Средняя линия треугольника - разбор темы кодификатора и задания

На этой странице представлен актуальный материал по теме «Средняя линия треугольника» для подготовки к ОГЭ по математике за 9 класс. Сначала подробно разберем теорию, а затем вы сможете отработать теорию на тренажёрах, составленных по заданиям из открытого банка заданий ФИПИ.

Средняя линия треугольника — одна из самых частых тем в 15 задании ОГЭ по математике. Знание её свойств позволяет за решить задачи в первой и второй части и набрать необходимые для сдачи экзамена баллы. Так же в ОГЭ по математике средняя линия встречается во второй части, в качестве элемента решения задач.

Средняя линия треугольника - вся теория для ОГЭ по математике

Все задачи на ОГЭ связанные со средней линией треугольника можно решить с использованием всего одной теоремы и четырех главных свойств. Ниже разберем каждое из них - ваша задача их запомнить и записать.

Определение и ключевая теорема

Средняя линия треугольника - отрезок, который соединяет между собой середины двух любых его сторон.

Теорема о средней линии треугольника:

Средняя линия треугольника обладает двумя важнейшими свойствами:

1. Она параллельна стороне, с которой не имеет общих точек (основанию): $KL \parallel AC$ .

2. Ее длина равна половине длины этой стороны: $KL = \dfrac{AC}{2}$ .

Доказательство теоремы о средней линии

Доказательство:

1) В $\triangle ABC$ проведем среднюю линию $KL$ ( $K \in AB, L \in BC$ ). Рассмотрев вершину $B$ , сравним малый треугольник $\triangle KBL$ и исходный $\triangle ABC$ .

2) Так как $K$ и $L$ — середины сторон, получаем равенство отношений:

\dfrac{BK}{BA} = \dfrac{BL}{BC} = \dfrac{1}{2}

3) Угол $\angle B$ является общим для обоих треугольников. Следовательно, треугольники $\triangle KBL$ и $\triangle ABC$ подобны по двум сторонам и углу между ними ( $\triangle KBL \sim \triangle ABC$ ).

4) Из подобия треугольников следуют два вывода:

• Равенство соответственных углов $\angle BKL = \angle BAC$ . Поскольку они являются соответственными при прямых $KL, AC$ и секущей $AB$ , то $KL \parallel AC$ .

• Отношение оставшихся сторон равно коэффициенту подобия: $\dfrac{KL}{AC} = \dfrac{1}{2} \implies KL = \dfrac{1}{2}AC$ .

Главные свойства средней линии для сдачи ОГЭ

Чтобы успешно выполнять геометрический блок на экзамене, запомните четыре свойства:

1. Подобие малого и большого треугольников:

Средняя линия всегда отсекает треугольник, подобный данному с коэффициентом $k = \dfrac{1}{2}$ .

2. Периметр малого треугольника:

Периметр отсечённого треугольника ровно в $2$ раза меньше периметра первоначального треугольника ( $P_{\text{мелк}} = \dfrac{1}{2} P_{\text{исходн}}$ ).

3. Отношение площадей:

Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия ( $k^2 = \dfrac{1}{4}$ ). Поэтому площадь отсекаемого треугольника составляет четвертую часть от площади всего треугольника:

S_{\text{отсеч}}=\dfrac{1}{4}S_{\triangle ABC}

4. Связь средней линии трапеции и треугольника:

При проведении средней линии в треугольнике образуются отсечённый треугольник и трапеция. Площадь этой трапеции всегда составляет $\dfrac{3}{4}$ от площади исходного треугольника.

Полезный лайфхак для 15 задания ОГЭ по математике!

Если в задании ОГЭ дан треугольник со средней линией и известна его площадь, запомните простое соотношение:
Площадь разбивается в отношении $1 : 3$ ( $1$ часть — на верхний треугольник, $3$ части — на нижнюю трапецию). Это помогает моментально устно найти среднюю линию или площадь в ОГЭ по математике!

Алгоритм решения задач со средней линией на ОГЭ

При решении задач на треугольник со средней линией, или если вам нужно найти среднюю линию на ОГЭ используйте данный алгоритм:

Найдите параллельное основание: определите, к какой именно стороне треугольника проведена средняя линия.

Определите тип величины:
- Для длин сторон, медиан или периметра применяйте деление или умножение на $2$ .
- Для площадей используйте деление или умножение на $4$ .

Запишите ответ: перепроверьте условия и перенесите полученный результат в бланк ответов ОГЭ.

Разбор 15 заданий ОГЭ по математике на среднюю линию треугольника

Рассмотрите решения типовых задач на среднюю линию треугольника из банка ФИПИ ОГЭ.

Пример 1: Найти среднюю линию треугольника (Задание 15 ОГЭ)

Задание: Точки $M$ и $N$ являются серединами сторон $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ соответственно. Отрезок $AB = 21$ , сторона $BC = 28$ , а сторона $AC = 36$ . Найдите длину средней линии $MN$ .

Подробное решение:

1) По условию задачи $M$ — середина $AB$ , $N$ — середина $BC$ . Значит, отрезок $MN$ является средней линией треугольника $ABC$ .

2) Средняя линия треугольника параллельна той стороне, с которой не имеет общих точек, и равна её половине. Отрезок $MN$ параллелен стороне $AC$ .

3) Вычислим длину средней линии $MN$ :
$MN = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{36}{2} = 18$ .

(Значения сторон $AB$ и $BC$ в задаче являются избыточными данными).

Ответ: $18$ .

Пример 2: Задача на отношение площадей со средней линией (Задание 15 ОГЭ)

Задание: Прямая, параллельная стороне $AC$ треугольника $ABC$ , проходит через середину стороны $AB$ и пересекает сторону $BC$ в точке $K$ . Площадь треугольника $ABC$ равна $76$ . Найдите площадь треугольника $MBK$ .

Подробное решение:

1) Так как прямая проходит через середину $AB$ и параллельна $AC$ , по теореме Фалеса она делит сторону $BC$ пополам. Значит, отрезок $MK$ — средняя линия треугольника $ABC$ .

2) Треугольник $MBK$ подобен треугольнику $ABC$ с коэффициентом подобия $k = \dfrac{1}{2}$ .

3) Площади подобных треугольников относятся как $k^2 = \dfrac{1}{4}$ .
$S_{\triangle MBK} = \dfrac{1}{4} S_{\triangle ABC} = \dfrac{76}{4} = 19$ .

Ответ: $19$ .

Тренажёры по теме «Средняя линия треугольника» на Экзамео

Закрепите теорию и отработайте навыки решения геометрических задач на практике с помощью интерактивных онлайн-тренажёров образовательной платформы Экзамео. Все задания и проверочные тесты по теме «Средняя линия треугольника в ОГЭ по математике» составлены строго на основе открытого банка заданий ФИПИ и соответствуют демоверсиям экзамена в 9 класс

Практика

Задачи сейчас заполняются

Уже готовим задания по теме: добавляем варианты, проверку ответов и понятные разборы после попытки.

Подбираем заданияПроверяем ответыГотовим разборы