Основное тригонометрическое тождество и формулы приведения для 9 класса

Основное тригонометрическое тождество и формулы приведения в 9 классе открывают важнейшую главу школьной геометрии. Если в 8 классе тригонометрические функции определялись только для острых углов прямоугольного треугольника (от $0^\circ$ до $90^\circ$ ), то в 9 классе тригонометрия распространяется на тупые углы до $180^\circ$ . Это расширение необходимо для решения произвольных треугольников — остроугольных, прямоугольных и тупоугольных.

В курсе геометрии 9 класса формулы приведения и тригонометрические тождества не являются абстрактными формулами: они служат прямым рабочим аппаратом для теоремы косинусов, теоремы синусов и формулы площади треугольника ( $S = \dfrac{1}{2}ab\sin\gamma$ ).

При решении геометрических задач девятиклассникам не требуется сложная тригонометрическая окружность — достаточно уметь преобразовывать углы через $180^\circ$ (например, находить $\sin 150^\circ$ или $\cos 120^\circ$ ) и аккуратно учитывать знаки функций.

Ниже приведены все необходимые правила, сводные таблицы значений тупых углов, разбор задач для самостоятельных работ и доступ к онлайн-тренажёрам Экзамео с мгновенной проверкой ответов.

Основное тригонометрическое тождество и формулы приведения — 9 класс

Основное тригонометрическое тождество связывает синус и косинус одного и того же угла и справедливо для абсолютно любого угла $\alpha$ от $0^\circ$ до $180^\circ$ :

\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1

\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha}

\cos \alpha=\pm\sqrt{1 - \sin^2 \alpha}

Косинус отрицательный при α > 90°

При выражения синуса и косинуса перед квадратным корнем должен обязательно стоять знак плюс-минус, но тут есть некоторые особенности углов, которые разбираются в 9 классе

Знаки тригонометрических функций в треугольнике ( $0^\circ < \alpha < 180^\circ$ ):

— Синус всегда положителен: для любого угла треугольника $\sin\alpha > 0$ . Синус тупого угла положителен в точности так же, как и синус острого!

— Косинус меняет знак: для острых углов ( $0^\circ < \alpha < 90^\circ$ ) косинус положителен ( $\cos\alpha > 0$ ), для прямого угла $\cos 90^\circ = 0$ , а для тупых углов ( $90^\circ < \alpha < 180^\circ$ ) косинус всегда отрицателен ( $\cos\alpha < 0$ ).

Тригонометрическая окружность: почему в 9 классе достаточно полуокружности

В 9 классе на уроках геометрии вводится не полная окружность, а единичная полуокружность, расположенная в верхней полуплоскости ( $y \ge 0$ ) с центром в начале координат и радиусом $R = 1$ .

• Сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$ , поэтому ни один угол в треугольнике не может быть больше или равен $180^\circ$ . Соответственно, геометрия 9 класса работает исключительно в диапазоне углов от $0^\circ$ до $180^\circ$ (I и II координатные четверти).

• Координаты точки $M$ на единичной полуокружности по определению равны: абсцисса $x = \cos\alpha$ , ордината $y = \sin\alpha$ . Поскольку полуокружность лежит выше оси $Ox$ , ордината $y$ всегда неотрицательна, откуда $\sin\alpha \ge 0$ . Абсцисса $x$ правее оси $Oy$ положительна ( $\cos\alpha > 0$ при $\alpha < 90^\circ$ ), а левее оси $Oy$ — отрицательна ( $\cos\alpha < 0$ при $\alpha > 90^\circ$ ).

• Перспектива 10 класса: Полноценная тригонометрическая окружность на все $360^\circ$ , радианы ( $\pi$ ), отрицательные углы и общее мнемоническое правило «лошади» для формул приведения через $\dfrac{\pi}{2}, \pi, \dfrac{3\pi}{2}, 2\pi$ подробно изучаются в курсе алгебры и начал анализа 10 класса. В 9 классе для успешного решения контрольных работ и ОГЭ достаточно твёрдо знать формулы приведения через $180^\circ - \alpha$ .

Если не получается выучить основное тригонометрическое тождество

Для ОГЭ по математике можно выводить значение косинуса по известному значению синуса и наоборот используя определение известной функции через соотношение катета и гипотенузы и далее через теорему Пифагора

Вывод формулы через теорему Пифагора

Рассмотрим пример: $\cos\alpha=0,8^{}$ , найти sinα

Нарисуем прямоугольный треугольник и вспомним, что косинус угла это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Тогда обозначим прилежащий катет за 8x, а гипотенузу за 10x

Прямоугольный треугольник с углом для формулы приведения

И применим теорему Пифагора

\left(10x\right)^2=\left(8x\right)^2+y^2

y^2=100x^2-64x^2=36x^2=\left(6x\right)^2

y=6x

\sin\alpha=\frac{6x}{10x}=0,6

Формулы приведения для 9 класса

Главные формулы приведения, которые нужно знать в 9 классе:

\sin(180^{\circ}-\alpha)=\sin\alpha

cos(180-\alpha) = -cos\alpha

значения для тупых углов вычисляются через известные табличные значения острых углов:

Дополнительные формулы приведения

Формулы ниже с очень маленькой вероятностью пригодятся на ОГЭ по математике, но могут встречаться на контрольных и самостоятельных работах в 9 классе:

\tan(180^\circ - \alpha) = -\tan\alpha \quad (\alpha \neq 90^\circ)

Формулы приведения через $90^\circ$ (для смежных углов прямоугольного треугольника):

\sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha, \qquad \cos(90^\circ - \alpha) = \sin\alpha

Угол $\alpha$

Формула приведения

sinα

cosα

tgα

$90^\circ$

граница четвертей

$1$

$0$

не существует

$120^\circ$

$180^\circ - 60^\circ$

$\sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$-\cos 60^\circ = -\dfrac{1}{2}$

$-\sqrt{3}$

$135^\circ$

$180^\circ - 45^\circ$

$\sin 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$-\cos 45^\circ = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$-1$

$150^\circ$

$180^\circ - 30^\circ$

$\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}$

$-\cos 30^\circ = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

$180^\circ$

развёрнутый угол

$0$

$-1$

$0$

Где формулы приведения применяются в геометрии 9 класса

Основное тождество и формулы приведения через $180^\circ$ служат фундаментом четырёх главных теорем геометрии 9 класса:

Теорема косинусов для тупого угла

В формуле $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma$ , если угол $\gamma$ тупой, его косинус отрицателен ( $\cos\gamma = -\cos(180^\circ - \gamma)$ ). Минус на минус даёт плюс: $c^2 = a^2 + b^2 + 2ab\cos(180^\circ - \gamma)$ . Сторона напротив тупого угла всегда длиннее суммы квадратов катетов!

Теорема синусов ( $\dfrac{a}{\sin\alpha} = 2R$ )

В теореме синусов отношение стороны к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности. Так как $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$ , синус угла $150^\circ$ равен $\sin 30^\circ = 0{,}5$ , что позволяет мгновенно находить радиус описанной окружности тупоугольного треугольника.

Площадь треугольника ( $S = \dfrac{1}{2}ab\sin\gamma$ )

Площадь треугольника с тупым углом вычисляется точно так же, как и с острым: $\sin 120^\circ = \sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ . В параллелограмме сумма соседних углов равна $180^\circ$ , поэтому их синусы равны: $\sin\alpha = \sin(180^\circ - \alpha)$ .

Поиск косинуса по синусу на ОГЭ

Из основного тождества $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$ . Если известно, что угол треугольника тупой, косинус выбирается строго со знаком минус: $\cos\alpha = -\sqrt{1 - \sin^2\alpha}$ . Это классическая задача задания 15 ОГЭ.

Задания на формулы приведения с пошаговыми решениями

Ниже приведены подробные решения пяти ключевых задач по геометрии за 9 класс, типичных для контрольных и самостоятельных работ по учебнику Атанасяна и заданий ОГЭ по математике.

Задание 1: Нахождение косинуса и тангенса тупого угла по известному синусу

Условие: Найдите $\cos\alpha$ и $\tan\alpha$ , если известно, что $\sin\alpha = \dfrac{3}{5}$ и угол $\alpha$ — тупой ( $90^\circ < \alpha < 180^\circ$ ).

Пошаговое решение:

1) Применим основное тригонометрическое тождество:

\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \implies \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha

2) Подставим значение синуса:

\cos^2\alpha = 1 - \left(\dfrac{3}{5}\right)^2 = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}

3) Определим знак косинуса:
По условию угол $\alpha$ — тупой ( $90^\circ < \alpha < 180^\circ$ ), поэтому косинус отрицателен:

\cos\alpha = -\sqrt{\dfrac{16}{25}} = -\dfrac{4}{5} = -0{,}8

4) Найдём тангенс угла:

\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \dfrac{\dfrac{3}{5}}{-\dfrac{4}{5}} = -\dfrac{3}{4} = -0{,}75

Ответ: $\cos\alpha = -0{,}8$ ; $\tan\alpha = -0{,}75$ .

Задание 2: Теорема косинусов в треугольнике с углом 120° (прототип ОГЭ №15)

Условие: В треугольнике стороны равны $a = 5$ и $b = 8$ , а угол между ними равен $120^\circ$ . Найдите третью сторону треугольника.

Пошаговое решение:

1) Найдём косинус тупого угла $120^\circ$ по формуле приведения:

\cos 120^\circ = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos 60^\circ = -\dfrac{1}{2} = -0{,}5

2) Запишем теорему косинусов для третьей стороны $c$ :

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos 120^\circ

3) Подставим числа (обратите внимание на смену знака перед удвоенным произведением):

c^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right)

c^2 = 25 + 64 + 40 = 129

4) Найдём длину стороны $c$ :

c = \sqrt{129}

Ответ: $\sqrt{129}$ .

Задание 3: Площадь треугольника с тупым углом 150°

Условие: Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны $6\text{ см}$ и $10\text{ см}$ , а угол между ними равен $150^\circ$ .

Пошаговое решение:

1) Вычислим синус тупого угла $150^\circ$ по формуле приведения:

\sin 150^\circ = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \dfrac{1}{2} = 0{,}5

2) Применим формулу площади треугольника через две стороны и угол между ними:

S = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin\gamma

3) Подставим числовые значения:

S = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 10 \cdot \sin 150^\circ = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 10 \cdot \dfrac{1}{2} = 30 \cdot \dfrac{1}{2} = 15\text{ см}^2

Ответ: $15\text{ см}^2$ .

Задание 4: Теорема синусов и радиус описанной окружности при угле 135°

Условие: В треугольнике сторона $a = 6\sqrt{2}$ , а противолежащий ей угол равен $135^\circ$ . Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

Пошаговое решение:

1) Найдём синус угла $135^\circ$ по формуле приведения:

\sin 135^\circ = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}

2) Запишем расширенную теорему синусов:

\dfrac{a}{\sin\alpha} = 2R

3) Подставим данные и найдём диаметр $2R$ :

2R = \dfrac{6\sqrt{2}}{\sin 135^\circ} = \dfrac{6\sqrt{2}}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}} = \dfrac{6\sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2}} = 12

4) Найдём радиус описанной окружности:

R = \dfrac{12}{2} = 6

Ответ: $6$ .

Задание 5: Упрощение тригонометрического выражения для углов от 0° до 180°

Условие: Упростите выражение: $\dfrac{\sin(180^\circ - \alpha) \cdot \cos(90^\circ - \alpha)}{1 - \cos^2(180^\circ - \alpha)}$ при условии $\sin\alpha \neq 0$ .

Пошаговое решение:

1) Преобразуем числитель по формулам приведения:
• $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$
• $\cos(90^\circ - \alpha) = \sin\alpha$
Числитель равен: $\sin\alpha \cdot \sin\alpha = \sin^2\alpha$ .

2) Преобразуем знаменатель:
• $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha \implies \cos^2(180^\circ - \alpha) = (-\cos\alpha)^2 = \cos^2\alpha$ .
Знаменатель равен: $1 - \cos^2\alpha$ .

3) Применим основное тригонометрическое тождество в знаменателе:

1 - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha

4) Выполним сокращение дроби:

\dfrac{\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha} = 1

Ответ: $1$ .

Типичные ошибки в формулах приведения и тождествах

При решении геометрических задач с тупыми углами девятиклассники чаще всего допускают следующие четыре ошибки:

Минус у синуса тупого угла

Считают, что раз косинус тупого угла отрицателен, то и синус тоже должен быть отрицательным: $\sin 150^\circ = -0{,}5$ .

В любом треугольнике синус угла всегда положителен: $\sin(180^\circ - \alpha) = +\sin\alpha$ !

Потеря минуса у косинуса в теореме косинусов

Подставляют в формулу $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos 120^\circ$ значение $\cos 120^\circ = +0{,}5$ вместо $-0{,}5$ .

Для тупого угла косинус отрицателен, поэтому перед удвоенным произведением знак «минус» обязан смениться на «плюс».

Путаница формул 90° и 180°

При вычитании из $180^\circ$ ошибочно меняют функцию на кофункцию, записывая $\sin(180^\circ - 30^\circ) = \cos 30^\circ$ .

Приведение через $180^\circ$ сохраняет название функции (синус остаётся синусом, косинус — косинусом). Название меняется только при $90^\circ$ !

Положительный косинус тупого угла

Находя $\cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha}$ для тупого угла, забывают поставить знак минус перед корнем.

Если в условии сказано, что угол тупой, косинус всегда строго меньше нуля: $\cos\alpha = -\sqrt{1 - \sin^2\alpha}$ .

Задания на формулы приведения для 9 класса

Онлайн-тренажёры Экзамео включают полную базу практических заданий по теме «Основное тригонометрическое тождество и формулы приведения» для 9 класса и подготовки к ОГЭ по математике. Тренируйтесь находить тригонометрические функции тупых углов, применять теоремы синусов и косинусов, сверяйте пошаговые подсказки и доводите решение геометрических задач до полного автоматизма!

Практика

Задачи сейчас заполняются

Уже готовим задания по теме: добавляем варианты, проверку ответов и понятные разборы после попытки.

Подбираем заданияПроверяем ответыГотовим разборы

Основное тригонометрическое тождество и формулы приведения — 9 класс

Формулы приведения для 9 класса

Где формулы приведения применяются в геометрии 9 класса

Задания на формулы приведения с пошаговыми решениями

Типичные ошибки в формулах приведения и тождествах

Задания на формулы приведения для 9 класса

Задачи сейчас заполняются

Рекомендуем изучить вместе с этой темой