Тригонометрия 8 класс - понятный разбор и задачи с решениями

В этом разделе подробно рассматривается тригонометрия в прямоугольном треугольнике — одна из важнейших и наиболее практичных тем курса геометрии 8 класса. Раздел «тригонометрия 8 класс» связывает градусные меры острых углов прямоугольного треугольника со соотношениями его сторон (катетов и гипотенузы), позволяя находить любые элементы фигуры алгебраическим путем.

Здесь собрана вся ключевая теория, которая входит в школьную программу и проверочные материалы: определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса, основные тригонометрия формулы 8 класс, удобная таблица тригонометрических значений для основных углов с лайфхаками для её мгновенного запоминания, а также разбор решений типовых задач на тригонометрию 8 класс. Понимание этой темы необходимо для успешного выполнения контрольных работ и сдачи ОГЭ по математике.

Отработать тему тригонометрия в прямоугольном треугольнике можно после теории в интерактивных тренажёрах с подробными решениями.

Теоретический справочник: тригонометрия 8 класс

Ниже приведены определения, формулы, таблица значений и зависимости, образующие тему тригонометрия геометрии 8 класс.

Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса

Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами $a$ (противолежащий катет для угла $\alpha$ ), $b$ (прилежащий катет для угла $\alpha$ ) и гипотенузой $c$ .

Определения тригонометрических функций острого угла

• Синусом острого угла называется отношение противолежащего катета к гипотенузе:

\sin \alpha = \dfrac{a}{c} = \dfrac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}

• Косинусом острого угла называется отношение прилежащего катета к гипотенузе:

\cos \alpha = \dfrac{b}{c} = \dfrac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}

• Тангенсом острого угла называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету:

\mathrm{tg}\,\alpha = \dfrac{a}{b} = \dfrac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}

• Котангенсом острого угла называется отношение прилежащего катета к противолежащему катету:

\mathrm{ctg}\,\alpha = \dfrac{b}{a} = \dfrac{\text{прилежащий катет}}{\text{противолежащий катет}}

Таблица значений тригонометрических функций для углов $30^\circ, 45^\circ, 60^\circ$

Exameo стоит на фоне доски с значениями тригонометрических функций

Значения тригонометрических функций для основных углов постоянно встречаются в задачах по геометрии и на контрольных работах в 8 классе. Однако на ОГЭ по математике очень мала вероятность, что нужно будет использовать именно табличные значения.

Функция / Угол

30°

45°

60°

$\sin \alpha$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos \alpha$

$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$\dfrac{1}{2}$

$\mathrm{tg}\,\alpha$

$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

$\sqrt{3}$

$\mathrm{ctg}\,\alpha$

$\sqrt{3}$

$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

Однако в самом начале изучения тригонометрии в прямоугольном треугольнике проще не запоминать таблицу, а выучить как её заполнять - это намного проще.

Как быстро запомнить таблицу углов за 1 минуту!

1. Правило синуса (счёт от 1 до 3): Запомните, что у синуса для углов $30^\circ, 45^\circ, 60^\circ$ в знаменателе всегда стоит $2$ , а в числителе — корень из порядка угла: $\dfrac{\sqrt{1}}{2} = \dfrac{1}{2}$ , $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ , $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ .

2. Косинус — это синус наоборот: Запишите строчку синуса в обратном порядке: $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ , $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ , $\dfrac{1}{2}$ .

3. Тангенс = Синус / Косинус: Чтобы найти тангенс, делите числитель синуса на числитель косинуса:
• для $30^\circ \implies \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$ ;
• для $45^\circ \implies \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1$ ;
• для $60^\circ \implies \dfrac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$ .

Основные тригонометрические формулы 8 класса

Изучая блок тригонометрия формулы 8 класс, важно выучить ключевые соотношения между функциями одного и того же угла и углов, дополняющих друг друга до $90^\circ$ :

Ключевые формулы и тождества:

1. Основное тригонометрическое тождество:

\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1

2. Связь тангенса и котангенса с синусом и косинусом:

\mathrm{tg}\,\alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, \quad \mathrm{ctg}\,\alpha = \dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha}, \quad \mathrm{tg}\,\alpha \cdot \mathrm{ctg}\,\alpha = 1

3. Формулы приведения для углов, дополняющих до $90^\circ$ :

\sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha, \quad \cos(90^\circ - \alpha) = \sin \alpha

Важные свойства тригонометрических функций

Поскольку катет прямоугольного треугольника всегда строго меньше гипотенузы ( $a < c$ и $b < c$ ), значения синуса и косинуса любого острого угла всегда лежат в интервале от $0$ до $1$ :

0 < \sin \alpha < 1, \quad 0 < \cos \alpha < 1

Значения тангенса и котангенса острого угла могут принимать абсолютно любые положительные значения ( $> 0$ ).

Пошаговый алгоритм решения задач

При решении задач на тригонометрию 8 класс придерживайтесь алгоритма:

Порядок действий:

Выделите угол и стороны: установите, какой катет является противолежащим к данному углу, а какой — прилежащим.

Выберите функцию: подберите формулу (синус, косинус или тангенс), связывающую известный элемент и искомую сторону.

Вычислите неизвестную сторону: выразите искомую величину из пропорции или тождества и запишите ответ.

Разбор задач для подготовки к контрольной работе

Рассмотрите решения характерных прототипов задач, входящих в контрольные работы по тригонометрии за 8 класс.

Пример 1: Нахождение косинуса через синус (Основное тригонометрическое тождество)

Задание: В прямоугольном треугольнике синус острого угла $\alpha$ равен $\dfrac{3}{5}$ . Найдите $\cos \alpha$ и $\mathrm{tg}\,\alpha$ .

Подробное решение:

1) Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ :

\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left(\dfrac{3}{5}\right)^2 = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}

2) Так как $\alpha$ — острый угол прямоугольного треугольника, $\cos \alpha > 0$ :

\cos \alpha = \sqrt{\dfrac{16}{25}} = \dfrac{4}{5} = 0{,}8

3) Найдем тангенс угла $\alpha$ по формуле отношения синуса к косинусу:

\mathrm{tg}\,\alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \dfrac{3/5}{4/5} = \dfrac{3}{4} = 0{,}75

Ответ: $\cos \alpha = 0{,}8$ , $\mathrm{tg}\,\alpha = 0{,}75$ .

Пример 2: Применение табличных значений тригонометрических функций

Задание: В прямоугольном треугольнике $ABC$ ( $\angle C = 90^\circ$ ) гипотенуза $AB = 10\text{ см}$ , а острый угол $\angle A = 30^\circ$ . Найдите катеты $BC$ и $AC$ .

Подробное решение:

1) По определению синуса $\sin A = \dfrac{BC}{AB} \implies BC = AB \cdot \sin 30^\circ$ .
По таблице $\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}$ :

BC = 10 \cdot \dfrac{1}{2} = 5\text{ см}

2) По определению косинуса $\cos A = \dfrac{AC}{AB} \implies AC = AB \cdot \cos 30^\circ$ .
По таблице $\cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ :

AC = 10 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}\text{ см}

Ответ: $BC = 5\text{ см}$ , $AC = 5\sqrt{3}\text{ см}$ .

Тренажёры по теме «Тригонометрия в прямоугольном треугольнике» на Экзамео

Подготовиться к самостоятельным и контрольным работам по тригонометрии в 8 классе можно с помощью интерактивных онлайн-тренажёров на образовательной платформе «Экзамео». В нашем банке собраны сотни практических заданий на вычисление синуса, косинуса, тангенса, использование таблицы углов и применение тригонометрических формул, составленных строго в соответствии с требованиями ФГОС и ФОП (по учебникам Атанасяна, Погорелова, Мерзляка).

Интерактивная система автоматически проверяет ответы в реальном времени и показывает подробные решения с чертежами к каждому заданию. Занимайтесь на Экзамео в комфортном темпе, осваивайте тригонометрию и получайте только отличные оценки за контрольные работы45

Задача 1

Длина вертикального отрезка в треугольнике через подобие

Темы5

Курсы3

Вариант 1

Ваш ответ

Наберите ответ

Задача 2

Тангенс угла на клетчатой бумаге

Темы1

Курсы3

Геометрическая задача на клетчатой бумаге размером 1x1 на нахождение тангенса угла.Вариант 1

Ваш ответ

Наберите ответ

Полный тренажер

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

В Экзамео откроются дополнительные задания по теме, проверка прогресса и решения после попытки.

Все тренажёрыПрогресс по темеПерсональный план