Сложение векторов - правило треугольника, параллелограмма и по координатам

В этом разделе подробно рассматривается тема «Сложение векторов» по геометрии за 9 класс. Векторный метод является одним из наиболее универсальных инструментов математики и физики, позволяющим описывать направление, величину и совместное действие величин на плоскости и в пространстве. В программе 9 класса школьники осваивают геометрические методы построения суммы (по правилу треугольника и правилу параллелограмма), а также аналитический метод — сложение векторов по координатам.

Здесь собрана вся ключевая теория, необходимая для решения задач из школьной программы 9 класса. Также важно отметить, что эта тема встречается в кодификаторе ОГЭ по математике(Векторы на плоскости) и профильного ЕГЭ по математике (2 задание ЕГЭ по математике - векторы). Сложение векторов лежит в основе решения многих задач по физике в 9-11 классах.

Отработать тему сложение векторов можно после теории в интерактивных тренажёрах с подробными решениями.

Геометрические правила сложения векторов

Сложение векторов отличается от сложения обычных чисел (скаляров), так как вектор имеет не только числовое значение (модуль), но и направление. Суммой двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется новый вектор $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$ . Для суммирования векторов используются 3 правила, два из которых геометрические и требуют дополнительных построений.

Правило треугольника (сложение «цепочкой»)

Универсальное правило, подходящее для сложения двух произвольных векторов, а также для построения суммы цепочки из нескольких векторов (правило многоугольника).

Алгоритм сложения по правилу треугольника

Чтобы сложить векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ по правилу треугольника:

1. От произвольной точки $A$ отложите вектор $\vec{AB} = \vec{a}$ .
2. Из конца первого вектора (точки $B$ ) отложите второй вектор $\vec{BC} = \vec{b}$ (начало второго вектора совмещается с концом первого).
3. Вектор $\vec{AC}$ , выпущенный из начала первого (точки $A$ ) в конец второго (точку $C$ ), является вектором суммы:

\vec{a} + \vec{b} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}

Визуально правило треугольника выглядит вот так:

Правило параллелограмма

Удобный метод сложения двух неколлинеарных векторов, приложенных к одной точке. Это правило лежит в основе нахождения равнодействующей силы в физике.

Алгоритм сложения по правилу параллелограмма:

1. Отложите от одной точки $O$ оба вектора: $\vec{OA} = \vec{a}$ и $\vec{OB} = \vec{b}$ .

2. Достройте полученный угол до параллелограмма $OACB$ (через концы векторов $A$ и $B$ проведите прямые, параллельные соответствующим векторам).

3. Вектор суммы $\vec{c} = \vec{OC}$ совпадает с диагональю параллелограмма, выходящей из общего начала (точки $O$ ):

\vec{OC} = \vec{OA} + \vec{OB} = \vec{a} + \vec{b}

Визуально правило сложения векторов по параллелограмму выглядит следующим образом:

Сложение коллинеарных векторов

Мы разобрали все случаи сложения векторов, которые проходятся на геометрии в 9 классе, но остается логичный вопрос, все эти вектора направлены под каким-то углом друг к другу. А что же делать, если вектора направлены вдоль одной прямой?

Алгебраический способ через координаты ничем не отличается, а вот геометрически вы просто переносите один вектор к концу другого и складываете их, если они сонаправлены или вычитаете, если вектора направлены в противоположные стороны

Сложение сонаправленных векторов

Сложение разнонаправленных векторов

Выбор способа сложения векторов

Сделаем важное замечание - вектора можно параллельно переносить вдоль координатной плоскости, поскольку вектор, это просто комбинация длины и направления.

Фактически это означает, что вы можете выбрать один способ и всегда пользоваться им, просто переносить параллельно вектора либо к одной точке для сложения по правилу параллелограмма, либо начало одного вектора к концу другого для использования правила треугольника

Сложение векторов по координатам

Аналитический метод сложения векторов является самым простым и точным, так как исключает необходимость дополнительных построений.

В декартовой системе координат каждая координата вектора суммы равна сумме соответствующих координат слагаемых векторов.

Формула сложения векторов в координатах

Если векторы заданы своими координатами $\vec{a}\{x_1; y_1\}$ и $\vec{b}\{x_2; y_2\}$ , то вектор их суммы $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$ имеет координаты:

\vec{c} = \{x_1 + x_2;\; y_1 + y_2\}

Для случая пространственных векторов (в 10–11 классах и стереометрии ЕГЭ) формула аналогично дополняется третьей осью: $\vec{c} = \{x_1 + x_2;\; y_1 + y_2;\; z_1 + z_2\}$ .

Именно этот метод сложения векторов будет использоваться в ЕГЭ по математике профильного уровня

Применение сложения векторов в физике

В физике почти все кинематические и динамические величины (скорость, ускорение, сила, импульс, напряженность электрического поля) являются векторными, вы будете проходить их в 9, 10 и 11 классе. На экзамене в 9 классе векторов практически не будет

Нахождение их совместного действия полностью основывается на геометрии сложения векторов:

1. Равнодействующая сила (Динамика)

Если на тело одновременно действуют несколько сил $\vec{F}_1, \vec{F}_2, \dots, \vec{F}_n$ , то их общее действие заменяется одной равнодействующей силой:

\vec{F}_{\text{равн}} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \dots + \vec{F}_n

Для её построения применяется правило параллелограмма.

Построение для результирующей силы будет выглядеть следующим образом:

2. Сложение скоростей (Кинематика)

Закон сложения скоростей Галилея: абсолютная скорость тела относительно неподвижной системы отсчета равна векторной сумме относительной и переносной скоростей:

\vec{v}_{\text{абс}} = \vec{v}_{\text{отн}} + \vec{v}_{\text{перен}}

Это активно используется в начале 9 и 10 класса при решении задач на движение по реке перпендикулярно течению. Вектора опять же складываются по методу параллелограмма.
Закон сложения скоростей так же встречается на ЕГЭ по физике.

Основные свойства сложения векторов!

Для любых векторов $\vec{a}$ , $\vec{b}$ и $\vec{c}$ выполняются законы алгебры:

1. Переместительный (коммутативность): $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$

2. Сочетательный (ассоциативность): $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$

3. Сложение с нулевым вектором: $\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$

4. Противоположный вектор: $\vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0}$

Пошаговый алгоритм сложения векторов

При решении геометрических и физических задач на сложение векторов придерживайтесь алгоритма, он поможет решить задачи без ошибок и выбрать правильный метод сложения:

Порядок действий:

Выберите способ решения: если заданы координаты — складывайте аналитически; если задан чертеж — используйте геометрическое построение.

Выполните построение или вычисление: для построения «цепочкой» используйте правило треугольника, из одной точки — правило параллелограмма; в координатах сложите $x$ -координаты отдельно, $y$ -координаты отдельно.

Рассчитайте модуль вектора (при необходимости): найдите длину полученного вектора по формуле $|\vec{c}| = \sqrt{x_{\text{сум}}^2 + y_{\text{сум}}^2}$ и выпишите ответ.

Разбор задач на сложение векторов в математике

Рассмотрите решения характерных прототипов задач из банка ФИПИ.

Пример 1: Сложение векторов по координатам и нахождение длины (ЕГЭ Задание 2)

Задание: Даны векторы $\vec{a}\{3; -4\}$ и $\vec{b}\{5; 12\}$ . Найдите длину вектора $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$ .

Подробное решение:

1) Найдем координаты вектора суммы $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$ , поочередно сложив соответствующие координаты:

x_c = x_a + x_b = 3 + 5 = 8

y_c = y_a + y_b = -4 + 12 = 8

Получаем вектор $\vec{c}\{8; 8\}$ .

2) Вычислим длину (модуль) полученного вектора $\vec{c}$ по формуле $|\vec{c}| = \sqrt{x_c^2 + y_c^2}$ :

|\vec{c}| = \sqrt{8^2 + 8^2} = \sqrt{64 + 64} = \sqrt{128} = 8\sqrt{2}

Ответ: $|\vec{c}| = 8\sqrt{2}$ (или в координатах $\vec{c}\{8; 8\}$ ).

Пример 2: Применение правила параллелограмма в физике (Равнодействующая двух сил)

Задание: На материальную точку одновременно действуют две взаимно перпендикулярные силы $F_1 = 6\text{ Н}$ и $F_2 = 8\text{ Н}$ . Найдите модуль равнодействующей силы $F_{\text{равн}}$ .

Подробное решение:

1) По закону сложения векторных величин равнодействующая сила равна векторной сумме двух сил: $\vec{F}_{\text{равн}} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2$ .

2) Так как силы приложены к одной точке и направлены под углом $90^\circ$ друг к другу, при достраивании до параллелограмма мы получаем прямоугольник.

3) Диагональ этого прямоугольника (модуль вектора равнодействующей) находится по теореме Пифагора:

F_{\text{равн}} = \sqrt{F_1^2 + F_2^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\text{ Н}

Ответ: $10\text{ Н}$ .

Тренажёры по теме «Сложение векторов» на Экзамео

Отработать правила геометрии (параллелограмм, треугольник) и алгоритмы сложения векторов в координатах помогут интерактивные тренажёры образовательной платформы «Экзамео». Каждое задание составлено в соответствии со школьной программой за 9 класс и с открытым банком ФИПИ по математике.

Система мгновенно проверяет ответы, а каждое задание сопровождается подробным пошаговым решением и наглядным чертежом, что поможет подготовиться к самостоятельным работам и экзаменам.

Задача 1

Скалярное произведение векторов на графике

Темы3

Курсы2

Вариант 1

На координатной плоскости изображены векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ , координатами которых являются целые числа. Найдите скалярное произведение векторов $\vec{a} \cdot \vec{b}$ .

Ваш ответ

Наберите ответ

Задача 2

Длина линейной комбинации векторов

Темы3

Курсы1

Тренажер с графическим обозначением векторовВариант 1

На координатной плоскости изображены векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ , координатами которых являются целые числа. Найдите длину вектора $2\vec{a} + \vec{b}$ .

Ваш ответ

Наберите ответ

Полный тренажер

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

В Экзамео откроются дополнительные задания по теме, проверка прогресса и решения после попытки.

Все тренажёрыПрогресс по темеПерсональный план