Угол между хордами, касательной и секущей: теоремы и формулы

В этом разделе подробно рассматриваются углы, образованные хордами, касательными и секущими в окружности. Материал содержит фундаментальные геометрические теоремы, строгое доказательство каждой формулы и полный набор правил, позволяющих легко находить угол между хордами, угол между касательной и хордой, а также углы между секущими линиями. Подробно разобраны свойства, когда угол между равными хордами образует равнобедренные треугольники, и представлены универсальные методы решения проверочных работ.

Приведены примеры решения практических задач, часто встречающихся на уроках геометрии в 8 классе, контрольных работах и в экзаменационных материалах ОГЭ и ЕГЭ по математике. Понимание того, чему равен угол между хордами окружности или угол между хордой и касательной к окружности, является базовым элементом при изучении угловых величин дуг и вписанных фигур.

Отработать тему углы, образованные хордами, касательными и секущими можно после теории в тренажёрах с подробными решениями.

Теоретический справочник: углы в окружности

Ниже подробно разбираем все определения, свойства и ключевые теоремы о пересечении хорд, касательных и секущих, которые изучаются в 8 классе на занятиях по геометрии.

Угол между двумя пересекающимися хордами

Если две хорды окружности $AB$ и $CD$ пересекаются во внутренней точке $E$ , они образуют четыре вертикальных и смежных угла. Чтобы найти угол между хордами, используется теорема о полусумме заключённых между ними дуг.

Теорема об угле между хордами 🎯

Угол между двумя пересекающимися хордами измеряется полусуммой дуг, заключённых между его сторонами и их продолжениями за вершину угла:

\angle AEC = \dfrac{\cup AC + \cup BD}{2}

[ Чертеж двух пересекающихся хорд AB и CD внутри окружности в точке E с выписанными дугами AC и BD ]

Доказательство теоремы об угле между пересекающимися хордами

Доказательство:

1) Соединим точки $A$ и $D$ отрезком. Рассмотрим образовавшийся треугольник $\triangle ADE$ .

2) Искомый угол $\angle AEC$ является внешним углом треугольника $\triangle ADE$ при вершине $E$ .

3) По свойству внешнего угла треугольника, он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним:
$$\angle AEC = \angle ADE + \angle DAE$$

4) Углы $\angle ADE$ и $\angle DAE$ являются вписанными углами:

• $\angle ADE$ опирается на дугу $\cup AC$ , значит, $\angle ADE = \dfrac{\cup AC}{2}$ ;

• $\angle DAE$ опирается на дугу $\cup BD$ , значит, $\angle DAE = \dfrac{\cup BD}{2}$ .

5) Подставляя эти значения, получаем:
$$\angle AEC = \dfrac{\cup AC}{2} + \dfrac{\cup BD}{2} = \dfrac{\cup AC + \cup BD}{2}$$
Теорема доказана!

Отдельно стоит отметить случай, когда рассматривается угол между равными хордами. Если хорды $AB$ и $CD$ равны по длине ( $AB = CD$ ), то они стягивают равные дуги ( $\cup AB = \cup CD$ ). В этом случае треугольник, образованный центром окружности и концами хорд, является равнобедренным, а угол между ними вычисляется через симметрию полученной фигуры.

Угол между касательной и хордой

Если через точку касания $A$ проведена касательная прямая $MN$ и хорда $AB$ , образуются два смежных угла. Важнейшая теорема 8 класса определяет, чему равен угол между хордой и касательной к окружности.

Теорема об угле между касательной и хордой 🎯

Угол между касательной и хордой, проведённой через точку касания, измеряется половиной дуги, заключённой внутри этого угла:

\angle NAB = \dfrac{\cup AB}{2}

[ Чертеж касательной MN, хорды AB, точки касания A и вписанного угла ACB, опирающегося на ту же дугу AB ]

Следствие (Связь с вписанным углом):

Так как вписанный угол, опирающийся на дугу $\cup AB$ , также равен половине этой дуги, то угол между касательной и хордой равен любому вписанному углу, опирающемуся на ту же самую дугу:
$$\angle NAB = \angle ACB$$

Угол между двумя секущими (пересечение вне окружности)

Если две секущие пересекаются в точке $P$ , лежащей вне окружности, угол между ними вычисляется через полуразность отсекаемых дуг.

Теорема об угле между секущими 🎯

Угол между двумя секущими, пересекающимися вне окружности, измеряется полуразностью градусных мер большей и меньшей дуг, заключённых между его сторонами:

\angle P = \dfrac{\cup AC - \cup BD}{2}

(Эта же формула полуразности дуг применяется для угла между двумя касательными или угла между секущей и касательной, пересекающимися вне окружности!)

Сводная шпаргалка углов в окружности! 💡

1. Вершина в центре $\implies$ Центральный угол $= \cup AB$

2. Вершина на окружности $\implies$ Вписанный угол $= \dfrac{\cup AB}{2}$

3. Вершина внутри окружности $\implies$ Угол между хордами $= \dfrac{\cup AC + \cup BD}{2}$

4. Вершина вне окружности $\implies$ Угол между секущими $= \dfrac{\cup AC - \cup BD}{2}$

5. Точка касания $\implies$ Угол между касательной и хордой $= \dfrac{\cup AB}{2}$

Пошаговый алгоритм решения задач

Чтобы успешно найти угол между хордами окружности или касательными в 8 классе, придерживайтесь алгоритма:

Порядок действий:

Определите положение вершины угла: установите, где находится вершина угла (в центре, на окружности, внутри или вне её).

Найдите градусные меры заключённых дуг: выразите дуги окружности через центральные углы или переменные.

Примените соответствующую теорему: используйте формулу полусуммы (для точки внутри) или полуразности (для точки снаружи) и выпишите ответ.

Разбор типовых задач из проверочных работ за 8 класс

Рассмотрите решения характерных задач на углы в окружности из школьной программы и ОГЭ.

Пример 1: Как найти угол между хордами окружности

Задание: Две хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $E$ . Градусные меры дуг $\cup AC = 40^\circ$ и $\cup BD = 80^\circ$ . Найдите угол между хордами $AB$ и $CD$ ( $\angle AEC$ ).

Подробное решение:

1) Точка пересечения хорд $E$ находится внутри окружности.

2) Воспользуемся теоремой о том, что угол между хордами окружности равен полусумме заключённых между ними дуг:
$$\angle AEC = \dfrac{\cup AC + \cup BD}{2}$$

3) Подставим известные значения дуг:
$$\angle AEC = \dfrac{40^\circ + 80^\circ}{2} = \dfrac{120^\circ}{2} = 60^\circ$$

Ответ: $60^\circ$ .

Пример 2: Нахождение угла между касательной и хордой

Задание: Через точку $A$ на окружности проведена касательная $MN$ и хорда $AB$ , стягивающая дугу в $110^\circ$ . Найдите острый угол между касательной и хордой.

Подробное решение:

1) По теореме, угол между хордой и касательной к окружности измеряется половиной дуги, стягиваемой этой хордой:
$$\angle MAB = \dfrac{\cup AB}{2}$$

2) Подставим градусную меру дуги $\cup AB = 110^\circ$ :
$$\angle MAB = \dfrac{110^\circ}{2} = 55^\circ$$

Ответ: $55^\circ$ .

Тренажёры по теме «Углы в окружности» на Экзамео

Отработать теоремы и научиться быстро находить угол между хордами, касательными и секущими можно после теории в интерактивных тренажёрах на платформе «Экзамео». Задания для 8 класса охватывают нахождение угловых величин через полусуммы и полуразности дуг, свойства вписанных углов и решение задач из банка ОГЭ по математике.

Все упражнения разработаны в соответствии с требованиями ФГОС и опираются на типовые школьные программы. Система автоматически проверяет ответы и предоставляет подробные решения, что помогает своевременно разобрать ошибки. Тренируйтесь в удобном темпе и уверенно справляйтесь с проверочными работами.

Задача 1

Угол между касательной и хордой / угол между касательными

Темы3

Курсы5

Задания на углы, образованные касательными, касательной и хордой - все в одном тренажере. Позволяют отработать редкие для экзаменов по математике свойства углов связанных с окружностью.Вариант 1

Касательные в точках $A$ и $B$ к окружности с центром в точке $O$ пересекаются в точке $C$ . Центральный угол $AOB$ равен $116^\circ$ . Найдите угол $CAB$ . Ответ дайте в градусах.

Две касательные и треугольник вписанный в окружность из ОГЭ по математике

Ответ запишите в виде целого числа или десятичной дроби.

Ваш ответ

Полный тренажер

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

В Экзамео откроются дополнительные задания по теме, проверка прогресса и решения после попытки.

Все тренажёрыПрогресс по темеПерсональный план