Задачи на площадь круга 9 класс: формулы, сектор, кольцо и онлайн-тренажёр

Задачи на площадь круга составляют важную часть программы геометрии за 9 класс (глава «Длина окружности и площадь круга» по учебнику Атанасяна) и регулярно встречаются в экзаменационных вариантах ОГЭ по математике (задания 15, 16 и 23). В отличие от многоугольников, ограниченных прямыми отрезками, круг представляет собой гладкую фигуру, площадь которой напрямую выражается через математическую константу $\pi$ и квадрат радиуса.

Помимо нахождения площади самого круга, в курсе 9 класса изучаются его составные части: круговой сектор (доля круга, ограниченная дугой и двумя радиусами), круговой сегмент и круговое кольцо (область между двумя концентрическими окружностями). Понимание этих формул необходимо для решения комплексных геометрических задач, где круг комбинируется с вписанными или описанными треугольниками, квадратами и правильными многоугольниками. Ниже приведены строгий вывод формулы, сводная таблица соотношений, подробные эталоны решений ключевых практических задач и интерактивные онлайн-тренажёры Экзамео с моментальной проверкой ответов.

Формула площади круга и ключевые соотношения — 9 класс

Кругом называется часть плоскости, ограниченная окружностью и содержащая её центр вместе со всеми внутренними точками. Площадь круга равна произведению числа $\pi$ на квадрат его радиуса:

S = \pi R^2

• Через диаметр ( $D$ ): так как радиус равен половине диаметра ( $R = \dfrac{D}{2}$ ), формула через диаметр принимает вид:

S = \pi \left(\dfrac{D}{2}\right)^2 = \dfrac{\pi D^2}{4}

• Площадь кругового кольца: разность площадей внешнего круга радиуса $R$ и внутреннего круга радиуса $r$ :

S_{\text{кольца}} = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi(R^2 - r^2)

• Квадратичная зависимость: увеличение радиуса круга в $k$ раз приводит к увеличению его площади в $k^2$ раз. Например, при увеличении радиуса в 3 раза площадь круга возрастает в $3^2 = 9$ раз.

Вывод формулы площади круга через правильные многоугольники

В курсе геометрии формула площади круга строго выводится через предел площадей правильных вписанных многоугольников при бесконечном увеличении числа их сторон ( $n \to \infty$ ). Однако, чтобы понять вывод этой формулы сначала необходимо знать тему Предел функции, которая по общей школьной программе проходятся в 10 классе

1. Впишем в круг радиуса $R$ правильный $n$ -угольник. Разобьём его отрезками из центра на $n$ равных равнобедренных треугольников с боковыми сторонами $R$ и основанием $a_n$ .

2. Высота каждого такого треугольника, проведённая к основанию, называется апофемой $r_n$ . Площадь одного треугольника равна $\dfrac{1}{2} a_n r_n$ .

3. Площадь всего правильного многоугольника $S_n$ равна сумме площадей $n$ треугольников:

S_n = n \cdot \left(\dfrac{1}{2} a_n r_n\right) = \dfrac{1}{2} (n \cdot a_n) r_n = \dfrac{1}{2} P_n r_n

где $P_n = n \cdot a_n$ — периметр вписанного многоугольника.

4. При неограниченном увеличении числа сторон ( $n \to \infty$ ) периметр многоугольника стремится к длине окружности $P_n \to C = 2\pi R$ , а апофема приближается к радиусу $r_n \to R$ .

5. Подставляя эти предельные значения в формулу площади, получаем точное выражение для площади круга:

S = \lim_{n \to \infty} S_n = \dfrac{1}{2} \cdot (2\pi R) \cdot R = \pi R^2

Формулы площади круга и его элементов

Для быстрого выбора нужного алгоритма при решении задач используйте сводную таблицу соотношений:

Геометрическая фигура

Формула площади

Связь с радиусом и диаметром

Особенности применения

Круг

$S = \pi R^2 = \dfrac{\pi D^2}{4}$

$R = \sqrt{\dfrac{S}{\pi}}$

В ответах ОГЭ часто просят записать величину $\dfrac{S}{\pi}$ , исключая приближение числа $\pi$ .

Круговой сектор

$S = \dfrac{\pi R^2 \alpha}{360^\circ} = \dfrac{1}{2} l R$

$\alpha$ — угол в градусах, $l$ — длина дуги

Через длину дуги сектора $l = \dfrac{\pi R \alpha}{180^\circ}$ площадь выражается компактно: $S = \dfrac{l R}{2}$ .

Круговое кольцо

$S = \pi(R^2 - r^2)$

$R$ — внешний, $r$ — внутренний радиус

Через длину хорды $AB$ внешнего круга, касающейся внутреннего: $S = \dfrac{\pi AB^2}{4}$ .

Круговой сегмент

$S = S_{\text{сект}} \pm S_{\Delta}$

$S_{\Delta} = \dfrac{1}{2} R^2 \sin\alpha$

При $\alpha < 180^\circ$ площадь треугольника вычитается из сектора, при $\alpha > 180^\circ$ — прибавляется.

Где встречаются задачи на площадь круга

Задания на вычисление площади круга и его элементов активно используются в школьных и государственных аттестациях:

Задания 15 и 16 ОГЭ (первая часть)

Нахождение радиуса по известной площади круга ( $S = 64\pi \implies R = 8$ ), вычисление площади кругового сектора по центральному углу и поиск площади круга, описанного около квадрата или прямоугольного треугольника.

Задание 23 ОГЭ (вторая часть)

Сложные планиметрические задачи на вычисление площадей заштрихованных фигур (сегментов, остатков круга при пересечении фигурами) с полным обоснованием и доказательством.

Контрольные работы за 9 класс

Тематические контрольные по главе «Длина окружности и площадь круга»: расчёт площади кольца, нахождение угла сектора по заданной площади и радиусу, комбинации с правильными многоугольниками.

Задание 1 Профильного ЕГЭ

Задачи на окружности и углы, площадь сектора круга на квадратной решётке и комбинации тел вращения в стереометрии (площадь основания цилиндра и конуса).

Задания на площадь круга с пошаговыми решениями

Ниже приведены подробные эталоны решений пяти ключевых задач на площадь круга и его элементов, типичных для контрольных работ в 9 классе и экзаменационных заданий ОГЭ.

Задание 1: Нахождение радиуса и диаметра круга по заданной площади

Условие: Площадь круга равна $49\pi\text{ см}^2$ . Найдите диаметр этого круга и длину ограничивающей его окружности.

Пошаговое решение:

1) Запишем формулу площади круга:

S = \pi R^2

2) Найдём радиус круга ( $R$ ):

\pi R^2 = 49\pi \implies R^2 = 49 \implies R = \sqrt{49} = 7\text{ см}

3) Вычислим диаметр круга ( $D$ ):

D = 2R = 2 \cdot 7 = 14\text{ см}

4) Найдём длину окружности ( $C$ ):

C = 2\pi R = 2 \cdot \pi \cdot 7 = 14\pi\text{ см}

Ответ: диаметр равен $14\text{ см}$ , длина окружности равна $14\pi\text{ см}$ .

Задание 2: Площадь кругового сектора по центральному углу (прототип ОГЭ №16)

Условие: Радиус круга равен $12$ , а центральный угол сектора равен $150^\circ$ . Найдите площадь этого кругового сектора. В ответе запишите $\dfrac{S}{\pi}$ .

Пошаговое решение:

1) Запишем формулу площади кругового сектора:

S = \dfrac{\pi R^2 \alpha}{360^\circ}

2) Подставим известные значения ( $R = 12, \alpha = 150^\circ$ ):

S = \dfrac{\pi \cdot 12^2 \cdot 150^\circ}{360^\circ} = \dfrac{\pi \cdot 144 \cdot 150}{360}

3) Сократим дробь:
• Сократим числа $150$ и $360$ на $30$ : $\dfrac{150}{360} = \dfrac{5}{12}$ .
• Подставим полученную дробь:

S = \pi \cdot 144 \cdot \dfrac{5}{12} = \pi \cdot \left(\dfrac{144}{12}\right) \cdot 5 = \pi \cdot 12 \cdot 5 = 60\pi

4) Разделим результат на $\pi$ по требованию задачи:

\dfrac{S}{\pi} = \dfrac{60\pi}{\pi} = 60

Ответ: $60$ .

Задание 3: Вычисление площади кругового кольца

Условие: Найдите площадь кольца, ограниченного двумя концентрическими окружностями с радиусами $R = 10\text{ см}$ и $r = 6\text{ см}$ . В ответе укажите $\dfrac{S}{\pi}$ .

Пошаговое решение:

1) Запишем формулу площади кругового кольца:

S_{\text{кольца}} = \pi(R^2 - r^2)

2) Вычислим разность квадратов радиусов:

R^2 - r^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64

(Второй способ через разность квадратов: $(10 - 6)(10 + 6) = 4 \cdot 16 = 64$ ).

3) Найдём площадь кольца:

S_{\text{кольца}} = 64\pi\text{ см}^2

4) Разделим на $\pi$ :

\dfrac{S}{\pi} = 64

Ответ: $64$ .

Задание 4: Площадь круга, вписанного в квадрат

Условие: В квадрат со стороной $a = 10$ вписан круг. Найдите площадь этого круга и площадь оставшейся части квадрата вне круга (примите $\pi \approx 3{,}14$ ).

Пошаговое решение:

1) Найдём радиус вписанного круга ( $r$ ):
Диаметр круга, вписанного в квадрат, равен стороне этого квадрата:

D = a = 10 \implies r = \dfrac{a}{2} = \dfrac{10}{2} = 5

2) Вычислим площадь вписанного круга:

S_{\text{кр}} = \pi r^2 = \pi \cdot 5^2 = 25\pi \approx 25 \cdot 3{,}14 = 78{,}5

3) Вычислим площадь квадрата:

S_{\text{кв}} = a^2 = 10^2 = 100

4) Найдём площадь оставшейся части квадрата вне круга:

S_{\text{ост}} = S_{\text{кв}} - S_{\text{кр}} \approx 100 - 78{,}5 = 21{,}5

Ответ: площадь круга равна $25\pi$ (или $\approx 78{,}5$ ), площадь остатка равна $\approx 21{,}5$ .

Задание 5: Площадь кругового сегмента с прямым углом (задание ОГЭ №23)

Условие: В круге радиуса $R = 8$ проведён центральный угол $\angle AOB = 90^\circ$ . Хорда $AB$ отсекает круговой сегмент. Найдите площадь меньшего кругового сегмента.

Пошаговое решение:

1) Найдём площадь соответствующего кругового сектора:
При центральном угле $\alpha = 90^\circ$ сектор представляет собой ровно четверть круга:

S_{\text{сект}} = \dfrac{\pi R^2 \cdot 90^\circ}{360^\circ} = \dfrac{\pi R^2}{4} = \dfrac{\pi \cdot 8^2}{4} = \dfrac{64\pi}{4} = 16\pi

2) Найдём площадь треугольника $\Delta AOB$ :
Треугольник $\Delta AOB$ является прямоугольным и равнобедренным ( $OA = OB = R = 8$ ):

S_{\Delta} = \dfrac{1}{2} \cdot OA \cdot OB = \dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 = 32

3) Вычислим площадь кругового сегмента:
Площадь сегмента равна разности площадей сектора и треугольника:

S_{\text{сегм}} = S_{\text{сект}} - S_{\Delta} = 16\pi - 32 = 16(\pi - 2)

Ответ: $16\pi - 32$ (или $16(\pi - 2)$ ).

Типичные ошибки в задачах на площадь круга

При решении геометрических задач на площадь круга учащиеся чаще всего допускают следующие четыре ошибки:

Путаница формулы длины и площади

Считают площадь круга по формуле $S = 2\pi R$ вместо $S = \pi R^2$ .

Запомните размерность: площадь — величина двумерная ( $\text{см}^2$ ), поэтому радиус в ней обязательно должен быть во второй степени ( $R^2$ ).

Деление на 180° в формуле сектора

Путают формулу длины дуги сектора с его площадью и делят на $180^\circ$ вместо $360^\circ$ : $S = \dfrac{\pi R^2 \alpha}{180^\circ}$ .

Полный угол круга составляет $360^\circ$ , поэтому делить нужно строго на $360^\circ$ !

Вычисление площади кольца как π(R - r)²

Вместо разности квадратов вычисляют квадрат разности: $S = \pi(R - r)^2$ .

Это грубейшая алгебраическая ошибка! Площадь кольца равна $\pi(R^2 - r^2)$ , что равно $\pi(R - r)(R + r)$ , а не $\pi(R - r)^2$ .

Подстановка диаметра вместо радиуса

Зная, что диаметр круга равен $10$ , подставляют его в формулу $S = \pi \cdot 10^2 = 100\pi$ .

Диаметр необходимо предварительно разделить на два: $R = 5$ , откуда истинная площадь $S = 25\pi$ .

Задания на площадь круга для 9 класса

Онлайн-тренажёры образовательной платформы Экзамео включают полную базу заданий на вычисление площади круга, кругового сектора и кольца для 9 класса и подготовки к ОГЭ по математике. Тренируйтесь решать задачи онлайн в тренажерах с подробными пошаговыми решениями и уверенно получайте максимальные баллы на контрольных и экзаменах!

Задача 1

Площадь оставшейся части участка с общим круглым объектом на границе

Темы3

Курсы3

Задание на площадь прямоугольника и круга с делением пополам диаметром. Два одинаковых прямоугольных участка имеют общую границу, на которой расположен общий круглый объект (пруд, бассейн, круглая клумба, ротонда), причём граница участков проходит строго через его центр.Вариант 1

Владельцы двух смежных участков, имеющие земельные участки прямоугольной формы размерами 32 м на 35 м с общей границей, договорились и сделали общую круглую клумбу площадь которой составляет 200 квадратных метров (см. чертёж), причём граница участков проходит точно через центр клумбы. Какова площадь (в квадратных метрах) части каждого участка, свободной от клумбы?

Ваш ответ

Задача 2

Вычисление диаметра круга по его площади

Темы2

Курсы1

Вариант 1

Вычислите диаметр круга, если его площадь равна $7\pi$ дм².

Ваш ответ

Полный тренажер

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

В Экзамео откроются дополнительные задания по теме, проверка прогресса и решения после попытки.

Все тренажёрыПрогресс по темеПерсональный план

Формула площади круга и ключевые соотношения — 9 класс

Формулы площади круга и его элементов

Где встречаются задачи на площадь круга

Задания на площадь круга с пошаговыми решениями

Типичные ошибки в задачах на площадь круга

Задания на площадь круга для 9 класса

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

Рекомендуем изучить вместе с этой темой