Окружность и круг ОГЭ по математике - все теоремы, свойства и тренажеры ФИПИ

На этой странице представлен исчерпывающий справочник по теме «Окружность и круг» для подготовки к ОГЭ по математике. Методисты и эксперты платформы Экзамео разработали этот учебный материал в формате подробного линейного разбора: каждый элемент подробно описан, сопровождается вынесенной теоремой, формулой, акцентом для экзамена и подписью к наглядному чертежу.

В ОГЭ по математике тема «Окружность и круг» занимает ключевое место: в первой части это гарантированное Задание №16, так же окружности и круги могут встречаться в заданиях на клетке №18, а во второй части в задачах повышенной сложности на доказательство и вычисление - задания №23, №24 и №25.

В каких заданиях ОГЭ встречается тема «Окружность и круг»?

Знание свойств окружности необходимо для решения четырёх ключевых задач экзамена:

Задание №16 (Часть 1) 🎯

Базовая геометрия (1 балл).

Основной блок задач на углы, хорды, касательные, радиусы вписанных и описанных окружностей.

Задание №18 (Часть 1) 📐

Геометрия на клетках. (1 балл)

Нахождение радиусов, длин дуг и площадей секторов по квадратной сетке.

Задания №23, №24 (Часть 2) 🔥

Повышенный уровень (2 балла).

Сложные геометрийные вычисления и строгое доказательство свойств касающихся и вписанных окружностей.

Базовые элементы окружности и круга

Ниже приведен последовательный разбор каждого элемента с соответствующими формулами, важными примечаниями ФИПИ и теоремами.

1. Радиус ( $r$ или $R$ ) — отрезок, соединяющий центр окружности $O$ с любой точкой, лежащей на окружности.

2. Диаметр ( $d$ или $D$ ) — отрезок, соединяющий две точки окружности и проходящий через её центр.

3. Хорда — отрезок, соединяющий любые две точки окружности.

Теорема о диаметре и хорде:

Диаметр (или радиус), перпендикулярный хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею дуги пополам.

Теорема о пересекающихся хордах:

Если две хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $E$ , то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды:

AE \cdot EB = CE \cdot ED

[ Место для иллюстрации: Теорема о пересекающихся хордах $AE \cdot EB = CE \cdot ED$ ]

4. Дуга окружности ( $\cup$ ) — часть окружности, ограниченная двумя её точками.

5. Сектор — часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой между ними.

Формула площади сектора с центральным углом $\alpha$ (в градусах):

S = \dfrac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi r^2

Формула длины дуги сектора $L$ :

L = \dfrac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi r

6. Сегмент — часть круга, ограниченная хордой и дугой.

Задач на сегменты круга не будет! 💡

В 16 задании ОГЭ по математике нет в открытом банке заданий ФИПИ задач на площадь сегмента, поэтому формулы площади сегментов заучивать не требуется.

[ Место для иллюстрации: Сектор и сегмент в окружности ]

7. Касательная — прямая, которая касается окружности в одной точке и перпендикулярна радиусу, проведённому в эту точку.

Теорема об отрезках касательных:

Если из одной точки вне окружности проведены две касательные, то отрезки этих касательных от данной точки до точек касания равны между собой:

PA = PB

[ Место для иллюстрации: Теорема об отрезках касательной $PA = PB$ ]

8. Секущая — это прямая, которая пересекает окружность в двух точках.

Теорема о касательной и секущей:

Квадрат отрезка касательной равен произведению отрезков секущей (всей секущей на её внешнюю часть):

PA^2 = PB \cdot PC

[ Место для иллюстрации: Касательная и секущая $PA^2 = PB \cdot PC$ ]

Вписанные и центральные углы

Самая большая часть 16 заданий из ОГЭ по математике связана именно с центральными и вписанными углами. Запомнить их свойства — главный приоритет подготовки.

Центральный угол — угол, вершина которого лежит в центре окружности, а стороны являются радиусами.

Градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается:

\angle AOB = \cup AB

Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на самой окружности, а стороны являются хордами.

Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается:

\angle ACB = \dfrac{1}{2}\cup AB

Характеристика

Центральный угол

Вписанный угол

Вершина

Лежит в центре окружности $O$

Лежит на самой окружности

Стороны

Два радиуса

Две хорды

Градусная мера

Равна дуге, на которую опирается: $\angle AOB = \cup AB$

Вдвое меньше дуги: $\angle ACB = \frac{1}{2}\cup AB$

[ Место для иллюстрации: Вписанный угол $\angle ACB = \frac{1}{2}\cup AB$ и центральный угол $\angle AOB = \cup AB$ ]

Ключевые следствия из свойства вписанного угла

Разберём 3 свойства, которые экономят время при решении Заданий 16 и 24 на ОГЭ:

1. Угол, опирающийся на диаметр 📐

Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, всегда является прямым ( $90^\circ$ ).

Почему: Диаметр делит окружность на дугу в $180^\circ$ , а вписанный угол равен половине этой дуги ( $180^\circ : 2 = 90^\circ$ ).

2. Углы на одну дугу 💡

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу (или на равные дуги), равны между собой.

Пример: Если $\angle C$ и $\angle D$ опираются на дугу $AB$ , то $\angle C = \angle D$ .

[ Место для иллюстрации: Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, и прямой угол, опирающийся на диаметр ]

Вписанные и описанные многоугольники

При комбинации окружности с многоугольниками действуют следующие строгие правила:

Вписанный четырёхугольник 🔲

Окружность можно описать около четырёхугольника тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна $180^\circ$ :

\angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180^\circ

Описанный четырёхугольник ⭕

Окружность можно вписать в четырёхугольник тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны:

a + c = b + d

Пошаговый алгоритм решения задач на окружности в ОГЭ по математике

Чтобы безошибочно решить задания на окружности в ОГЭ по математике, придерживайтесь следующего алгоритма:

Порядок действий:

Определите вершины и тип угла: выясните, где находится вершина искомого или заданного угла (в центре $O$ или на самой окружности).

Перейдите к градусной мере дуги: найдите дугу, на которую опирается угол ( $\cup = \angle_{\text{центр}}$ или $\cup = 2 \cdot \angle_{\text{впис}}$ ).

Используйте равнобедренные треугольники с радиусами: соедините центр $O$ с точками на окружности и найдите равные углы при основании $OA = OB$ .

Примените прямоугольный треугольник при касательной: при наличии касательной проведите радиус в точку касания ( $90^\circ$ ) и используйте теорему Пифагора.

Разбор заданий с окружностями из открытого банка ФИПИ

Рассмотрите подробные решения официальных прототипов №16 ОГЭ по математике.

Пример 1: Нахождение угла треугольника, опирающегося на диаметр

Задание (ФИПИ): Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $38^\circ$ , угол $CAD$ равен $33^\circ$ . Найдите угол $ABD$ . Ответ дайте в градусах.

Подробное решение:

1) Вписанные углы $\angle CAD$ и $\angle CBD$ опираются на одну и ту же дугу $CD$ .

2) Следовательно, по теореме о вписанных углах, опирающихся на одну дугу:

$\angle CBD = \angle CAD = 33^\circ$ .

3) Угол $\angle ABC$ состоит из суммы двух углов: $\angle ABD$ и $\angle CBD$ :

$\angle ABC = \angle ABD + \angle CBD$

$38^\circ = \angle ABD + 33^\circ$

4) Вычисляем искомый угол $\angle ABD$ :

$\angle ABD = 38^\circ - 33^\circ = 5^\circ$ .

Ответ: $5$ .

Пример 2: Касательная к окружности и теорема Пифагора

Задание (ФИПИ): Касательные в точках $A$ и $B$ к окружности с центром $O$ пересекаются в точке $P$ . Найдите угол $AOB$ , если угол $APB = 50^\circ$ . Ответ дайте в градусах.

Подробное решение:

1) Радиусы $OA$ и $OB$ , проведённые в точки касания, перпендикулярны касательным $PA$ и $PB$ :

$\angle OAP = 90^\circ$ и $\angle OBP = 90^\circ$ .

2) Рассмотри выпуклый четырёхугольник $AOBP$ . Сумма всех внутренних углов любого четырёхугольника равна $360^\circ$ :

$\angle AOB + \angle OAP + \angle OBP + \angle APB = 360^\circ$

3) Подставим известные углы:

$\angle AOB + 90^\circ + 90^\circ + 50^\circ = 360^\circ$

$\angle AOB + 230^\circ = 360^\circ$

$\angle AOB = 360^\circ - 230^\circ = 130^\circ$ .

Ответ: $130$ .

Тренажёры по теме «Окружность и круг» на Экзамео

На образовательной платформе Экзамео подготовлены интерактивные онлайн-тренажёры по теме «Окружность и круг» для подготовки к ОГЭ по математике с подробными пошаговыми геометрийными решениями и автоматической проверкой ответов. База содержит сотни официальных прототипов Заданий №16, №18 и №24 из открытого банка ФИПИ!

Переходите к интерактивным тренажёрам по теме «Окружность и круг ОГЭ» на Экзамео. Тренируйтесь в удобном для вас темпе, оттачивайте знание теорем и уверенно забирайте максимальные баллы на ОГЭ по математике!