Тренажеры на окружности для 9 класса: темы, формулы и задания с решениями

Раздел «Окружность» в 9 классе принципиально меняет фокус изучения геометрии по сравнению с 8 классом. Если в восьмом классе окружность изучалась как каркас для углов, хорд, касательных и вписанных многоугольников, то в девятом классе акцент смещается на метрические расчёты: измерение криволинейных линий, вычисление площадей поверхностей и введение фундаментальной математической константы $\pi$ .

По программе 9 класса в этот блок входят четыре связанные темы: общее понятие окружности как геометрического места точек, длина окружности, круговой сектор и площадь круга. Ниже подробно разобрано, в чём состоит качественная разница между курсами 8 и 9 классов и какие конкретные навыки требуются от девятиклассника на контрольных работах и на ОГЭ.

Окружность в 9 классе

Разница между годами обучения заключается в переходе от качественной геометрии углов к вычислительной геометрии площадей:

• Что было в 8 классе: только прямые отрезки и градусы. Изучались центральные и вписанные углы, свойства касательных, взаимное расположение прямой и окружности, теоремы о пересекающихся хордах, вписанные и описанные четырёхугольники. Никаких формул с числом $\pi$ и вычислений площади круга в 8 классе не было.

• Что появляется в 9 классе: выход на длину кривой и площадь криволинейной фигуры. Появляется строгое обоснование числа $\pi$ через предел периметров правильных вписанных многоугольников, формулы длины дуги через радиус, вычисление площади круга и кругового сектора.

Сравнительная таблица разделов 8 и 9 классов

Сопоставим содержание геометрических понятий и инструментарий двух классов:

Параметр сравнения

8 класс (Углы и отрезки)

9 класс (Метрика и площади)

Главные объекты

Хорды, касательные, секущие, вписанные и описанные треугольники и четырёхугольники

Длина замкнутой окружности, дуга заданной градусной меры, круг, круговой сектор, сегмент

Углы и дуги

Связь величин в градусах: центральный $\angle = \cup$ , вписанный $\angle = \frac{1}{2}\cup$

Перевод градусов дуги в реальные линейные единицы длины (в см и метры): $l = \frac{\pi R \alpha}{180^\circ}$

Число $\pi$

Не вводится и не применяется при доказательствах теорем

Базовое число курса: вводится строго как отношение длины окружности к её диаметру ( $\pi = \frac{C}{2R}$ )

Вычисление площадей

Площади только прямолинейных фигур: треугольники, трапеции, многоугольники через радиус $S = p \cdot r$

Площадь сплошного круга $S = \pi R^2$ и площадь части круга (сектора) $S = \frac{\pi R^2 \alpha}{360^\circ}$

Что конкретно изучается в темах раздела (по программе 9 класса)

Учебный план 9 класса включает четыре ключевые темы, выстроенные в строгой методической последовательности:

Окружность (ГМТ) и правильные фигуры

Окружность переосмысливается как граница правильных многоугольников при бесконечном увеличении числа их сторон ( $n \to \infty$ ). Через периметры правильных $n$ -угольников доказывается, что отношение периметра к радиусу постоянно для абсолютно любой окружности.

Длина окружности и длина дуги

Выводится формула длины окружности $C = 2\pi R$ . Ученики учатся находить не только полный периметр кольца, но и линейную протяжённость отдельного криволинейного фрагмента — дуги с градусной мерой $\alpha$ : $l = \frac{2\pi R \alpha}{360^\circ} = \frac{\pi R \alpha}{180^\circ}$ .

Круговой сектор окружности

Изучается часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой между ними («кусок пирога»). Разбираются задачи на нахождение его площади как пропорциональной доли от целого круга: при центральном угле $\alpha$ сектор занимает ровно $\frac{\alpha}{360^\circ}$ от всей фигуры.

Площадь круга

Выводится классическая формула $S = \pi R^2$ . Рассматриваются комбинированные фигуры: круговое кольцо (разность концентрических кругов), сегменты (сектор минус внутренний треугольник) и площади вписанных/описанных конфигураций.

Посмотрим на примере типовой задачи 9 класса, как новые темы объединяют градусы из 8 класса с вычислениями 9 класса:

Пример применения: Расчёт длины дуги и площади сектора

Задание 9 класса: Радиус окружности равен $6\text{ см}$ . Найдите длину дуги и площадь кругового сектора, если центральный угол этого сектора равен $60^\circ$ . Число $\pi$ не округляйте.

Пошаговый разбор:

1) Центральный угол $60^\circ$ составляет определённую долю от полной окружности ( $360^\circ$ ):

\dfrac{60^\circ}{360^\circ} = \dfrac{1}{6}

Это значит, что дуга и сектор составляют ровно шестую часть от всей окружности и всего круга соответственно.

2) Вычислим длину дуги:

l = \dfrac{\pi R \alpha}{180^\circ} = \dfrac{\pi \cdot 6 \cdot 60^\circ}{180^\circ} = \dfrac{360^\circ \pi}{180^\circ} = 2\pi\text{ см}

3) Вычислим площадь сектора:

S_{\text{сект}} = \dfrac{\pi R^2 \alpha}{360^\circ} = \dfrac{\pi \cdot 6^2 \cdot 60^\circ}{360^\circ} = \dfrac{36\pi \cdot 1}{6} = 6\pi\text{ см}^2

Ответ: длина дуги $2\pi\text{ см}$ ; площадь сектора $6\pi\text{ см}^2$ .

Где темы окружности за 9 класс встречаются в ОГЭ по математике

Материал 9 класса напрямую выходит в прототипы ОГЭ по математике:

• Задание №18 (геометрия на клетках): расчёт длин дуг, площадей секторов и сегментов по клетчатой бумаге, где ответ часто просят дать в виде деления на $\pi$ (например: «Найдите площадь сектора, в ответе запишите $\frac{S}{\pi}$ »).

• Практико-ориентированные задания №1–5: задачи на расчёт площади круглых клумб, длины ограждения круговой арены или расхода плитки вокруг круглого бассейна.

• Задания второй части №23 и №24: комбинированные задачи, где требуется найти площадь фигуры, отсекаемой хордой от круга, или вычислить длину траектории движения точки.

16 задание ОГЭ по математике на окружности

В ОГЭ по математике 16 задание на окружности и их свойства в первой части не содержит тем из раздела окружность за 9 класс, только темы 8 класса

Типичные ошибки в заданиях с окружностями в 9 классе

При решении тренажеров для 9 класса школьники чаще всего допускают три характерные ошибки:

Путаница длины дуги с её градусной мерой

Школьники путают понятия: дуга в $60^\circ$ — это угловая величина (часть окружности в градусах), а длина дуги в см — это линейное расстояние, которое зависит от радиуса ( $l = \frac{\pi R \alpha}{180^\circ}$ ).

Путаница формул длины 2πR и площади πR²

Забывают, где радиус стоит в первой степени, а где в квадрате. Помните о размерностях: длина измеряется в см (первая степень радиуса: $2\pi R$ ), а площадь — в см² (квадрат радиуса: $\pi R^2$ ).

Подстановка вписанного угла вместо центрального

В формулах сектора и дуги угол $\alpha$ — это строго центральный угол. Если в условии дан вписанный угол, его необходимо сначала удвоить, и только затем подставлять в формулу длины дуги или площади.

Тренажёры по разделу «Окружность» для 9 класса

На платформе Экзамео открыты интерактивные тренажёры по всем четырём темам раздела: от вычисления длины окружности и радиусов до сложных составных задач на площади круговых секторов. Выбирайте нужную тему из списка, тренируйтесь на реальных прототипах заданий ОГЭ и закрепляйте материал 9 класса на высший балл!

Задача 1

Отношение площадей двух кругов на клетчатой бумаге

Темы2

Курсы2

Вариант 1

На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?

Ваш ответ

Задача 2

Нахождение длины дуги окружности и центрального острого угла

Темы2

Курсы1

Единственный тренажер на дугу сектора окружности из открытого банка ФИПИ ОГЭ по математикеВариант 1

На окружности с центром в точке $O$ отмечены точки $A$ и $B$ . Угол $AOB$ равен $50^\circ$ , а длина меньшей дуги $AB$ равна $8$ . Найдите длину большей дуги.

Задача на сектор ОГЭ по математике

Ответ запишите в виде целого числа или десятичной дроби.

Ваш ответ

Полный тренажер

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

В Экзамео откроются дополнительные задания по теме, проверка прогресса и решения после попытки.

Все тренажёрыПрогресс по темеПерсональный план