На этой странице собраны подробные, доступные и систематизированные учебные материалы по теме «Квадратные уравнения для ОГЭ по математике». Эксперты и методисты платформы Экзамео разработали этот практический справочник с секретными лайфхаками вычисления корней, теоремой Виета и пошаговыми разборами, чтобы помочь выпускникам 9 класса гарантированно забирать баллы как в первой, так и во второй части экзамена.
Квадратные уравнения — это математический фундамент всего ОГЭ. Они не просто дают быстрый балл в тестовой части, но и являются ключевым элементом сложнейших задач второй части. Квадратное уравнение встречается сразу в трёх заданиях ОГЭ: №9, №20 и №21.
Где квадратные уравнения встречаются в ОГЭ?
Умение решать квадратные уравнения приносит абитуриенту от 1 до 5 первичных баллов:
• Задание 9 (1 часть, 1 балл): простейшие и полные квадратные уравнения в чистом виде (часто просят вписать меньший или больший корень);
• Задание 20 (2 часть, 2 балла): сложные алгебраические уравнения с заменой переменной, разложением на множители или дробно-рациональные конструкции, сводящиеся к квадратным;
• Задание 21 (2 часть, 2 балла): текстовые задачи (на движение по воде, работу, сплавы и смеси), где составление математической модели приводит к квадратному уравнению.
Классические способы решения квадратных уравнений
Канонический вид квадратного уравнения: ax² + bx + c = 0 (где a ≠ 0).
1. Через Дискриминант (Универсальный) 🎯
• Формула дискриминанта:
D = b² − 4ac
• Если D > 0: 2 корня: x = (−b ± √D) / (2a)
• Если D = 0: 1 корень: x = −b / (2a)
• Если D < 0: действительных корней нет.
2. Теорема Виета (Быстрый для a = 1) ⚡
• Применяется для приведённых уравнений (x² + px + q = 0):
x₁ + x₂ = −p
x₁ · x₂ = q
• Позволяет устно подбирать целые корни за 5 секунд без сложных вычислений D.
🔥 Секретный лайфхак: Свойство коэффициентов (a + b + c = 0)
Если сумма всех коэффициентов квадратного уравнения равна нулю (a + b + c = 0), то первый корень ВСЕГДА равен единице: x₁ = 1, а второй корень равен: x₂ = c / a!
Пример: 139x² − 140x + 1 = 0. Сумма: 139 − 140 + 1 = 0. Корни моментально: x₁ = 1, x₂ = 1 / 139! Без унылого возведения 140 в квадрат.
🔥 Лайфхаки: Как извлечь квадратный корень из БОЛЬШОГО числа?
В справочных материалах ОГЭ даётся таблица квадратов двузначных чисел только до 99² (то есть до 9801). В текстовых задачах №21 или №20 дискриминант часто получается огромным (например, D = 15 129, 27 225 или 54 756). Инженерного калькулятора на ОГЭ нет! Вот два мощных метода, как устно вычислить √D за 30 секунд:
Метод 1: Разложение на простые множители 🧩
• Суть: раскладываем число под корнем на простые делители (2, 3, 5, 7, 11...).
• Пример: найдем √15876.
15876 : 2 = 7938
7938 : 2 = 3969
3969 : 3 = 1323
1323 : 3 = 441
441 : 3 = 147
147 : 3 = 49 49 = 7 · 7
• Итог: 15876 = 2² · 3⁴ · 7²
• Извлекаем корень (деля степени на 2):
√15876 = 2¹ · 3² · 7¹ = 2 · 9 · 7 = 126!
Метод 2: Границы + Последняя цифра (Самый быстрый!) ⚡
• Пример: найдем √15 129.
1) Ограничиваем круглыми сотнями:
100² = 10 000, а 200² = 40 000.
Число 15 129 зажато между 10 000 и 40 000 ответ лежит в отрезке от 100 до 200 (ближе к 100, так как 15 000 ближе к 10 000).
2) Уточняем десятками:
120² = 14 400, 130² = 16 900.
Искомое число между 14 400 и 16 900 число между 120 и 130!
3) Смотрим на ПОСЛЕДНЮЮ ЦИФРУ:
Число оканчивается на 9. Какая цифра при возведении в квадрат даёт 9 на конце? Только 3 (3²=9) или 7 (7²=49)!
Варианта всего два: 123 или 127.
Проверяем столбиком: 123 · 123 = 15 129. Ответ: 123!
Шпаргалка: Последняя цифра точного квадрата
Чтобы мгновенно угадывать последнюю цифру корня при использовании Метод 2, запомните эту таблицу:
Последняя цифра под корнем (D)
Возможные последние цифры корня (√D)
Пример
1
1 (1²=1) или 9 (9²=81)
√15 129 оканчивается на 3 или 7 (123)
4
2 (2²=4) или 8 (8²=64)
√54 756 оканчивается на 4 (234)
5
Только 5 (5²=25)
√27 225 строго оканчивается на 5 (165)
6
4 (4²=16) или 6 (6²=36)
√11 236 оканчивается на 4 или 6 (106)
9
3 (3²=9) или 7 (7²=49)
√18 769 оканчивается на 3 или 7 (137)
Пошаговый алгоритм решения квадратного уравнения
Придерживайтесь этого единого алгоритма при решении задач №9, №20 и №21:
Порядок действий:
Приведите уравнение к каноническому виду ax² + bx + c = 0: раскройте скобки, перенесите все слагаемые влево и приведите подобные.
Проверьте лайфхаки (a + b + c = 0) и Виета: если коэффициенты удобные, моментально найдите корни без дискриминанта.
Если дискриминант большой: найдите √D методом «Границы + Последняя цифра» или разложением на множители.
Оформить ответ согласно номеру задания:
• В задании 9 выберите меньший/больший корень;
• В задании 20 сделайте обратную замену и отбросьте посторонние корни;
• В задании 21 отбросьте отрицательный корень (так как скорость, время и масса всегда больше 0!).
Типичные ошибки выпускников
При решении квадратных уравнений на ОГЭ ученики чаще всего допускают следующие ошибки:
Ошибка в знаке при расчёте Дискриминанта
Забыть, что при отрицательном c в формуле b² − 4ac минус на минус даёт плюс ❌! Если c = −5, то D = b² + 4a·5 ✅!
Забытый знаменатель 2a
Делить (−b ± √D) просто на 2, когда старший коэффициент a ≠ 1 ❌. Запомните: всегда делим на 2a ✅!
Постарайтесь обращать на это внимание при решении тренировочных вариантов.
Разбор реальных примеров из заданий №9, №20 и №21
Рассмотрите полные образцы решения квадратных уравнений из разных разделов ОГЭ.
Пример 1: Задание №9 ОГЭ (Базовый уровень)
Задание: Решите уравнение x² + 4 = 5x. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.
Подробное решение:
1) Перенесём 5x влево: x² − 5x + 4 = 0.
2) Проверим теорему Виета:
• x₁ + x₂ = 5
• x₁ · x₂ = 4
• Легко подбираются целые числа: x₁ = 1 и x₂ = 4.
3) По условию требуется записать меньший корень: 1 < 4.
Ответ: 1
Пример 2: Задание №20 ОГЭ (Биквадратное уравнение через замену)
Задание: Решите уравнение (x − 2)⁴ − 4(x − 2)² − 5 = 0.
Подробное решение:
1) Сделаем замену переменной: пусть t = (x − 2)², причём t ≥ 0.
2) Уравнение принимает вид: t² − 4t − 5 = 0.
3) Найдём корни по теореме Виета (или через D):
• t₁ + t₂ = 4, t₁ · t₂ = −5 t₁ = 5, t₂ = −1.
4) Учитывая ограничение t ≥ 0, корень t₂ = −1 не подходит.
5) Делаем обратную замену для t₁ = 5:
• (x − 2)² = 5
• x − 2 = √5 или x − 2 = −√5
• x₁ = 2 + √5, x₂ = 2 − √5.
Ответ: 2 − √5; 2 + √5.
Тренажёры и тесты по уравнениям на Экзамео
На образовательной платформе Экзамео подготовлена интерактивная подборка онлайн-тренажёров по теме «Квадратные уравнения для ОГЭ (задания 9, 20, 21)» с подробными видеоразборами и автоматической проверкой ответов. Все типы полных, неполных и биквадратных уравнений составлены в точном соответствии с актуальным открытым банком заданий ФИПИ!
Переходите к интерактивным тренажёрам по теме «Квадратные уравнения ОГЭ» на Экзамео. Тренируйтесь в удобном для вас ритме, отрабатывайте быстрые лайфхаки извлечения корней и гарантированно получайте максимальные баллы на экзамене!