Задание 17 ЕГЭ математика база - все виды уравнений и методы решения

На этой странице представлен разбор по 17 заданию ЕГЭ базового уровня по математике, все виды уравнений из официального банка ФИПИ, систематизированы правила работы со степенями, корнями и логарифмами, показаны приёмы быстрой проверки корней и открыт доступ к тренажёрам с проверкой ответов и подробными решениями.

В структуре базового экзамена по математике 17 задание проверяет умение выпускников находить корни уравнений различных типов и приносит 1 первичный балл. В отличие от профильного уровня, здесь не встречаются громоздкие системы или расщепляющиеся тригонометрические конструкции: каждое уравнение сводится к элементарному линейному или квадратному соотношению. Главная задача — аккуратно выполнить преобразования, не потерять знак минус и проверить ограничения ОДЗ при наличии дробей, корней или логарифмов.

Формат и специфика: 17 задание ЕГЭ математика база

• Шесть ключевых категорий: линейные, квадратные (с выбором меньшего или большего корня), кубические (со снятием одинаковой нечётной степени), иррациональные (с корнем), простейшие дробно-рациональные (с переменной в знаменателе), а также базовые показательные и логарифмические уравнения.

• Указание в условии при двух корнях: если квадратное уравнение имеет два корня, в формулировке всегда строго указано: «Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший (или больший) из корней».

• Форма записи ответа: в бланк заносится целое число или конечная десятичная дробь (знак минус и запятая пишутся в отдельных клетках).

Все виды уравнений 17 задания базового ЕГЭ

Все прототипы 17 задания открытого банка ФИПИ можно разделить на шесть основных алгебраических групп:

Вид 1

Линейные и дробные

Уравнения вида $ax + b = 0$ или $\frac{a}{bx + c} = d$ . Дробные решаются умножением крест-накрест по правилу пропорции с исключением нуля в знаменателе.

Вид 2

Квадратные и кубические

Квадратные $ax^2 + bx + c = 0$ решаются через дискриминант или теорему Виета. В кубических $(x - a)^3 = b^3$ просто извлекается кубический корень из обеих частей.

Вид 3

Иррациональные (с корнем)

Уравнения вида $\sqrt{ax + b} = c$ . Решаются возведением обеих частей в квадрат: $ax + b = c^2$ (при обязательном условии $c \ge 0$ ).

Вид 4

Показательные уравнения

Уравнения вида $a^{f(x)} = a^c$ или $a^{f(x)} = b$ . Числа приводятся к единому основанию степени, после чего показатели просто приравниваются: $f(x) = c$ .

Вид 5

Логарифмические уравнения

Уравнения вида $\log_a (bx + c) = d$ . По определению логарифма переходят к степени: $bx + c = a^d$ с проверкой положительности подлогарифмического выражения.

Теория для решения всех видов уравнений

Перед переходом к практике повторите формулы, на которых строятся преобразования в 17 задании:

1. Свойства степеней (для показательных уравнений)

• Отрицательный показатель: $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ , в частности $\left(\dfrac{1}{a}\right)^x = a^{-x}$ и $\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-1} = \dfrac{b}{a}$ .

• Возведение степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ . Например: $4^x = (2^2)^x = 2^{2x}$ , а $27^{x-1} = (3^3)^{x-1} = 3^{3x - 3}$ .

• Умножение и деление степеней: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ .

• Нулевая степень: любое ненулевое число в нулевой степени равно единице: $a^0 = 1$ .

2. Свойства логарифмов (для логарифмических уравнений)

• Определение логарифма: $\log_a b = c \iff a^c = b$ (при $a > 0$ , $a \neq 1$ , $b > 0$ ).

• Логарифм числа по тому же основанию: $\log_a a = 1$ , а логарифм единицы равен нулю: $\log_a 1 = 0$ .

• Сумма и разность логарифмов:

\log_a x + \log_a y = \log_a (x \cdot y), \quad \log_a x - \log_a y = \log_a \left(\dfrac{x}{y}\right)

• Потенцирование: если $\log_a f(x) = \log_a g(x)$ , то $f(x) = g(x)$ при условии $f(x) > 0$ .

3. Правила работы с квадратными корнями и ОДЗ

• Арифметический квадратный корень по определению неотрицателен: $\sqrt{A} \ge 0$ . Поэтому в уравнении $\sqrt{f(x)} = c$ число $c$ обязано быть $\ge 0$ . Если справа стоит отрицательное число (например, $\sqrt{2x + 1} = -5$ ), уравнение сразу не имеет действительных корней.

• При возведении обеих частей в квадрат $(\sqrt{f(x)})^2 = c^2 \implies f(x) = c^2$ . Так как $c^2 \ge 0$ , подкоренное выражение автоматически становится неотрицательным, однако контрольная подстановка корня в исходное уравнение остаётся обязательной.

Примеры решения прототипов 17 задания из банка ФИПИ

Ниже приведены подробные решения реальных уравнений из открытого банка базового ЕГЭ по математике:

Пример 1: Дробно-рациональное уравнение с пропорцией

Задание (ФИПИ): Найдите корень уравнения $\dfrac{1}{3x - 4} = \dfrac{1}{5}$ .

Пошаговый разбор:

1) Так как числители дробей одинаковы и равны $1$ , их знаменатели также обязаны быть равны между собой (при условии, что знаменатель не равен нулю: $3x - 4 \neq 0$ ):

3x - 4 = 5

2) Перенесём $-4$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:

3x = 5 + 4 \implies 3x = 9

3) Разделим обе части на $3$ :

x = \dfrac{9}{3} = 3

4) Проверка: $\dfrac{1}{3 \cdot 3 - 4} = \dfrac{1}{9 - 4} = \dfrac{1}{5}$ — верно.

Ответ: 3.

Пример 2: Квадратное уравнение с выбором меньшего корня

Задание (ФИПИ): Найдите корни уравнения $x^2 - 7x + 10 = 0$ . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Пошаговый разбор:

1) Определим коэффициенты квадратного уравнения: $a = 1$ , $b = -7$ , $c = 10$ .

2) Вычислим дискриминант:

D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9 = 3^2

3) Найдём корни:

x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{7 - 3}{2} = \dfrac{4}{2} = 2

x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{7 + 3}{2} = \dfrac{10}{2} = 5

4) В условии требуется указать меньший из корней. Сравниваем: $2 < 5$ , значит в ответ записываем число $2$ .

Ответ: 2.

Пример 3: Кубическое уравнение со снятием нечётной степени

Задание (ФИПИ): Найдите корень уравнения $(x - 2)^3 = -125$ .

Пошаговый разбор:

1) Представим правую часть в виде третьей степени:

-125 = (-5)^3

2) Уравнение принимает вид:

(x - 2)^3 = (-5)^3

3) Так как степень $3$ нечётная, функция $y = t^3$ строго монотонна, и из равенства кубов следует равенство оснований (без появления знака $\pm$ ):

x - 2 = -5

4) Перенесём $-2$ вправо:

x = -5 + 2 \implies x = -3

Ответ: -3.

Пример 4: Иррациональное уравнение с квадратным корнем

Задание (ФИПИ): Найдите корень уравнения $\sqrt{15 - 2x} = 3$ .

Пошаговый разбор:

1) Правая часть равна $3 \ge 0$ , значит уравнение имеет действительные корни. Возведём обе части уравнения во вторую степень:

(\sqrt{15 - 2x})^2 = 3^2

15 - 2x = 9

2) Перенесём число $15$ в правую часть:

-2x = 9 - 15 \implies -2x = -6

3) Разделим обе части на $-2$ :

x = \dfrac{-6}{-2} = 3

4) Проверим корень подстановкой: $\sqrt{15 - 2 \cdot 3} = \sqrt{15 - 6} = \sqrt{9} = 3$ — верно.

Ответ: 3.

Пример 5: Показательное уравнение со сведением к основанию

Задание (ФИПИ): Найдите корень уравнения $4^{x - 3} = \dfrac{1}{64}$ .

Пошаговый разбор:

1) Приведём обе части уравнения к одинаковому основанию $4$ :

64 = 4^3 \implies \dfrac{1}{64} = 4^{-3}

2) Запишем равенство степеней:

4^{x - 3} = 4^{-3}

3) Так как основания одинаковы и равны $4$ , приравняем их показатели:

x - 3 = -3

4) Перенесём $-3$ вправо с противоположным знаком:

x = -3 + 3 \implies x = 0

Ответ: 0.

Пример 6: Логарифмическое уравнение по определению

Задание (ФИПИ): Найдите корень уравнения $\log_3 (4 - x) = 4$ .

Пошаговый разбор:

1) По определению логарифма перейдём к показательному выражению:

4 - x = 3^4

2) Вычислим значение степени: $3^4 = 81$ :

4 - x = 81

3) Перенесём $4$ в правую часть:

-x = 81 - 4 \implies -x = 77 \implies x = -77

4) Проверка ОДЗ: подставим $x = -77$ под логарифм: $4 - (-77) = 4 + 77 = 81 > 0$ . Значение строго положительно, корень верен.

Ответ: -77.

Как решать 17 задание ЕГЭ математика база

Чтобы избежать случайных ошибок при вычислении корней, придерживайтесь универсального алгоритма действий:

Определите тип уравнения: по внешнему виду выделите, с чем вы работаете — с дробью, корнем, степенью или логарифмом.

Примените обратную операцию: корень снимите возведением в квадрат, логарифм переведите в степень по определению, а показательное уравнение сведите к одинаковым основаниям с обеих сторон.

Решите получившееся линейное или квадратное уравнение: аккуратно найдите корни, обращая внимание на знаки при переносе через равенство.

Сделайте проверку подстановкой: подставьте полученное число в самое исходное условие и убедитесь, что равенство сходится, а знаменатели и выражения под логарифмами не нарушают ОДЗ.

Перечитайте требование к ответу: если корней два, проверьте, какой именно корень требуется записать в бланк — меньший или больший.

Распространенные ошибки в 17 задании

При анализе результатов базового экзамена чаще всего выявляются три типичные ошибки:

Запись большего корня вместо меньшего

Получив корни квадратного уравнения $2$ и $5$ , ученики невнимательно читают вопрос и выписывают больший корень $5$ , когда в условии прямо просили записать меньший.

Потеря минуса при делении

В уравнениях вида $-2x = -6$ или $-x = 77$ допускают механическую ошибку со знаком, получая $x = -3$ вместо $+3$ или $x = 77$ вместо $-77$ .

Ошибки с отрицательной степенью

Перевод дроби $\frac{1}{64}$ в основание $4$ путают с положительной степенью $4^3$ вместо $4^{-3}$ , из-за чего показатель получает неверный знак.

Тренажёры по 17 заданию базового ЕГЭ на Экзамео

Чтобы закрепить навыки нахождения корней, переходите к онлайн-тренажёру платформы Экзамео. Вы найдете задания по всем видам уравнений в 17 задании базового ЕГЭ по математике с подробными решениями и проверкой ответов.

Задача 1

Линейное уравнение с дробной частью

Темы2

Процедурный генератор линейных уравнений первой части ОГЭ. Корень уравнения гарантированно является целым числом или конечной десятичной дробью с одним знаком после запятой. В решении приводится подробное пошаговое умножение обеих частей на знаменатель, перенос слагаемых и нахождение неизвестного.Вариант 1

Найдите корень уравнения

-15 - \frac{x}{5} = x - 30

Ваш ответ

Задача 2

Линейное уравнение с двумя скобками

Темы2

Вид уравнений, в которых предварительно нужно раскрыть скобки и привести иксы на одну сторону, а числа на другуюВариант 1

Решите уравнение

2(x + 7) - 4(x - 3) = 6

Ваш ответ

Все виды уравнений 17 задания базового ЕГЭ

Теория для решения всех видов уравнений

Примеры решения прототипов 17 задания из банка ФИПИ

Как решать 17 задание ЕГЭ математика база

Распространенные ошибки в 17 задании

Тренажёры по 17 заданию базового ЕГЭ на Экзамео

Темы, которые встречаются в этом задании