Теорема о касательной и секущей 8 класс - теория и задачи с решениями

На данной странице разберем теорему о касательной и секущей для 8 класса. Это одна из фундаментальных метрических теорем раздела «Окружность», связывающая линейные размеры отрезков прямых, проведённых к окружности из одной внешней точки. Ниже представлена строгая формулировка теоремы, доказательство через подобие треугольников, сводная таблица соотношений в окружности, алгоритм решения задач и тренажёры с проверкой ответов и подробными решениями.

Знание теоремы о касательной и секущей и её следствия (теоремы о двух секущих) является обязательным для успешного выполнения контрольных работ 8 класса, решения геометрических заданий №16 в первой части ОГЭ по математике и задач второй части.

Формулировка теоремы о касательной и секущей

Теорема о касательной и секущей: если из точки $P$ , лежащей вне окружности, проведены касательная $PA$ и секущая $PC$ , то квадрат длины отрезка касательной равен произведению длины всей секущей на длину её внешней части.

Математическая запись теоремы по чертежу:

PA^2 = PB \cdot PC

• Отрезок касательной ( $PA$ ): отрезок прямой от внешней точки $P$ до точки касания $A$ на окружности.

• Вся секущая ( $PC$ ): расстояние от внешней точки $P$ до дальней точки пересечения секущей с окружностью ( $PC = PB + BC$ , где $BC$ — длина внутренней хорды).

• Внешняя часть секущей ( $PB$ ): отрезок секущей от внешней точки $P$ до первой (ближней) точки пересечения с окружностью $B$ .

Теорему о касательной и секущей проще всего запоминать визуально, на рисунке эти отрезки выглядят следующим образом:

Касательная и секущая иллюстрация для запоминания

Доказательство теоремы через подобие треугольников PAB и PCA

Дано: окружность; точка $P$ вне окружности; $PA$ — касательная ( $A$ — точка касания); прямая $PC$ — секущая, пересекающая окружность в точках $B$ и $C$ (точка $B$ лежит между $P$ и $C$ ).

Доказать: $PA^2 = PB \cdot PC$ .

Доказательство:

1. Проведём хорды $AB$ и $AC$ . Рассмотрим два треугольника: $\Delta PAB$ и $\Delta PCA$ .

2. Угол при вершине $P$ является общим для обоих треугольников: $\angle APB = \angle CPA$ .

3. Исследуем угол $\angle PAB$ , образованный касательной $PA$ и хордой $AB$ :

• По теореме об угле между касательной и хордой, градусная мера угла $\angle PAB$ равна половине дуги окружности, заключённой внутри него: $\angle PAB = \dfrac{1}{2} \smile AB$ .

• Угол $\angle PCA$ (или $\angle BCA$ ) является вписанным углом, опирающимся на ту же самую дугу $AB$ . По теореме о вписанном угле: $\angle PCA = \dfrac{1}{2} \smile AB$ .

• Следовательно, углы равны: $\angle PAB = \angle PCA$ .

4. Треугольники $\Delta PAB$ и $\Delta PCA$ имеют два соответственно равных угла ( $\angle P$ — общий, $\angle PAB = \angle PCA$ ). По первому признаку подобия треугольников:

\Delta PAB \sim \Delta PCA

5. Из подобия треугольников следует пропорциональность сходственных сторон (лежащих против равных углов):

\dfrac{PA}{PC} = \dfrac{PB}{PA}

6. Применим основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

PA \cdot PA = PB \cdot PC \implies PA^2 = PB \cdot PC

Теорема полностью доказана.

Доказательство теоремы о касательной и секущей

Теорема о двух секущих (следствие):

Если из точки $P$ к окружности проведены две секущие $PBC$ и $PDE$ , то произведения длин секущих на их внешние части равны:

PB \cdot PC = PD \cdot PE

Благодаря теореме о касательной и секущей вводится понятие степени точки, которое используется в усложненных задачах по геометрии и может встречаться например на ЕГЭ по математике или усложненных пробных вариантах ОГЭ в 9 классе.

Понятие степени точки:

Произведение длины всей секущей на её внешнюю часть не зависит от наклона секущей и является постоянной величиной для данной точки $P$ и данной окружности.

Если расстояние от точки $P$ до центра окружности равно $d$ , а радиус равен $R$ , то $PA^2 = PB \cdot PC = d^2 - R^2$ .

Соотношения отрезков в окружности

В курсе 8 класса изучаются четыре ключевые теоремы о произведениях отрезков, связанных с окружностью, каждая из которых используется в своем случае. Все они будут встречаться не только на самостоятельных работах в 8 классе, но и на экзаменах ОГЭ и ЕГЭ, а так же на ВПР.

Теорема

Положение точки P

Расчётная формула

Геометрический смысл

Касательная и секущая

Вне окружности

$PA^2 = PB \cdot PC$

Квадрат отрезка касательной равен произведению всей секущей на её внешнюю часть.

Две секущие

Вне окружности

$PB \cdot PC = PD \cdot PE$

Произведения секущих на их внешние части равны для любых секущих из одной точки.

Пересекающиеся хорды

Внутри окружности

$AP \cdot PB = CP \cdot PD$

Произведения отрезков пересекающихся хорд равны между собой.

Две касательные

Вне окружности

$PA_1 = PA_2$

Отрезки касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны между собой.

Где встречаются задачи на касательную и секущую

Теорема о касательной и секущей входит в открытый банк ФИПИ ОГЭ и ЕГЭ по математике, а так же встречается в самостоятельных и контрольных работах в 8–9 классах:

Задание 16 ОГЭ (Часть 1)

Базовые задачи на прямое применение формулы в 1–2 действия: нахождение длины касательной $PA$ по известным отрезкам секущей $PB$ и $PC$ , поиск внутренней хорды $BC$ или радиуса окружности.

Задание 23 ОГЭ (Часть 2, повышенная сложность)

Геометрические расчётные задачи с развёрнутым решением: комбинация теоремы о секущих со свойствами биссектрисы, вписанными углами и подобием треугольников.

Контрольные работы 8 класса

Тематические проверочные работы по главе «Окружность» и «Подобие треугольников»: вывод формулы через подобие, нахождение неизвестных отрезков и составление квадратных уравнений.

Задание 25 ОГЭ и олимпиадная геометрия

Олимпиадные задачи высокого уровня: применение концепции степени точки относительно окружности и радикальной оси для доказательства принадлежности четырёх точек одной окружности.

Алгоритм решения задач на касательную и секущую

При решении геометрических задач на касательную и секущую ключевой момент — правильно определить границы всех отрезков. Самая распространённая ошибка школьников состоит в умножении внешней части секущей на её внутреннюю хорду вместо всей длины секущей. Всегда начинайте решение с аккуратного чертежа и явного обозначения отрезков.

Определите общую внешнюю точку: найдите на чертеже точку $P$ , из которой выходят касательная и секущая прямые.

Определите отрезок касательной ( $PA$ ): зафиксируйте отрезок от точки $P$ до точки касания $A$ . Если эта величина неизвестна, обозначьте её за переменную $x$ .

Выделите внешнюю часть и найдите всю секущую: обозначьте ближнюю точку пересечения с окружностью как $B$ , а дальнюю как $C$ . Запишите внешнюю часть $PB$ и обязательно сложите отрезки для получения всей секущей: $PC = PB + BC$ .

Составьте алгебраическое уравнение: запишите соотношение $PA^2 = PB \cdot PC$ (или $PB \cdot PC = PD \cdot PE$ для двух секущих) и подставьте в него числовые данные и переменные.

Решите уравнение и проверьте геометрический смысл: решите полученное линейное или квадратное уравнение. Отрицательные корни отбросьте, так как длина отрезка строго положительна ( $x > 0$ ), и запишите итоговый ответ.

Задачи на теорему о касательной и секущей с пошаговыми решениями

Ниже приведены подробные эталоны решений пяти типовых задач, охватывающих программу геометрии 8 класса и КИМы ОГЭ по математике.

Вычисление длины касательной по известным частям секущей

Условие: Из точки $P$ к окружности проведены касательная $PA$ ( $A$ — точка касания) и секущая $PC$ , проходящая через точку $B$ на окружности. Внешняя часть секущей $PB = 4\text{ см}$ , а внутренняя хорда $BC = 5\text{ см}$ . Найдите длину отрезка касательной $PA$ .

Пошаговое решение:

1) Найдём длину всей секущей ( $PC$ ):
Секущая состоит из внешней части $PB$ и внутренней хорды $BC$ :

PC = PB + BC = 4 + 5 = 9\text{ см}

2) Применим теорему о касательной и секущей:

PA^2 = PB \cdot PC

3) Подставим числовые значения:

PA^2 = 4 \cdot 9 = 36

4) Так как длина отрезка положительна ( $PA > 0$ ):

PA = \sqrt{36} = 6\text{ см}

Ответ: $6\text{ см}$ .

Нахождение длины внутренней хорды по касательной и внешней части

Условие: Из точки $P$ к окружности проведены касательная $PA = 8\text{ см}$ и секущая $PC$ , пересекающая окружность в точках $B$ и $C$ . Внешняя часть секущей $PB = 4\text{ см}$ . Найдите длину хорды $BC$ , заключённой внутри окружности.

Пошаговое решение:

1) Запишем формулу теоремы о касательной и секущей:

PA^2 = PB \cdot PC

2) Подставим известные величины ( $PA = 8, PB = 4$ ):

8^2 = 4 \cdot PC \implies 64 = 4 \cdot PC

3) Найдём длину всей секущей ( $PC$ ):

PC = \dfrac{64}{4} = 16\text{ см}

4) Вычислим длину внутренней хорды ( $BC$ ):
Так как $PC = PB + BC$ , выразим длину хорды вычитанием:

BC = PC - PB = 16 - 4 = 12\text{ см}

Ответ: $12\text{ см}$ .

Применение теоремы о двух секущих (прототип Задания 16 ОГЭ)

Условие: Из точки $P$ к окружности проведены две секущие: первая пересекает окружность в точках $B$ и $C$ ( $PB = 3$ , $BC = 9$ ), а вторая — в точках $D$ и $E$ ( $PD = 4$ ). Найдите длину хорды $DE$ .

Пошаговое решение:

1) Найдём длину всей первой секущей ( $PC$ ):

PC = PB + BC = 3 + 9 = 12

2) Применим теорему о двух секущих, проведённых из одной точки:

PB \cdot PC = PD \cdot PE

3) Подставим известные значения и найдём всю вторую секущую ( $PE$ ):

3 \cdot 12 = 4 \cdot PE \implies 36 = 4 \cdot PE

PE = \dfrac{36}{4} = 9

4) Найдём длину хорды $DE$ :

DE = PE - PD = 9 - 4 = 5

Ответ: $5$ .

Секущая, проходящая через центр окружности, и нахождение радиуса

Условие: Из точки $P$ к окружности проведена касательная $PA = 12\text{ см}$ и секущая $PC$ , проходящая через центр окружности $O$ и пересекающая её в точках $B$ и $C$ . Внешняя часть секущей равна $PB = 8\text{ см}$ . Найдите радиус этой окружности.

Пошаговое решение:

1) Обозначим радиус окружности через $R$ :
Секущая проходит через центр $O$ , значит, внутренняя хорда $BC$ является диаметром окружности:

BC = 2R

2) Внешняя часть секущей $PB = 8\text{ см}$ . Тогда вся секущая равна:

PC = PB + BC = 8 + 2R

3) Запишем уравнение по теореме о касательной и секущей:

PA^2 = PB \cdot PC \implies 12^2 = 8 \cdot (8 + 2R)

144 = 64 + 16R

4) Решим линейное уравнение относительно $R$ :

16R = 144 - 64 \implies 16R = 80

R = \dfrac{80}{16} = 5\text{ см}

(Геометрическая проверка: отрезок от точки $P$ до центра равен $PO = PB + R = 8 + 5 = 13\text{ см}$ . В прямоугольном треугольнике $\Delta PAO$ катеты $PA = 12$ и радиус $OA = R = 5$ , гипотенуза $PO = \sqrt{12^2 + 5^2} = 13\text{ см}$ — теорема Пифагора выполняется).

Ответ: $5\text{ см}$ .

Нахождение внешней части секущей через квадратное уравнение (прототип Задания 23 ОГЭ)

Условие: Из точки $P$ к окружности проведены касательная $PA = 6$ и секущая $PC$ , пересекающая окружность в точках $B$ и $C$ . Внутренняя хорда $BC$ равна $5$ . Найдите длину всей секущей $PC$ .

Пошаговое решение:

1) Введём переменную:
Пусть длина внешней части секущей $PB = x$ ( $x > 0$ ).
Так как хорда $BC = 5$ , вся секущая равна:

PC = PB + BC = x + 5

2) Применим теорему о касательной и секущей:

PA^2 = PB \cdot PC \implies 6^2 = x \cdot (x + 5)

36 = x^2 + 5x \implies x^2 + 5x - 36 = 0

3) Решим квадратное уравнение:
По теореме Виета корни уравнения:

x_1 = 4, \quad x_2 = -9

4) Так как длина геометрического отрезка не может быть отрицательной, корень $x = -9$ не подходит по смыслу задачи.
Следовательно, длина внешней части секущей равна $PB = 4$ .

5) Вычислим длину всей секущей ( $PC$ ):

PC = PB + BC = 4 + 5 = 9

Ответ: $9$ .

Типичные ошибки при применении теоремы

При решении задач на касательную и секущую восьмиклассники чаще всего допускают следующие четыре ошибки:

Умножение внешней части на внутреннюю

Записывают формулу как $PA^2 = PB \cdot BC$ , умножая внешнюю часть на хорду.

В формуле участвует вся длина секущей целиком: $PA^2 = PB \cdot PC$ , где $PC = PB + BC$ .

Потеря квадрата касательной

Ошибочно пишут линейное равенство: $PA = PB \cdot PC$ .

Отрезок касательной входит в теорему строго во второй степени: $PA^2 = PB \cdot PC$ , поэтому для нахождения $PA$ обязательно извлекают квадратный корень.

Путаница теоремы секущих с теоремой о хордах

Применяют формулу $PB \cdot PC = PD \cdot PE$ для точки $P$ , лежащей внутри круга.

Для точки внутри круга работает теорема о пересекающихся хордах, где точка $P$ делит каждую хорду на два отрезка. В теореме о секущих точка $P$ обязана лежать строго вне окружности.

Подстановка хорды вместо всей секущей

Зная $PB = 3$ и $PC = 12$ , ошибочно считают длину хорды равной $12$ .

Отрезок $PC$ — это вся секущая от точки $P$ до дальней границы. Внутренняя хорда равна разности: $BC = PC - PB = 12 - 3 = 9$ .

Задания на теорему о касательной и секущей для 8 класса

Тренажёры по теме «Теорема о касательной и секущей» содержат подборку практических заданий за 8 класс из самостоятельных и контрольных работ, школьных учебников по геометрии и открытого банка задач ОГЭ по математике. Для каждого задания вы найдёте подробные решения и автоматическую проверку ответов.

Практика

Задачи сейчас заполняются

Уже готовим задания по теме: добавляем варианты, проверку ответов и понятные разборы после попытки.

Подбираем заданияПроверяем ответыГотовим разборы

Формулировка теоремы о касательной и секущей

Соотношения отрезков в окружности

Где встречаются задачи на касательную и секущую

Алгоритм решения задач на касательную и секущую

Задачи на теорему о касательной и секущей с пошаговыми решениями

Типичные ошибки при применении теоремы

Задания на теорему о касательной и секущей для 8 класса

Задачи сейчас заполняются

Рекомендуем изучить вместе с этой темой