чисел до выполнения арифметических действий с числами в стандартном виде.

Каждое задание в тренажёре сопровождается подробным решением и объяснением, что позволяет не просто получить ответ, но и понять алгоритм выполнения. Решайте задания в удобном для вас темпе, а система подскажет, если вы допустили ошибку.

Особое внимание уделено отработке навыков определения порядка числа и преобразования чисел из одного вида в другой — эти навыки необходимы для решения задач по физике, химии и в других точных науках, а также для успешной сдачи ОГЭ и ЕГЭ по математике.

Машинный вид числа на калькуляторе

Когда вы работаете с инженерным или научным калькулятором, вы наверняка замечали странную запись чисел, например: 1.23E+05 или 4.56E-07. Это так называемый машинный (экспоненциальный) вид числа - способ представления чисел, который используют калькуляторы и компьютеры для работы с очень большими и очень маленькими значениями.

Как выглядит машинный вид

В машинном виде число записывается так:

M E ± n

где:
M - мантисса (число от 1 до 10, но на калькуляторе часто от 1 до 100);
E - означает «умножить на 10 в степени» (от английского Exponent);
± n - порядок числа со знаком.

Примеры:
$1.23E+05$ означает $1,23 \cdot 10^5 = 123\,000$
$4.56E-07$ означает $4,56 \cdot 10^{-7} = 0,000000456$
$9.99E+12$ означает $9,99 \cdot 10^{12} = 9\,990\,000\,000\,000$
$2.50E-03$ означает $2,50 \cdot 10^{-3} = 0,0025$

📌 Важно запомнить: Буква E на калькуляторе не означает число Эйлера ( $e \approx 2,718$ ). Это просто обозначение степени числа 10. В разных калькуляторах может использоваться обозначение EXP или ×10^.

Как перевести машинный вид в обычный

Правила перевода

Если E+ n:

Переносим запятую в мантиссе на n знаков вправо, дописывая нули при необходимости.

Пример: $5.67E+08 = 567\,000\,000$

Если E- n:

Переносим запятую в мантиссе на n знаков влево, дописывая нули перед числом.

Пример: $5.67E-08 = 0,0000000567$

Примеры перевода

Пример: перевод чисел из машинного вида

Пример 1: $3.14E+06$

$3.14E+06 = 3,14 \cdot 10^6 = 3\,140\,000$

Пример 2: $1.23E-04$

$1.23E-04 = 1,23 \cdot 10^{-4} = 0,000123$

Пример 3: $6.022E+23$ (число Авогадро)

$6.022E+23 = 6,022 \cdot 10^{23} = 602\,200\,000\,000\,000\,000\,000\,000$

Пример 4: $1.67E-27$ (масса атома водорода)

$1.67E-27 = 1,67 \cdot 10^{-27} = 0,00000000000000000000000000167$

💡 Совет: На многих калькуляторах машинный вид включается автоматически, когда число становится слишком большим или слишком маленьким для обычного отображения. Вы можете переключить режим отображения на обычный, нажав кнопку MODE или ENG.