Задание 14 ЕГЭ математика База - вычисления и дроби. Полный разбор и тренажёры

На этой странице представлен исчерпывающий разбор 14 задания базового ЕГЭ по математике - детально разобраны все реальные прототипы арифметических выражений из открытого банка ФИПИ и свойства дробей, которые помогут подготовиться к выполнению этого задания. После теории доступны тренажёры с подробными решениями и проверкой ответов.

В структуре базового экзамена ЕГЭ математика база 14 задание проверяет вычислительные навыки выпускников и приносит 1 первичный балл. Здесь нет неизвестных переменных или формул геометрии: дано конкретное числовое выражение. Чтобы не потерять лёгкий балл, необходимо строго соблюдать порядок действий, уметь сокращать дроби до перемножения и аккуратно переводить обыкновенные дроби в десятичные.

Формат и специфика: 14 задание ЕГЭ математика база

• Шесть ключевых категорий прототипов: строчные действия с десятичными числами ( $4{,}5 \cdot 7{,}2 - 0{,}5$ ), дроби с разностью в числителе ( $\frac{6{,}8 - 4{,}7}{1{,}4}$ ), действия со скобками и делением обыкновенных дробей, смешанные числа с выделенной целой частью, комбинация обыкновенной дроби с десятичной ( $6 + \frac{1}{16} \cdot 0{,}96$ ), а также стандартный вид чисел со степенями десятки.

• Многоэтажные дроби: в конструкциях вида $\frac{1}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}$ сначала выполняется сложение в знаменателе, после чего полученная дробь просто переворачивается.

• Формат ответа: только целое число или конечная десятичная дробь (знак «минус» и запятая вносятся в отдельные клетки).

Все типы примеров в 14 задании базового ЕГЭ

Все встречающиеся в реальных экзаменационных вариантах задачи из открытого банка ФИПИ разделяются на шесть основных типов:

Тип 1

Десятичные цепочки

Примеры вида $4{,}5 \cdot 7{,}2 - 0{,}5$ или $3{,}2 : 1{,}6 \cdot 3{,}5$ . Решаются соблюдением порядка действий слева направо.

Тип 2

Десятичные дроби

Дроби с разностью в числителе: $\frac{6{,}8 - 4{,}7}{1{,}4}$ . Сначала находится разность, затем сдвигается запятая.

Тип 3

Обыкновенные дроби

Скобки со сложением и делением дробей: $(\frac{2}{5} + \frac{3}{4}) : \frac{23}{20}$ . Деление заменяется переворотом второй дроби.

Тип 4

Смешанные числа

Суммы с целыми частями вида $2\frac{1}{9} + 1 + 3\frac{7}{18}$ . Целые части складываются отдельно, дробные — через общий знаменатель.

Тип 5

Дробь на десятичное

Примеры $6 + \frac{1}{16} \cdot 0{,}96$ или $\frac{1}{8} \cdot 0{,}96 + 1$ . Десятичное число переводится в числитель дроби и сокращается.

Тип 6

Степени десятки

Стандартный вид: $(2 \cdot 10^{-1}) \cdot (1{,}4 \cdot 10^3)$ или $(0{,}1)^3 \cdot 10^4 : 2^{-3}$ . Преобразуются сложением показателей степеней.

Правила действий с дробями

Перед переходом к практике повторите ключевые правила дробей, скрытые в раскрывающиеся карточки. Все эти свойства понадобятся при решении выражений с дробями в 14 задании

1. Действия с обыкновенными дробями и смешанными числами

• Сложение обыкновенных дробей: приводятся к общему знаменателю: $\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \cdot d + c \cdot b}{b \cdot d}$ .

• Смешанные числа: при сложении целые части складывают отдельно от дробных: $(2 + 1 + 3) + (\frac{1}{9} + \frac{7}{18}) = 6 + \frac{2 + 7}{18} = 6 + \frac{9}{18} = 6 + 0{,}5 = 6{,}5$ .

• Деление дробей: деление заменяется умножением на перевёрнутую дробь: $\dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{d}{c}$ .

• Переворот единицы в многоэтажной дроби: $\dfrac{1}{\frac{a}{b}} = \dfrac{b}{a}$ .

2. Работа с десятичными дробями и сдвиг запятой

• Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить на $10$ , значение дроби не изменится: $\dfrac{2{,}1}{1{,}4} = \dfrac{21}{14} = \dfrac{3}{2} = 1{,}5$ .

• Умножение обыкновенной дроби на десятичную: $\dfrac{1}{16} \cdot 0{,}96 = \dfrac{0{,}96}{16} = 0{,}06$ .

• Перевод обыкновенной дроби в десятичную:

\dfrac{1}{2} = 0{,}5; \quad \dfrac{1}{4} = 0{,}25; \quad \dfrac{3}{4} = 0{,}75; \quad \dfrac{1}{5} = 0{,}2; \quad \dfrac{1}{8} = 0{,}125

3. Степени десятки и отрицательные показатели

• Степень десятки: $10^1 = 10$ , $10^2 = 100$ , $10^3 = 1000$ ; с отрицательным показателем: $10^{-1} = 0{,}1$ , $10^{-2} = 0{,}01$ , $10^{-3} = 0{,}001$ .

• Десятичная дробь как степень: $0{,}1 = 10^{-1} \implies (0{,}1)^3 = (10^{-1})^3 = 10^{-3}$ .

• Отрицательная степень числа: $2^{-3} = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8}$ . Деление на $2^{-3}$ равносильно умножению на $8$ : $A : 2^{-3} = A \cdot 8$ .

Примеры решений заданий из банка ФИПИ

Ниже приведены подробные решения всех типов примеров, встречающихся в экзаменационной практике:

Пример 1: Десятичные действия с приоритетом умножения

Задание: Найдите значение выражения $4{,}5 \cdot 7{,}2 - 0{,}5$ .

Пошаговый разбор:

1) Сначала выполняется умножение: $4{,}5 \cdot 7{,}2$ .

Умножим числа в столбик, временно отбросив запятые: $45 \cdot 72 = 3240$ .

Суммарно отделяем два знака после запятой: $32{,}40 = 32{,}4$ .

2) Выполним вычитание:

32{,}4 - 0{,}5 = 31{,}9

Ответ: 31,9.

Пример 2: Десятичные деление и умножение в строчку

Задание: Найдите значение выражения $3{,}2 : 1{,}6 \cdot 3{,}5$ .

Пошаговый разбор:

1) Действия выполняются строго слева направо. Первое действие — деление:

3{,}2 : 1{,}6 = \dfrac{32}{16} = 2

2) Второе действие — умножение на $3{,}5$ :

2 \cdot 3{,}5 = 7

Ответ: 7.

Пример 3: Дробь с разностью в числителе

Задание: Найдите значение выражения $\dfrac{6{,}8 - 4{,}7}{1{,}4}$ .

Пошаговый разбор:

1) Вычислим разность в числителе:

6{,}8 - 4{,}7 = 2{,}1

2) Запишем дробь и избавимся от запятых, домножив числитель и знаменатель на 10:

\dfrac{2{,}1}{1{,}4} = \dfrac{21}{14}

3) Сократим дробь на $7$ :

\dfrac{21}{14} = \dfrac{3}{2} = 1{,}5

Ответ: 1,5.

Пример 4: Обыкновенные дроби со скобками и делением

Задание: Найдите значение выражения $\left(\dfrac{2}{5} + \dfrac{3}{4}\right) : \dfrac{23}{20}$ .

Пошаговый разбор:

1) Выполним сложение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $20$ :

\dfrac{2}{5} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{2 \cdot 4 + 3 \cdot 5}{20} = \dfrac{8 + 15}{20} = \dfrac{23}{20}

2) Заменим деление умножением на перевёрнутую дробь:

\dfrac{23}{20} : \dfrac{23}{20} = \dfrac{23}{20} \cdot \dfrac{20}{23} = 1

Ответ: 1.

Пример 5: Сложение смешанных чисел

Задание: Найдите значение выражения $2\dfrac{1}{9} + 1 + 3\dfrac{7}{18}$ .

Пошаговый разбор:

1) Сложим целые части всех трёх слагаемых:

2 + 1 + 3 = 6

2) Сложим дробные части, приведя их к общему знаменателю $18$ :

\dfrac{1}{9} + \dfrac{7}{18} = \dfrac{1 \cdot 2 + 7}{18} = \dfrac{9}{18}

3) Сократим дробь:

\dfrac{9}{18} = \dfrac{1}{2} = 0{,}5

4) Объединим целую и дробную части:

6 + 0{,}5 = 6{,}5

Ответ: 6,5.

Пример 6: Комбинация обыкновенной дроби и десятичной

Задание: Найдите значение выражения $6 + \dfrac{1}{16} \cdot 0{,}96$ .

Пошаговый разбор:

1) Сначала выполняется умножение: $\dfrac{1}{16} \cdot 0{,}96 = \dfrac{0{,}96}{16}$ .

2) Разделим $0{,}96$ на $16$ :

Так как $96 : 16 = 6$ , то:

\dfrac{0{,}96}{16} = 0{,}06

3) Прибавим число $6$ :

6 + 0{,}06 = 6{,}06

(Аналогично для выражения $\frac{1}{8} \cdot 0{,}96 + 1$ : первое действие $\frac{0{,}96}{8} = 0{,}12$ , второе действие $0{,}12 + 1 = 1{,}12$ ).

Ответ: 6,06.

Пример 7: Произведение со степенями десятки

Задание: Найдите значение выражения $(2 \cdot 10^{-1}) \cdot (1{,}4 \cdot 10^3)$ .

Пошаговый разбор:

1) Сгруппируем числовые множители и степени десятки отдельно:

(2 \cdot 1{,}4) \cdot (10^{-1} \cdot 10^3)

2) Вычислим произведение чисел:

2 \cdot 1{,}4 = 2{,}8

3) Сложим показатели степеней десятки:

10^{-1} \cdot 10^3 = 10^{-1 + 3} = 10^2 = 100

4) Умножим $2{,}8$ на $100$ (переносим запятую на 2 знака вправо):

2{,}8 \cdot 100 = 280

Ответ: 280.

Пример 8: Десятичная степень, степень десятки и деление на отрицательную степень

Задание: Найдите значение выражения $(0{,}1)^3 \cdot 10^4 : 2^{-3}$ .

Пошаговый разбор:

1) Представим $0{,}1$ как $10^{-1}$ :

(0{,}1)^3 = (10^{-1})^3 = 10^{-3}

2) Умножим на $10^4$ :

10^{-3} \cdot 10^4 = 10^{-3 + 4} = 10^1 = 10

3) Преобразуем делитель с отрицательной степенью $2^{-3}$ :

2^{-3} = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8}

4) Выполним деление, перевернув дробь:

10 : 2^{-3} = 10 : \dfrac{1}{8} = 10 \cdot 8 = 80

Ответ: 80.

Пример 9: Многоэтажная дробь с суммой в знаменателе

Задание: Найдите значение выражения $\dfrac{1}{\dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{12}}$ .

Пошаговый разбор:

1) Найдём сумму дробей в знаменателе:

Общий знаменатель для чисел $8$ и $12$ равен $24$ .

\dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{12} = \dfrac{1 \cdot 3 + 1 \cdot 2}{24} = \dfrac{5}{24}

2) Разделим единицу на полученную дробь $\dfrac{5}{24}$ (перевернём дробь):

\dfrac{1}{\frac{5}{24}} = \dfrac{24}{5}

3) Переведём обыкновенную дробь в десятичную, домножив числитель и знаменатель на $2$ :

\dfrac{24 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \dfrac{48}{10} = 4{,}8

Ответ: 4,8.

Как решать 14 задание в ЕГЭ по математике базового уровня

Чтобы не потерять балл на случайной арифметической ошибке, следуйте простому алгоритму:

Определите порядок действий: сначала выполняются скобки, затем умножение и деление, в последнюю очередь — сложение и вычитание.

Избавьтесь от запятых в дробях: домножьте числитель и знаменатель на $10$ или $100$ , чтобы работать с обычными натуральными числами.

Сокращайте до перемножения: никогда не перемножайте большие числа в числителе и знаменателе «в лоб» — сначала максимально сократите одинаковые делители.

Запишите ответ в десятичном виде: переведите полученную обыкновенную дробь в десятичную и проверьте правильность знака плюс/минус.

Самые частые ошибки

При анализе бланков базового ЕГЭ чаще всего встречаются три характерные ошибки:

Неверный порядок действий

В примере $6 + \frac{1}{16} \cdot 0{,}96$ сначала складывают $6 + \frac{1}{16}$ вместо приоритетного умножения $\frac{1}{16} \cdot 0{,}96 = 0{,}06$ .

Сложение знаменателей дробей

При сложении $\frac{1}{8} + \frac{1}{12}$ ошибочно складывают знаменатели $8 + 12 = 20$ . Обыкновенные дроби складываются только через наименьший общий знаменатель ( $24$ )!

Ошибки с делением на отрицательную степень

При вычислении деления на $2^{-3}$ ошибочно делят на $-8$ вместо деления на $\frac{1}{8}$ (умножения на $8$ ). Помните: отрицательный показатель в знаменателе переворачивает число!

Тренажёры по 14 заданию базового ЕГЭ на Экзамео

На платформе Экзамео собраны все виды заданий на вычисления с дробями в тренажёрах с подробными решениями и проверкой ответов из открытого банка ФИПИ. В каждом тренажере по 14 заданию вы найдете большое количество разных вариантов, которые помогут отработать все свойства до автоматизма.

Задача 1

Сложение и вычитание обыкновенных дробей с приведением к заданному знаменателю

Темы4

Арифметическое задание на сложение или вычитание двух обыкновенных дробей и приведение к необходимому знаменателюВариант 1

Найдите значение выражения

\frac{13}{28} + \frac{23}{21}.

Представьте полученный результат в виде дроби со знаменателем 56. В ответ запишите числитель этой дроби.

Ваш ответ

Задача 2

Сложение и вычитание смешанных дробей

Темы3

Примеры на сложение и вычитание смешанных дробейВариант 1

Найдите знаменатель несократимой дроби значения выражения:

5\frac{11}{20} - 2\frac{3}{8}

Ваш ответ

Все типы примеров в 14 задании базового ЕГЭ

Правила действий с дробями

Примеры решений заданий из банка ФИПИ

Как решать 14 задание в ЕГЭ по математике базового уровня

Самые частые ошибки

Тренажёры по 14 заданию базового ЕГЭ на Экзамео

Темы, которые встречаются в этом задании