Сектор круга: площадь сектора, длина дуги, радиус и формулы

В этом разделе подробно рассматривается тема «Сектор круга и дуга окружности» по геометрии за 9 класс. Понятия сектора и сегмента являются логическим продолжением изучения темы 9 класса Длина окружности

Здесь собрана вся ключевая теория 9 класса: определение сектора окружности и круга, основные формулы для центрального угла в градусах и радианах, свойства, которые имеет хорда сектора окружности, а также разбор типовых задач с подробными решениями.

Отработать тему сектор круга можно после теории в тренажёрах с подробными решениями по задачам для 9 класса.

Что такое сектор круга и дуга окружности

Важно различать понятия границы (окружности) и плоской фигуры (круга):

Определения темы 🎯

• Сектор круга (круговой сектор): это часть круга, ограниченная дугой окружности и двумя радиусами, проведёнными к концам этой дуги.

• Дуга сектора окружности: это часть окружности, заключённая между двумя радиусами. Градусная мера дуги равна градусной мере соответствующего центрального угла $\alpha$ .

• Хорда сектора окружности: это отрезок, соединяющий концы дуги данного сектора.

На рисунке AOB - сектор окружности, AB(отрезок) - хорда сектора окружности, AB(дуга) - дуга сектора окружности

Два радиуса делят круг на два сектора: малый (с центральным углом $\alpha \leqslant 180^\circ$ ) и большой (с центральным углом $360^\circ - \alpha$ ).

Формула площади сектора круга

Площадь всего круга радиуса $R$ равна $S = \pi R^2$ , а его полный центральный угол составляет $360^\circ$ . Следовательно, на $1^\circ$ приходится $\dfrac{\pi R^2}{360}$ площади. Отсюда получаем ключевую формулу:

Формула площади сектора окружности 🎯

Если центральный угол $\alpha$ задан в градусах:

S_{\text{сект}} = \dfrac{\pi R^2 \cdot \alpha}{360^\circ}

Если центральный угол задан в радианах ( $\phi$ рад), то формула выглядит еще проще: $S_{\text{сект}} = \dfrac{1}{2} R^2 \phi$ , однако радианы в обычной школьной программе по математике проходятся в 10 классе(Радианная мера угла)

Задачи на площадь сектора окружности встречаются как в 9 классе, так и на ОГЭ по математике в 16 задании, давайте разберём одну из таких задач

Пример задачи на вычисление площади сектора круга

Задание: Радиус круга равен $6\text{ см}$ , а центральный угол сектора равен $120^\circ$ . Найдите площадь сектора окружности. В ответе укажите $\dfrac{S}{\pi}$ .

Подробное решение:

1) Воспользуемся формулой площади сектора круга:

S_{\text{сект}} = \dfrac{\pi R^2 \cdot \alpha}{360^\circ}

2) Подставим $R = 6\text{ см}$ и $\alpha = 120^\circ$ :

S_{\text{сект}} = \dfrac{\pi \cdot 6^2 \cdot 120^\circ}{360^\circ} = \dfrac{\pi \cdot 36 \cdot 1}{3} = 12\pi\text{ см}^2

3) Находим значение $\dfrac{S}{\pi} = \dfrac{12\pi}{\pi} = 12$ .

Ответ: $12$ .

Длина дуги и хорда сектора окружности

По аналогии с площадью вычисляется и длина сектора окружности (длина дуги $l$ ):

Сводный справочник формул сектора:

1. Длина дуги сектора ( $l$ ):

l = \dfrac{2\pi R \cdot \alpha}{360^\circ} = \dfrac{\pi R \cdot \alpha}{180^\circ}

2. Связь площади сектора и длины дуги:

S_{\text{сект}} = \dfrac{l \cdot R}{2}

3. Хорда сектора окружности ( $a$ ):
Соединив концы дуги, получим равнобедренный треугольник с боковыми сторонами $R$ и углом $\alpha$ при вершине. Длина хорды выражается по теореме синусов или из прямоугольного треугольника:

a = 2R \sin\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)

Задачи на длину дуги сектора окружности встречаются на контрольных работах в 9 классе и в том числе один такой вид задач может быть на ОГЭ по математике, давайте разберем пример задачи из самостоятельной работы.

Пример задачи на нахождение радиуса сектора по длине дуги и площади

Задание: Длина дуги сектора окружности равна $4\pi\text{ см}$ , а его площадь равна $20\pi\text{ см}^2$ . Найдите радиус сектора окружности.

Подробное решение:

1) Используем формулу, связывающую площадь сектора и длину дуги:

S_{\text{сект}} = \dfrac{l \cdot R}{2}

2) Выразим радиус сектора $R$ :

R = \dfrac{2 \cdot S_{\text{сект}}}{l}

3) Подставим данные из условия $S_{\text{сект}} = 20\pi$ и $l = 4\pi$ :

R = \dfrac{2 \cdot 20\pi}{4\pi} = \dfrac{40\pi}{4\pi} = 10\text{ см}

Ответ: $10\text{ см}$ .

Сравнительная таблица элементов сектора

Ниже собраны все основные формулы и элементы сектора окружности, которые могут встречаться в задачах в 9 классе в единую таблицу

Элемент сектора

Формула вычисления

Геометрическое пояснение

Площадь сектора ( $S_{\text{сект}}$ )

S = \dfrac{\pi R^2 \alpha}{360^\circ} = \dfrac{l R}{2}

Доля площади круга, ограниченная центральным углом $\alpha$ .

Длина дуги ( $l$ )

l = \dfrac{\pi R \alpha}{180^\circ}

Часть длины окружности, опирающаяся на угол $\alpha$ .

Периметр сектора ( $P_{\text{сект}}$ )

P = l + 2R

Сумма длины дуги и двух границами-радиусов.

Хорда дуги ( $a$ )

a = 2R \sin\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)

Основание равнобедренного треугольника с бедрами $R$ .

Лайфхак для экзамена ОГЭ! 💡

1. Формула Аналога треугольника: Запомните аналог $S = \dfrac{l \cdot R}{2}$ с площадью обычного треугольника $S = \dfrac{a \cdot h}{2}$ , где роль основания играет длина дуги $l$ , а роль высоты — радиус $R$ .

2. Доля от круга: Если центральный угол равен $60^\circ$ , то сектор составляет $\dfrac{60^\circ}{360^\circ} = \dfrac{1}{6}$ часть всего круга; если $90^\circ$ — то $\dfrac{1}{4}$ часть (четверть круга).

Пошаговый алгоритм решения задач

При выполнении практических и проверочных заданий на сектор окружности придерживайтесь алгоритма:

Порядок действий:

Выпишите известные величины: зафиксируйте радиус $R$ , центральный угол $\alpha$ или длину дуги $l$ .

Найдите долю от полного круга: вычислите отношение $\dfrac{\alpha}{360^\circ}$ .

Подставьте значения в формулу: вычислите площадь $S_{\text{сект}}$ или длину дуги $l$ и выпишите ответ (сохраняя число $\pi$ или подставляя $\pi \approx 3{,}14$ по условию).

Разбор типовых задач из контрольных работ и ОГЭ

Рассмотрите решения характерных задач из ОГЭ и проверочных работ за 9 класс.

Тренажёры по теме «Сектор круга» на Экзамео

Ниже собраны тренажеры, составленные по задачам на сектор круга, его площадь и длину дуги для 9 класса из ОГЭ по математике и учебников по геометрии с подробными пошаговыми решениями и автоматической проверкой ответов. Там же вы найдете задачи из самостоятельных и контрольных работ по этой теме.

Задача 1

Нахождение длины дуги окружности и центрального острого угла

Темы2

Курсы2

Единственный тренажер на дугу сектора окружности из открытого банка ФИПИ ОГЭ по математикеВариант 1

На окружности с центром в точке $O$ отмечены точки $A$ и $B$ . Угол $AOB$ равен $50^\circ$ , а длина меньшей дуги $AB$ равна $8$ . Найдите длину большей дуги.

Ответ запишите в виде целого числа или десятичной дроби.

Ваш ответ

Наберите ответ

Задача 2

Площадь сектора и круга с острым центральным углом

Темы2

Курсы2

Ещё один вид задач на сектор окружности из ОГЭ по математике на нахождение площади всей окружностиВариант 1

Площадь круга равна $43,2$ . Найдите площадь сектора этого круга, если его центральный угол равен $50^\circ$ .

Площадь окружности через площадь сектора

Ответ запишите в виде целого числа или десятичной дроби.

Ваш ответ

Наберите ответ

Полный тренажер

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

В Экзамео откроются дополнительные задания по теме, проверка прогресса и решения после попытки.

Все тренажёрыПрогресс по темеПерсональный план