График прямой в ОГЭ по математике - подробная теория и тренажёры

Тема «График прямой и линейная функция в ОГЭ по математике» — одна из обязательных тем экзаменационного курса, которая гарантированно проверяется в задании 11 (часть 1) и регулярно встречается в задачах с параметрами и кусочно-заданными функциями в задании 21 (часть 2). Умение быстро определять знаки и числовые значения коэффициентов $k$ и $b$ позволяет за считанные секунды сопоставлять прямые с формулами в бланке ответов.

На этой странице представлен исчерпывающий разбор: геометрический смысл коэффициентов $k$ и $b$ , метод нахождения углового коэффициента по клеткам через прямоугольный треугольник, анализ знаков коэффициентов, все типы прототипов 11 задания из открытого банка ФИПИ. После теории вы найдёте тренажёры с подробными решениями и проверкой ответов для отработки графиков прямой на ОГЭ.

Линейной функцией называется функция вида $y = kx + b$ , где $k$ и $b$ — заданные действительные числа, а $x$ — независимая переменная (аргумент). Графиком функции всегда служит прямая линия, наклон и сдвиг которой определяются исключительно парой чисел $(k; b)$ .

Анатомия прямой в заданиях ОГЭ

Ключевое правило задания 11: чтобы безошибочно соотнести график прямой с формулой, сначала определяют знак свободного члена $b$ (точка пересечения с осью $Oy$ ), а затем знак и наклон коэффициента $k$ (направление прямой).

• Точка на оси Oy: прямая всегда пересекает вертикальную ось ординат в точке с координатами $(0; b)$ .

• Точка на оси Ox: корень уравнения $kx + b = 0$ , то есть точка $\left(-\dfrac{b}{k}; 0\right)$ при $k \neq 0$ .

• Прямая пропорциональность: если $b = 0$ , формула принимает вид $y = kx$ , а график проходит строго через начало координат $(0; 0)$ .

Коэффициенты k и b в заданиях ОГЭ

В первой части ОГЭ по математике подавляющее большинство задач на прямые строится на определении знаков $k$ и $b$ либо нахождении их точных значений по узлам координатной сетки:

Коэффициент k

Угловой коэффициент (наклон прямой)

Коэффициент $k$ отвечает за угол наклона прямой к положительному направлению оси $Ox$ :

Знак коэффициента k:
• Если $k > 0$ — прямая возрастает (идёт снизу вверх, из 3-й в 1-ю четверть), угол наклона острый.
• Если $k < 0$ — прямая убывает (идёт сверху вниз, из 2-й в 4-ю четверть), угол наклона тупой.
• Если $k = 0$ — прямая горизонтальна ( $y = b$ ), параллельна оси $Ox$ .

Числовое значение k по клеткам:
Находят два целых узла сетки на прямой и вычисляют отношение вертикального шага к горизонтальному: $k = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ .

Коэффициент b

Свободный член (точка на оси Oy)

Коэффициент $b$ равен ординате точки пересечения графика с осью $Oy$ (значение $y$ при $x = 0$ ):

Определение b по чертежу:
• Если прямая пересекает ось $Oy$ выше оси $Ox$ — $b > 0$ .
• Если прямая пересекает ось $Oy$ ниже оси $Ox$ — $b < 0$ .
• Если прямая проходит через начало координат $(0; 0)$ — $b = 0$ .

Лайфхак ОГЭ:
Посмотрите на ось $Oy$ . Число, в котором прямая пересекает эту вертикальную ось, и есть точное значение $b$ .

Пример анализа: определение знаков k и b (типовое задание 11 ОГЭ)

Задание (ФИПИ): Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов $k$ и $b$ . На одном из рисунков прямая идёт сверху вниз и пересекает ось $Oy$ ниже начала координат.

Пошаговый разбор:

1) Прямая идёт «под горку» (сверху вниз слева направо), значит угол с положительным направлением оси $Ox$ тупой, функция убывает $\implies k < 0$ .

2) Точка пересечения прямой с вертикальной осью $Oy$ лежит ниже нуля $\implies b < 0$ .

3) Получаем комбинацию знаков: $k < 0, \quad b < 0$ .

Ответ: $k < 0, b < 0$ .

Как найти угловой коэффициент k по графику на клетках

Во 2 части ОГЭ (задание 21) или при составлении уравнения прямой по рисунку в 1 части требуется найти точное числовое значение $k$ . Для этого используется метод прямоугольного треугольника:

Найдите две точки в узлах сетки:
Отыщите на прямой две точки с точными целыми координатами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ , которые лежат строго на пересечении линий клеток.

Постройте прямоугольный треугольник:
Соедините эти точки горизонтальным и вертикальным катетами вдоль линий сетки. Длины катетов равны разностям координат: $\Delta y = |y_2 - y_1|$ и $\Delta x = |x_2 - x_1|$ .

Вычислите отношение катетов и поставьте знак:
Разделите вертикальный катет на горизонтальный: $|k| = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ . Если прямая возрастает, оставляем знак «плюс» ( $k > 0$ ). Если прямая убывает, ставим знак «минус» ( $k < 0$ ).

Пример нахождения формулы прямой по узлам сетки

Задание: На рисунке изображён график прямой, проходящей через точку $(0; -2)$ на оси $Oy$ и точку $(4; 1)$ в узле координатной сетки. Найдите уравнение этой функции.

Пошаговый разбор:

1) Находим коэффициент b: Прямая пересекает ось $Oy$ в точке $(0; -2)$ , следовательно:
$$b = -2$$

2) Строим треугольник между точками (0; -2) и (4; 1):
• Горизонтальное смещение $\Delta x = 4 - 0 = 4$ клетки.
• Вертикальное смещение $\Delta y = 1 - (-2) = 3$ клетки.
• Прямая идёт снизу вверх (возрастает), поэтому $k > 0$ .

3) Находим коэффициент k:

k = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{3}{4} = 0{,}75

4) Записываем формулу:

y = 0{,}75x - 2

Ответ: $y = 0{,}75x - 2$ .

Взаимное расположение прямых в заданиях ОГЭ

В задачах на соответствие графиков и в задании 21 необходимо помнить геометрические критерии взаимного расположения двух прямых $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$ :

• Прямые параллельны: угловые коэффициенты строго равны, а сдвиги различны ( $k_1 = k_2$ , но $b_1 \neq b_2$ ). Графики имеют одинаковый угол наклона и нигде не пересекаются.

• Прямые пересекаются: угловые коэффициенты не равны между собой ( $k_1 \neq k_2$ ). Прямые гарантированно пересекаются ровно в одной точке. Координаты точки пересечения находятся решением уравнения $k_1x + b_1 = k_2x + b_2$ .

• Прямые перпендикулярны: произведение угловых коэффициентов равно минус единице: $k_1 \cdot k_2 = -1$ (то есть $k_2 = -\dfrac{1}{k_1}$ ). Например, прямые $y = 2x$ и $y = -0{,}5x + 3$ перпендикулярны, так как $2 \cdot (-0{,}5) = -1$ .

Ошибки при работе с графиками прямой на ОГЭ

При анализе бланков ОГЭ экзаменаторы чаще всего отмечают три типичные ошибки в 11 задании:

Поиск точки b на горизонтальной оси Ox

Свободный член $b$ ошибочно смотрят по горизонтальной оси $Ox$ . Запомните: $b$ — это ордината точки при $x = 0$ , поэтому смотреть нужно исключительно на пересечение с вертикальной осью $Oy$ .

Ошибки в знаке k при взгляде справа налево

Оценивают наклон прямой в обратную сторону. График всегда читается строго слева направо (по направлению стрелки $Ox$ ): если линия идёт вверх — $k > 0$ , если опускается вниз — $k < 0$ .

Перевёрнутая дробь при расчёте k по клеткам

При вычислении наклона делят горизонтальное смещение на вертикальное ( $\Delta x / \Delta y$ ) вместо правильного отношения вертикали к горизонтали ( $\Delta y / \Delta x$ ). Это даёт обратное число вместо верного углового коэффициента.

Задания по графикам прямой из открытого банка ФИПИ

В интерактивных тренажёрах Экзамео собраны все типы прототипов 11 и 21 заданий ОГЭ по математике на линейную функцию: сопоставление прямых со знаками $k$ и $b$ , нахождение формулы по точкам сетки, взаимное расположение прямых и пересечение графиков. Каждое задание содержит детальное пошаговое решение с разбором каждого графика и .

Задача 1

Установление соответствия между графиками линейных функций

Темы1

Курсы2

Вариант 1

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

ГРАФИКИ

ФОРМУЛЫ

y = -x - 2

y = -2x

y = 3x - 1

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

Ваш ответ

Задача 2

Знаки коэффициентов k и b на графиках прямой

Темы1

Курсы2

Задание на сопоставление знаков коэффициентов k и b линейной функции y = kx + b с графиками прямых из открытого банка ОГЭ по математике. Вариант 1

На рисунках изображены графики функций вида $y = kx + b$ . Установите соответствие между знаками коэффициентов $k$ и $b$ и графиками функций.

КОЭФФИЦИЕНТЫ

А)

k < 0, \; b < 0

Б)

k > 0, \; b > 0

В)

k > 0, \; b < 0

ГРАФИКИ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

Ваш ответ

Полный тренажер

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

В Экзамео откроются дополнительные задания по теме, проверка прогресса и решения после попытки.

Все тренажёрыПрогресс по темеПерсональный план