Разложение обыкновенной дроби в конечную десятичную дробь

На этой странице представлен исчерпывающий справочник по теме «Разложение обыкновенной дроби в конечную десятичную дробь» по алгебре и математике для 7 класса. Методисты и эксперты платформы Экзамео разработали этот практический материал с наглядным главным правилом, алгоритмом проверки знаменателя, способом приведения к каноническому виду и подробным разбором примеров из самостоятельных, контрольных работ и ВПР.

Умение определят, обращается ли обыкновенная дробь в конечную десятичную, — это важный базовый навык 7 класса. Он экономит время на экзаменах ОГЭ и ЕГЭ (где ответом может быть только конечная десятичная дробь) и избавляет от бессмысленного деления столбиком несократимых периодических дробей.

Как перевести обыкновенную дробь в конечную десятичную

Ниже подробно разобраны главное условие переводимости дроби и математическое обоснование этого правила.

Главное условие перевода в конечную десятичную дробь

Критерий конечной десятичной дроби 🎯

Несократимую обыкновенную дробь $\dfrac{a}{b}$

• Канонический вид знаменателя: $b = 2^n \cdot 5^m$

• Если в разложении знаменателя есть хотя бы один другой простой множитель (например: $3, 7, 11, 13, 17 \ldots$ ), то дробь переводится только в бесконечную периодическую десятичную дробь!

Самая распространенная ошибка школьников! ⚠️

Перед тем как раскладывать знаменатель на простые множители, ОБЯЗАТЕЛЬНО сократите дробь!
Например, в дроби $\dfrac{21}{60}$ знаменатель $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$ содержит «лишнюю» тройку. Однако дробь сократима на $3$ :
$\dfrac{21}{60} = \dfrac{7}{20}$

Два способа перевода обыкновенной дроби в десятичную

Когда вы убедились, что несократимая дробь переводится в конечную десятичную, перевести её можно одним из двух способов:

Способ 1: Домножение до разрядной единицы 💡

Уравниваем степени двоек и пятерок в знаменателе, чтобы получить $10, 100, 1000 \dots$
Например: $\dfrac{3}{20} = \dfrac{3}{2^2 \cdot 5}$ . Домножим числитель и знаменатель на $5$ :
$\dfrac{3 \cdot 5}{2^2 \cdot 5^2} = \dfrac{15}{100} = 0{,}15$ .

Способ 2: Деление числителя на знаменатель «уголком» ✍️

Универсальный стандартный метод: делим числитель на знаменатель столбиком до тех пор, пока в остатке не получим $0$ .
Например: $3 : 20 = 0{,}15$ .

Пошаговый алгоритм разложения дроби

Чтобы безошибочно выполнять задания на разложение обыкновенных дробей за 7 класс, придерживайтесь алгоритма:

Порядок действий:

Сократите обыкновенную дробь: приведите дробь к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на их НОД.

Разложите знаменатель на простые множители: выпишите простые делители нового знаменателя.

Проверьте состав множителей:
- Если среди них присутствуют только 2 и 5, то дробь переводится в конечную десятичную.
- Если присутствует хотя бы один другой простой множитель ( $3, 7, 11 \dots$ ), перевод в конечную десятичную невозможен.

Переведите дробь: выполните деление уголком или домножьте числитель и знаменатель до ближайшей степени десятки ( $10, 100, 1000 \dots$ ).

Разбор типовых примеров из контрольных работ за 7 класс

Рассмотрите решения задач, характерных для самостоятельных и контрольных работ по алгебре в 7 классе.

Пример 1: Выяснить, раскладывается ли дробь 9/40 в конечную десятичную

Задание: Можно ли представить обыкновенную дробь $\dfrac{9}{40}$ в виде конечной десятичной дроби? Если да, запишите результат.

Подробное решение:

1) Проверим несократимость: $\text{НОД}(9, 40) = 1$ , дробь несократима.

2) Разложим знаменатель $40$ на простые множители:
$40 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^3 \cdot 5^1$

3) В разложении присутствуют только простые множители $2$ и $5$ . Следовательно, дробь переводится в конечную десятичную.

4) Переведём дробь способом домножения. Чтобы уравнять степени, домножим на $5^2 = 25$ :
$\dfrac{9}{40} = \dfrac{9 \cdot 25}{40 \cdot 25} = \dfrac{225}{1000} = 0{,}225$

Ответ: да, переводится; $0{,}225$ .

Пример 2: Проверка сократимой дроби 18/75

Задание: Можно ли представить дробь $\dfrac{18}{75}$ в виде конечной десятичной дроби?

Подробное решение:

1) Знаменатель $75 = 3 \cdot 5^2$ содержит тройку. Но сначала проверим сократимость дроби:
Сократим числитель и знаменатель на $3$ :
$\dfrac{18}{75} = \dfrac{18 : 3}{75 : 3} = \dfrac{6}{25}$

2) Новый несократимый знаменатель $25 = 5^2$ содержит только простые множители $5$ .

3) Выполняем перевод (домножим на $4$ ):
$\dfrac{6}{25} = \dfrac{24}{100} = 0{,}24$

Ответ: да, переводится; $0{,}24$ .

Тренажёры по разложению дробей на Экзамео

Закрепите умение определять возможность перевода обыкновенных дробей в десятичные с помощью интерактивных онлайн-тренажёров образовательной платформы Экзамео. Все учебные задания, самостоятельные и проверочные карточки по теме «Разложение обыкновенной дроби в конечную десятичную дробь» за 7 класс составлены строго в соответствии с требованиями ФГОС и материалами школьной программы по математике и алгебре.

В базе платформы представлены задачи различного уровня сложности с автоматической проверкой ответов и подробными пошаговыми математическими решениями. Переходите к тренажёрам по алгебре на Экзамео, тренируйтесь в удобном темпе и уверенно сдавайте любые проверочные и экзаменационные работы!